Keplerova domněnka - Kepler conjecture

The Keplerova domněnka, pojmenovaný po matematikovi a astronomovi ze 17. století Johannes Kepler, je matematický teorém o koule balení v trojrozměrném Euklidovský prostor. Uvádí, že žádné uspořádání stejně velké koule vyplnění prostoru má větší průměrná hustota než u kubického těsného obalu (obličejově centrovaný kubický ) a šestihranné těsné balení ujednání. Hustota těchto uspořádání je kolem 74,05%.

V roce 1998 Thomas Hales, v návaznosti na přístup navržený Fejes Tóth (1953) oznámil, že má důkaz o Keplerově domněnce. Halesův důkaz je a důkaz vyčerpáním zahrnující kontrolu mnoha jednotlivých případů pomocí složitých počítačových výpočtů. Rozhodčí uvedli, že si jsou „na 99% jisti“ správností Halesova důkazu a Keplerova domněnka byla přijata jako teorém. V roce 2014 projektový tým Flyspeck v čele s Halesem oznámil dokončení formálního důkazu o Keplerově domněnce pomocí kombinace Isabelle a HOL Light důkazní asistenti. V roce 2017 byl deník přijat formální důkaz Fórum matematiky, Pi.[1]

Pozadí

Schémata těsného těsného obalu (vlevo) a šestihranného těsného obalu (vpravo).

Představte si, že naplníte velkou nádobu malými kuličkami stejné velikosti. Hustota uspořádání se rovná souhrnnému objemu koulí dělenému objemem nádoby. Maximalizace počtu koulí v kontejneru znamená vytvoření uspořádání s nejvyšší možnou hustotou, aby byly koule zabaleny co nejtěsněji.

Experiment ukazuje, že náhodným vržením koulí se dosáhne hustoty kolem 65%.[2] Vyšší hustoty však lze dosáhnout pečlivým uspořádáním koulí následujícím způsobem. Začněte s vrstvou koulí v šestihranné mřížce, poté vložte další vrstvu koulí do nejnižších bodů, které najdete nad první vrstvou, atd. V každém kroku existují dvě možnosti, kam umístit další vrstvu, takže tato přirozená metoda skládání koulí vytváří nespočetně nekonečné množství stejně hustých obalů, z nichž nejznámější se nazývají kubické blízké balení a šestihranné blízké balení. Každé z těchto uspořádání má průměrnou hustotu

Keplerova domněnka říká, že je to to nejlepší, co lze udělat - žádné jiné uspořádání koulí nemá vyšší průměrnou hustotu.

Počátky

Jeden z diagramů z Strena Seu de Nive Sexangula, ilustrující Keplerovu domněnku

Domněnku poprvé uvedl Johannes Kepler  (1611 ) ve svém příspěvku „Na šestihrannou vločku“. Na základě korespondence s anglickým matematikem a astronomem začal studovat uspořádání koulí Thomas Harriot v roce 1606. Harriot byl přítelem a asistentem Sir Walter Raleigh, který dal Harriotovi problém určit, jak nejlépe naskládat dělové koule na paluby svých lodí. Harriot zveřejnil studii různých vzorů skládání v roce 1591 a pokračoval ve vývoji rané verze atomová teorie.

Devatenácté století

Kepler neměl důkaz o domněnce a další krok byl učiněn Carl Friedrich Gauss  (1831 ), který dokázal, že Keplerova domněnka je pravdivá, pokud musí být koule uspořádány v pravidelném tvaru mříž.

To znamenalo, že jakékoli uspořádání balení, které vyvrací Keplerovu domněnku, bude muset být nepravidelné. Vyloučení všech možných nepravidelných uspořádání je ale velmi obtížné, a právě proto bylo tak těžké prokázat domněnku Keplera. Ve skutečnosti existují nepravidelná uspořádání, která jsou hustší než uspořádání kubického těsného balení na dostatečně malém objemu, ale je nyní známo, že jakýkoli pokus o prodloužení těchto uspořádání pro vyplnění většího objemu vždy snižuje jejich hustotu.

