Zkrácený dvacetistěn - Truncated icosahedron

Zkrácený icosahedral graf
	6násobná symetrie Schlegelův diagram
Vrcholy	60
Hrany	90
Automorfismy	120
Chromatické číslo	3
Vlastnosti	Krychlový, Hamiltonian, pravidelný, nulově symetrický
	Tabulka grafů a parametrů

Zkrácený dvacetistěn
(Kliknutím sem zobrazíte rotující model)
Typ	Archimédův pevný Jednotný mnohostěn
Elementy	F = 32, E = 90, PROTI = 60 (χ = 2)
Tváře po stranách	12{5}+20{6}
Conwayova notace	tI
Schläfliho symboly	t {3,5}
Schläfliho symboly	t_0,1{3,5}
Wythoffův symbol	2 5 \| 3
Coxeterův diagram
Skupina symetrie	Já_h, H₃, [5,3], (* 532), objednávka 120
Rotační skupina	Já, [5,3]⁺, (532), objednávka 60
Dihedrální úhel	6-6: 138.189685° 6-5: 142.62°
Reference	U₂₅, C₂₇, Ž₉
Vlastnosti	Semiregular konvexní
Barevné tváře	5.6.6 (Vrcholová postava )
Pentakis dodecahedron (duální mnohostěn )	Síť

3D model zkráceného dvacetistěnu

v geometrie, zkrácen dvacetistěnu je Archimédův pevný, jeden z 13 konvexních isogonal neprismatické pevné látky, jejichž 32 tváře jsou dva nebo více typů pravidelné mnohoúhelníky.

Má 12 pravidelných pětiúhelníkový 20 tváří šestihranný plochy, 60 vrcholů a 90 okrajů.

To je Goldbergův mnohostěn GP_PROTI(1,1) nebo {5 +, 3}_1,1, obsahující pětiúhelníkové a šestihranné tváře.

Tato geometrie je spojena s fotbalové míče (fotbalové míče) obvykle vzorované bílými šestiúhelníky a černými pětiúhelníky. Geodetické kopule jako jsou ty, jejichž architektura Buckminster Fuller průkopníci jsou často založeni na této struktuře. To také odpovídá geometrii fullerenu C₆₀ („buckyball“) molekula.

Používá se v buněčně tranzitivní hyperbolická teselace vyplňující prostor, bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb.

Konstrukce

Dvacetistěnu

Tento mnohostěn může být sestaven z dvacetistěnu s 12 vrcholy zkrácen (oříznut) tak, že jedna třetina každého okraje je oříznuta na každém z obou konců. Tím se vytvoří 12 nových pětiúhelníkových ploch a původní 20 trojúhelníkové plochy se ponechají jako pravidelné šestiúhelníky. Délka hran je tedy jedna třetina délky původních hran.

Vlastnosti

v Geometrie a Teorie grafů existují určité standardy vlastnosti mnohostěnů.

Kartézské souřadnice

Kartézské souřadnice pro vrcholy a zkrácený dvacetistěn soustředěné na počátek jsou všechny dokonce i obměny z:

(0, ±1, ±3φ)

(±1, ±(2 + φ), ±2φ)

(±φ, ±2, ±(2φ + 1))

kde φ = 1 + √5/2 je zlatá střední cesta. Cirkumradius je √9φ + 10 ≈ 4,956 a hrany mají délku 2.^[1]

Ortogonální projekce

The zkrácený dvacetistěn má pět speciálních ortogonální projekce, na střed, na vrcholu, na dvou typech hran a dvou typech ploch: šestihranný a pětiúhelníkový. Poslední dva odpovídají A₂ a H₂ Coxeterovy roviny.

Ortogonální projekce
Na střed	Vrchol	Okraj 5-6	Okraj 6-6	Tvář Šestiúhelník	Tvář Pentagon
Pevný
Drátový model
Projektivní symetrie	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Dvojí

Sférické obklady

Zkrácený dvacetistěn může být také reprezentován jako a sférické obklady, a promítané do roviny pomocí a stereografická projekce. Tato projekce je konformní, zachovávající úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli se promítají jako kruhové oblouky na rovinu.

