Taylorova věta - Taylors theorem - Wikipedia

Exponenciální funkce y = E^X (červená) a odpovídající Taylorův polynom stupně čtyři (přerušovaná zelená) kolem počátku.

v počet, Taylorova věta udává aproximaci a k-krát diferencovatelná funkce kolem daného bodu o a polynomiální stupně k, nazvaný kth-objednávka Taylorův polynom. Pro plynulá funkce, Taylorův polynom je zkrácení v pořadí k z Taylor série funkce. Taylorův polynom prvního řádu je lineární aproximace funkce a Taylorův polynom druhého řádu je často označován jako kvadratická aproximace.^[1] Existuje několik verzí Taylorovy věty, některé poskytují explicitní odhady chyby aproximace funkce jejím Taylorovým polynomem.

Taylorova věta je pojmenována po matematikovi Brook Taylor, který uvedl jeho verzi v roce 1715,^[2] ačkoli dřívější verze výsledku byla již zmíněna v 1671 podle James Gregory.^[3]

Taylorova věta se vyučuje v kurzech počátečního počtu a je jedním z ústředních elementárních nástrojů matematická analýza. Poskytuje jednoduché aritmetické vzorce k přesnému výpočtu hodnot mnoha transcendentální funkce tak jako exponenciální funkce a trigonometrické funkce Je výchozím bodem pro studium analytické funkce, a je zásadní v různých oblastech matematiky, stejně jako v numerická analýza a matematická fyzika. Taylorova věta také zobecňuje na vícerozměrný a vektor oceněn funkce.

Motivace

Graf F(X) = E^X (modrá) s jeho lineární aproximace P₁(X) = 1 + X (červená) v A = 0.

Pokud má skutečnou hodnotu funkce F(X) je rozlišitelný na místě X = A, pak má lineární aproximace blízko tohoto bodu. To znamená, že existuje funkce h₁(X) takové, že

${ displaystyle f (x) = f (a) + f '(a) (xa) + h_ {1} (x) (xa), quad lim _ {x to a} h_ {1} (x ) = 0.}$

Tady

${ displaystyle P_ {1} (x) = f (a) + f '(a) (x-a)}$

je lineární aproximace F(X) pro X blízko bodu A, jehož graf y = P₁(X) je tečna do grafu y = F(X) na X = A. Chyba v aproximaci je:

${ displaystyle R_ {1} (x) = f (x) -P_ {1} (x) = h_ {1} (x) (x-a).}$

Tak jako X má sklony kA, tato chyba jde na nulu mnohem rychleji než ${ displaystyle f '(a) (x {-} a)}$, tvorba ${ displaystyle f (x) přibližně P_ {1} (x)}$ užitečné přiblížení.

Graf F(X) = E^X (modrá) se svou kvadratickou aproximací P₂(X) = 1 + X + X²/2 (červená) v A = 0. Všimněte si zlepšení aproximace.

Pro lepší přiblížení k F(X), můžeme umístit a kvadratický polynom místo lineární funkce:

${ displaystyle P_ {2} (x) = f (a) + f '(a) (x-a) + { frac {f' '(a)} {2}} (x-a) ^ {2}.}$

Místo toho, aby odpovídal jedné derivaci F(X) na X = A, tento polynom má stejné první a druhé derivace, jak je patrné při diferenciaci.

Taylorova věta zajišťuje, že kvadratická aproximace je v dostatečně malém sousedství x = A, přesnější než lineární aproximace. Konkrétně

${ displaystyle f (x) = P_ {2} (x) + h_ {2} (x) (xa) ^ {2}, quad lim _ {x to a} h_ {2} (x) = 0.}$

Zde je chyba v aproximaci

${ displaystyle R_ {2} (x) = f (x) -P_ {2} (x) = h_ {2} (x) (x-a) ^ {2},}$

které, vzhledem k omezujícímu chování ${ displaystyle h_ {2}}$, jde na nulu rychleji než ${ displaystyle (x-a) ^ {2}}$ tak jako X má sklony kA.