Po Gaussovi nedošlo v devatenáctém století k žádnému dalšímu pokroku v prokazování Keplerova domněnky. V roce 1900 David Hilbert zahrnoval to do svého seznamu dvacet tři nevyřešených úloh matematiky —To je součástí Hilbertův osmnáctý problém.

Dvacáté století

Další krok k řešení byl podniknut László Fejes Tóth. Fejes Tóth (1953) ukázaly, že problém stanovení maximální hustoty všech uspořádání (pravidelných i nepravidelných) lze snížit na a konečný (ale velmi velký) počet výpočtů. To znamenalo, že důkaz vyčerpáním je v zásadě možný. Fejes Tóth si uvědomil, že dostatečně rychlý počítač dokáže tento teoretický výsledek proměnit v praktický přístup k problému.

Mezitím byly učiněny pokusy najít horní hranici maximální hustoty jakéhokoli možného uspořádání koulí. Anglický matematik Claude Ambrose Rogers (vidět Rogers (1958) ) stanovil horní hranici hodnoty asi 78% a následné úsilí jiných matematiků tuto hodnotu mírně snížilo, ale stále to bylo mnohem větší, než je hustota kubického těsného balení asi 74%.

V roce 1990 Wu-Yi Hsiang tvrdil, že dokázal domněnku Keplera. Důkaz chválil Encyklopedie Britannica a Věda a Hsiang byl také oceněn na společných setkáních AMS-MAA.[3] Wu-Yi Hsiang (1993, 2001 ) tvrdil, že dokázal Keplerův dohad pomocí geometrických metod. nicméně Gábor Fejes Tóth (syn László Fejes Tóth) uvedl ve své recenzi příspěvku „Pokud jde o podrobnosti, můj názor je, že mnoho klíčových prohlášení nemá přijatelné důkazy.“ Hales (1994) podrobně kritizoval Hsiangovu práci, ke které Hsiang (1995) odpověděl. V současné době panuje shoda v tom, že Hsiangův důkaz je neúplný.[4]

Halesův důkaz

Podle přístupu navrhovaného Fejes Tóth (1953), Thomas Hales, pak na Michiganská univerzita, určili, že maximální hustotu všech uspořádání lze najít minimalizací funkce se 150 proměnnými. V roce 1992 se za pomoci svého postgraduálního studenta Samuela Fergusona pustil do systematického výzkumu lineární programování metody pro nalezení dolní meze hodnoty této funkce pro každou ze sady více než 5 000 různých konfigurací koulí. Pokud by bylo možné pro každou z těchto konfigurací najít dolní mez (pro hodnotu funkce), která byla větší než hodnota funkce pro uspořádání kubického uzavření, pak by se dokázala Keplerova domněnka. Najít dolní meze pro všechny případy spojené s řešením přibližně 100 000 problémů s lineárním programováním.

Když Hales představil pokrok svého projektu v roce 1996, řekl, že konec je v nedohlednu, ale jeho dokončení může trvat „rok nebo dva“. V srpnu 1998 Hales oznámil, že důkaz byl kompletní. V této fázi sestával z 250 stránek poznámek a 3 gigabajty počítačových programů, dat a výsledků.

Přes neobvyklou povahu důkazu, redaktoři Annals of Mathematics souhlasil se zveřejněním, pokud to byla přijata porotou dvanácti rozhodčích. V roce 2003, po čtyřech letech práce, vedoucí poroty Gábor Fejes Tóth uvedl, že porota si byla „99% jistá“ správností důkazu, ale nemohla potvrdit správnost všech počítačových výpočtů .

Hales (2005) zveřejnil 100stránkový dokument, který podrobně popisuje ne-počítačovou část jeho důkazu.Hales & Ferguson (2006) a několik dalších článků popisovalo výpočetní části. Hales a Ferguson obdrželi Fulkersonova cena za vynikající práce v oblasti diskrétní matematiky pro rok 2009.