Ortografická projekce	Stereografické projekce
	Pentagon -centrovaný	šestiúhelník -centrovaný

Rozměry

Vzájemně ortogonální zlaté obdélníky natažené do původního dvacetistěnu (před odříznutím)

Pokud je délka hrany zkráceného dvacetistěnu A, poloměr a ohraničená koule (ten, který se dotkne zkráceného dvacetistěnu na všech vrcholech) je:

{displaystyle r_ {mathrm {u}} = {frac {a} {2}} {sqrt {1 + 9varphi ^ {2}}} = {frac {a} {4}} {sqrt {58 + 18 {sqrt { 5}}}} přibližně 2 478 018,66a}

kde φ je Zlatý řez.

Tento výsledek lze snadno získat pomocí jednoho ze tří ortogonálních zlaté obdélníky nakreslen do původního dvacetistěnu (před odříznutím) jako výchozího bodu pro naše úvahy. Úhel mezi segmenty spojujícími střed a vrcholy spojenými sdílenou hranou (počítáno na základě této konstrukce) je přibližně 23,281446 °.

Plocha a objem

Oblast A a hlasitost PROTI zkráceného dvacetistěnu délky hrany A jsou:

{displaystyle {egin {aligned} A & = left (20cdot {frac {3} {2}} {sqrt {3}} + 12cdot {frac {5} {4}} {sqrt {1+ {frac {2} {sqrt {5}}}}} ight) a ^ {2} && přibližně 72 607 253a ^ {2} V & = {frac {125 + 43 {sqrt {5}}} {4}} a ^ {3} && přibližně 55,287, 7308a ^ {3} .end {zarovnáno}}}

S jednotkovými hranami je povrchová plocha (zaoblená) 21 u pětiúhelníků a 52 u šestiúhelníků, dohromady 73 (viz oblasti pravidelných polygonů ).

Zkrácený dvacetistěnu snadno demonstruje Eulerova charakteristika:

32 + 60 − 90 = 2.

Aplikace

Míče použité v fotbal a týmová házená jsou možná nejznámějším příkladem a sférický mnohostěn analogie se zkráceným dvacetistěnem, který se nachází v každodenním životě.^[2] Míč má stejný vzor jako pravidelné pětiúhelníky a pravidelné šestiúhelníky, ale je sférickější díky tlaku vzduchu uvnitř a pružnosti koule. Tento typ koule byl představen Mistrovství světa v roce 1970 (začíná v 2006, tento ikonický design byl nahrazen alternativní vzory ).

Geodetické kopule jsou obvykle založeny na trojúhelníkových fazetách této geometrie s ukázkovými strukturami nalezenými po celém světě, popularizovanými Buckminster Fuller.^{[Citace je zapotřebí ]}

Varianta dvacetistěnu byla použita jako základ voštinových kol (vyrobených z polycastového materiálu) používaných Motorová divize Pontiac mezi lety 1971 a 1976 Trans Am a velká cena.^{[Citace je zapotřebí ]}

Tento tvar byl také konfigurací čoček použitých pro zaostření výbušných rázových vln rozbušek v obou gadget a Tlouštík atomové bomby.^[3]

Zkrácený dvacetistěn lze také popsat jako model Buckminsterfullerene (fulleren) (C.₆₀), nebo „buckyball“, molekula - an allotrope elementárního uhlíku, objeveno v roce 1985. Průměr fotbalu a molekuly fullerenu je 22 cm a přibližně 0,71nm, proto je poměr velikostí ≈31 000 000: 1.

V populární řemeslné kultuře velké sparkleballs lze vyrobit pomocí a icosahedron vzor a plastové, polystyrenové nebo papírové kelímky.

V umění

Galerie
Zkrácený dvacetistěn (vlevo) ve srovnání s fotbal.
Fulleren C₆₀ molekula
Zkrácený icosahedral radome na meteorologická stanice
Zkrácený icosahedron byl vyroben 6061-T6 hliník
Dřevěné zkrácené dvacetistěnové dílo od George W. Hart.