Aproximace F(X) = 1/(1 + X²) (modrá) svými Taylorovými polynomy P_k řádu k = 1, ..., 16 se středem v X = 0 (červená) a X = 1 (zelená). Aproximace se vůbec nezlepší venku (−1, 1), ani (1 - √2, 1 + √2).

Podobně bychom mohli získat ještě lepší aproximace F pokud použijeme polynomy vyššího stupně, od té doby můžeme přiřadit ještě více derivátů F ve vybraném základním bodě.

Obecně se jedná o chybu při aproximaci funkce o polynom stupně k půjde na nulu mnohem rychleji než ${ displaystyle (x {-} a) ^ {k}}$ tak jako X má sklony kA. Existují však funkce, dokonce i nekonečně diferencovatelné, u nichž zvyšování stupně aproximačního polynomu nezvyšuje přesnost aproximace: říkáme, že taková funkce nemusí být analytický na x = a: není v tomto okamžiku (lokálně) určeno jeho deriváty.

Taylorova věta je asymptotické povahy: říká nám pouze tu chybu R_k v přiblížení podle a k- Taylorův polynom řádu. řádu P_k inklinuje k nule rychleji než jakýkoli nenulový k-th stupeň polynomiální tak jako X → A. Neříká nám, jak velká je chyba v žádném konkrétním sousedství centra expanze, ale pro tento účel existují explicitní vzorce pro zbytek termínu (uvedené níže), které jsou platné za určitých dalších předpokladů pravidelnosti na F. Tyto vylepšené verze Taylorovy věty obvykle vedou k jednotné odhady pro chybu aproximace v malém sousedství centra expanze, ale odhady nemusí nutně platit pro sousedství, která jsou příliš velká, i když je funkce F je analytický. V této situaci může být nutné vybrat několik Taylorových polynomů s různými středy expanze, abychom měli spolehlivé Taylorovy aproximace původní funkce (viz animace vpravo).

Existuje několik způsobů, jak můžeme zbytek použít:

1. Odhadněte chybu polynomu P_k(X) stupně k odhadování F(X) v daném intervalu (A – r, A + r). (Vzhledem k intervalu a stupni najdeme chybu.)
2. Najděte nejmenší stupeň k pro které je polynom P_k(X) přibližný F(X) do dané tolerance chyb v daném intervalu (A − r, A + r). (Vzhledem k intervalu a toleranci chyb zjistíme stupeň.)
3. Najděte největší interval (A − r, A + r) na kterých P_k(X) přibližný F(X) do dané tolerance chyb. (Vzhledem k míře a toleranci chyb najdeme interval.)

Taylorova věta v jedné reálné proměnné

Výrok věty

Přesné vyjádření nejzákladnější verze Taylorovy věty je následující:

Taylorova věta.^[4][5][6] Nechat k ≥ 1 být celé číslo a nechte funkce F : R → R být k krát rozlišitelný na místě A ∈ R. Pak existuje funkce h_k : R → R takhle

${ displaystyle f (x) = f (a) + f '(a) (xa) + { frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + cdots + { frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} (xa) ^ {k} + h_ {k} (x) (xa) ^ {k},}$

${ displaystyle { mbox {and}} quad lim _ {x to a} h_ {k} (x) = 0}$. Tomu se říká Peano forma zbytku.

Polynom, který se objevuje v Taylorově větě, je k- Taylorův polynom řádu. řádu

${ displaystyle P_ {k} (x) = f (a) + f '(a) (xa) + { frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + cdots + { frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} (xa) ^ {k}}$

funkce F na místě A. Taylorův polynom je jedinečný „asymptotický nejvhodnější“ polynom v tom smyslu, že pokud existuje funkce h_k : R → R a a kpolynom řádu p takhle

${ displaystyle f (x) = p (x) + h_ {k} (x) (x-a) ^ {k}, quad lim _ {x až a} h_ {k} (x) = 0,}$

pak p = P_k. Taylorova věta popisuje asymptotické chování zbývající termín

${ displaystyle R_ {k} (x) = f (x) -P_ {k} (x),}$

který je chyba aproximace při přibližování F s jeho Taylorovým polynomem. Za použití malý-o zápis, prohlášení v Taylorově větě zní jako

${ displaystyle R_ {k} (x) = o (| x-a | ^ {k}), quad x do a.}$

Explicitní vzorce pro zbytek

Za silnějších předpokladů pravidelnosti dne F pro zbytek termínu existuje několik přesných vzorců R_k Taylorova polynomu, nejběžnější jsou následující.