Formální důkaz

V lednu 2003 Hales oznámil zahájení projektu spolupráce, jehož cílem bylo předložit úplný formální důkaz o Keplerově domněnce. Cílem bylo odstranit veškerou zbývající nejistotu ohledně platnosti důkazu vytvořením formálního důkazu, který lze ověřit automatická kontrola kontroly software jako HOL Light a Isabelle. Tento projekt se nazývá Flyspeck - F, P a K zastupující Formální důkaz Keplera. Hales odhadl, že vypracování úplného formálního důkazu bude trvat asi 20 let práce. Hales poprvé vydal „plán“ formálního důkazu v roce 2012;[5] projekt byl oznámen jako dokončený 10. srpna 2014.[6] V lednu 2015 Hales a 21 spolupracovníků předložili dokument s názvem „Formální důkaz domněnky Keplera“ arXiv, prohlašovat, že dokázal domněnku.[7] V roce 2017 byl formální důkaz přijat do Fórum matematiky časopis.[1]

Související problémy

Čt věta
Pravidelné šestihranné balení je nejhustší kruhové balení v letadle (1890). Hustota jeπ⁄√12.
Dvourozměrný analog Keplerova domněnky; důkaz je elementární. Henk a Ziegler připisují tento výsledek Lagrangeovi v roce 1773 (viz odkazy, strana 770).
Jednoduchý důkaz Chaua a Chunga z roku 2010 používá Delaunayova triangulace pro množinu bodů, které jsou středy kruhů v nasyceném kruhu.[8]
Šestihranný plástová domněnka
Nejúčinnějším rozdělením roviny na stejné oblasti je pravidelné šestihranné obklady. Halesův důkaz (1999).
Souvisí s Thueovou větou.
Dodecahedral dohad
Objem Voronoijský mnohostěn koule v balení stejných koulí je přinejmenším objem pravidelného dodekaedru s inradiem 1. McLaughlinův důkaz, za který obdržel 1999 Morganova cena.
Související problém, jehož důkaz využívá podobné techniky jako Halesův důkaz o Keplerově domněnce. Domněnka L. Fejese Tótha v 50. letech.
The Kelvinův problém
Co je nejúčinnější pěna ve 3 rozměrech? To se domnívalo, že to vyřeší Kelvinova struktura, a tomu se věřilo více než 100 let, dokud nebylo vyvráceno v roce 1993 objevem Weaire – Phelan struktura. Překvapivý objev struktury Weaire-Phelan a vyvrácení Kelvinova domněnky je jedním z důvodů opatrnosti při přijímání Halesova důkazu o Keplerově domněnce.
Balení koule ve vyšších dimenzích
V roce 2016 Maryna Viazovska ohlašované důkazy o optimálním balení koulí v rozměrech 8 a 24.[9] Otázka optimálního balení koule v jiných rozměrech než 1, 2, 3, 8 a 24 je však stále otevřená.
Ulamův dohad o balení
Není známo, zda existuje konvexní těleso, jehož optimální hustota balení je nižší než koule.

Reference

  1. ^ A b Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; McLaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jasone; Solovjev, Alexej; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (29. května 2017). „Formální důkaz domněnky Keplera“. Fórum matematiky, Pi. 5: e2. doi:10.1017 / fmp.2017.1.
  2. ^ Li, Shuixiang; Zhao, Liang; Liu, Yuewu (duben 2008). „Počítačová simulace balení náhodných koulí do kontejneru libovolného tvaru“. Počítače, materiály a kontinua. 7: 109–118.
  3. ^ Hales, Thomas C. (Červen 1994). Msgstr "Stav Keplerovy hypotézy". Matematický zpravodaj. 16 (3): 47–58. doi:10.1007 / BF03024356. S2CID  123375854.
  4. ^ Singh, Simon (1997). Fermatova poslední věta. New York: Walker. ISBN  978-0-80271-331-5.
  5. ^ Hales, Thomas C. (2012). Balení hustých koulí: plán formálních důkazů. Série přednášek London Mathematical Society. 400. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-61770-3.
  6. ^ „Projekt Flyspeck“. Google Code.
  7. ^ Hales, Thomas; et al. (9. ledna 2015). „Formální důkaz Keplerova domněnky“. arXiv:1501.02155 [math.MG ].
  8. ^ Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (22. září 2010). „Jednoduchý důkaz věty Thue o balení kruhu“. arXiv:1009.4322 [math.MG ].
  9. ^ Klarreich, Erica (30. března 2016), „Balení koulí vyřešeno ve vyšších dimenzích“, Časopis Quanta

Publikace

externí odkazy