Související mnohostěn

Rodina jednotných icosahedral mnohostěnů
Symetrie: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5,3}	sr {5,3}
Duals na uniformní mnohostěn

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

*n32 mutace symetrie zkrácených naklonění: n.6.6 [ proti t E ]
Sym. *n42 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní		Parac.	Nekompaktní hyperbolický
Sym. *n42 [n, 3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Zkráceno čísla
Konfigurace	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis čísla
Konfigurace	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Tyto jednotná hvězda-mnohostěn a jedna ikosahedrická hvězdice mají nejednotnou zkrácenou ikosahedru konvexní trupy:

Jednotná hvězdná mnohostěna se zkrácenými icosahedrovými konvexními trupy

Nejednotný zkrácený dvacetistěn 2 5 \| 3	U37 2 5/2 \| 5	U61 5/2 3 \| 5/3	U67 5/3 3 \| 2	U73 2 5/3 (3/2 5/4)	Úplná hvězdice
Nejednotný zkrácený dvacetistěn 2 5 \| 3	U38 5/2 5 \| 2	U44 5/3 5 \| 3	U56 2 3 (5/4 5/2) \|
Nejednotný zkrácený dvacetistěn 2 5 \| 3	U32 \| 5/2 3 3

Zkrácený icosahedral graf

V matematický pole teorie grafů, a zkrácený icosahedral graf je graf vrcholů a hran z zkrácený dvacetistěn, jeden z Archimédovy pevné látky. Má 60 vrcholy a 90 hran, a je a krychlový Archimédův graf.^[4]^[5]^[6]^[7]

Ortografická projekce
Pětinásobná symetrie	5násobný Schlegelův diagram

Dějiny

Piero della Francesca Obrázek zkráceného dvacetistěnu z jeho knihy De quinque corporibus regularibus

O zkráceném dvacetistěnu bylo známo Archimedes, který klasifikoval 13 archimédských pevných látek do ztraceného díla. Vše, co víme o jeho práci na těchto tvarech, pochází Pappus Alexandrijský, který pouze uvádí počet tváří pro každou z nich: 12 pětiúhelníků a 20 šestiúhelníků, v případě zkráceného dvacetistěnu. První známý obrázek a úplný popis zkráceného dvacetistěnu je z objevu od Piero della Francesca, ve své knize z 15. století De quinque corporibus regularibus,^[8] který zahrnoval pět archimédských pevných látek (pět zkrácení pravidelné mnohostěny). Stejný tvar zobrazil Leonardo da Vinci, ve svých ilustracích pro Luca Pacioli plagiát knihy della Francescy z roku 1509. Ačkoli Albrecht Dürer vynechal tento tvar od ostatních Archimédových pevných látek uvedených v jeho knize o mnohostěnech z roku 1525, Underweysung der Messung, jeho popis byl nalezen v jeho posmrtných dokumentech, publikovaných v roce 1538. Johannes Kepler později znovuobjevil kompletní seznam 13 archimédských pevných látek, včetně zkráceného dvacetistěnu, a zahrnoval je do své knihy z roku 1609, Harmonices Mundi.^[9]

Viz také

Poznámky

^ Weisstein, Eric W. "Ikosahedrální skupina". MathWorld.
^ Kotschick, Dieter (2006). "Topologie a kombinatorika fotbalových míčů". Americký vědec. 94 (4): 350–357. doi:10.1511/2006.60.350.
^ Rhodes, Richard (1996). Temné slunce: Výroba vodíkové bomby. Touchstone Books. str.195. ISBN 0-684-82414-0.
^ Přečtěte si, R. C .; Wilson, R. J. (1998). Atlas grafů. Oxford University Press. p. 268.
^ Weisstein, Eric W. "Zkrácený icosahedral graf". MathWorld.
^ Godsil, C. a Royle, G. Algebraická teorie grafů New York: Springer-Verlag, str. 211, 2001
^ Kostant, B. Graf zkráceného dvacetistěnu a poslední Galoisův dopis. Oznámení Amer. Matematika. Soc. 42, 1995, str. 959-968 PDF
^ Katz, Eugene A. (2011). „Mosty mezi matematikou, přírodními vědami, architekturou a uměním: případ fullerenů“. Umění, věda a technologie: Interakce mezi třemi kulturami, sborník z první mezinárodní konference. str. 60–71.
^ Field, J. V. (1997). „Znovuobjevení archimédské mnohostěny: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro a Johannes Kepler.“ Archiv pro historii přesných věd. 50 (3–4): 241–289. doi:10.1007 / BF00374595 (neaktivní 12. 10. 2020). JSTOR 41134110. PAN 1457069.CS1 maint: DOI neaktivní od října 2020 (odkaz)

Reference

Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Část 3-9)
Cromwell, P. (1997). "Archimédovy pevné látky". Mnohostěna: „Jedna z nejkouzelnějších kapitol geometrie“. Cambridge: Cambridge University Press. str. 79–86. ISBN 0-521-55432-2. OCLC 180091468.