Formy střední hodnoty zbytku. Nechat F : R → R být k + 1 krát rozlišitelný na otevřený interval s F^(k) kontinuální na uzavřený interval mezi A a X.^[7] Pak

${ displaystyle R_ {k} (x) = { frac {f ^ {(k + 1)} ( xi _ {L})} {(k + 1)!}} (xa) ^ {k + 1 }}$

pro nějaké skutečné číslo ξ_L mezi A a X. To je Lagrange formulář^[8] ze zbytku.

Podobně,

${ displaystyle R_ {k} (x) = { frac {f ^ {(k + 1)} ( xi _ {C})} {k!}} (x- xi _ {C}) ^ { k} (xa)}$

pro nějaké skutečné číslo ξ_C mezi A a X. To je Cauchy formulář^[9] ze zbytku.

Tato upřesnění Taylorovy věty jsou obvykle prokázána pomocí věta o střední hodnotě, odkud název. Lze nalézt i další podobné výrazy. Například pokud G(t) je spojitý na uzavřeném intervalu a diferencovatelný s nemizející derivací na otevřeném intervalu mezi A a X, pak

${ displaystyle R_ {k} (x) = { frac {f ^ {(k + 1)} ( xi)} {k!}} (x- xi) ^ {k} { frac {G ( x) -G (a)} {G '( xi)}}}$

pro nějaké číslo ξ mezi A a X. Tato verze pokrývá Lagrangeovu a Cauchyovu formu zbytku jako speciální případy a je níže prokázána použitím Cauchyova věta o střední hodnotě.

Prohlášení o integrální formě zbytku je pokročilejší než předchozí a vyžaduje pochopení Lebesgueova integrační teorie pro úplnou obecnost. Platí to však také ve smyslu Riemannův integrál za předpokladu, žek + 1) derivát F je spojitý v uzavřeném intervalu [A,X].

Integrální forma zbytku.^[10] Nechat F^(k) být absolutně kontinuální na uzavřený interval mezi A a X. Pak

${ displaystyle R_ {k} (x) = int _ {a} ^ {x} { frac {f ^ {(k + 1)} (t)} {k!}} (xt) ^ {k} , dt.}$

Kvůli absolutní kontinuita z F^(k) na uzavřený interval mezi A a X, jeho derivát F^(k+1) existuje jako L¹-funkce a výsledek lze prokázat formálním výpočtem pomocí základní věta o počtu a integrace po částech.

Odhady pro zbytek

V praxi je často užitečné mít možnost odhadnout zbývající člen, který se objevuje v Taylorově aproximaci, místo abychom měli přesný vzorec. Předpokládejme to F je (k + 1)-časy průběžně diferencovatelné v intervalu Já obsahující A. Předpokládejme, že existují skutečné konstanty q a Q takhle

${ Displaystyle q leq f ^ {(k + 1)} (x) leq Q}$

po celou dobu Já. Potom zbývající člen uspokojuje nerovnost^[11]

${ displaystyle q { frac {(xa) ^ {k + 1}} {(k + 1)!}} leq R_ {k} (x) leq Q { frac {(xa) ^ {k + 1}} {(k + 1)!}},}$

-li X > Aa podobný odhad, pokud X < A. To je jednoduchý důsledek Lagrangeovy formy zbytku. Zejména pokud

${ displaystyle | f ^ {(k + 1)} (x) | leq M}$

v intervalu Já = (A − r,A + r) s nějakým ${ displaystyle r> 0}$ , pak

${ displaystyle | R_ {k} (x) | leq M { frac {| xa | ^ {k + 1}} {(k + 1)!}} leq M { frac {r ^ {k + 1}} {(k + 1)!}}}$

pro všechny X∈(A − r,A + r). Druhá nerovnost se nazývá a jednotný odhad, protože platí jednotně pro všechny X na intervalu (A − r,A + r).

Příklad

Aproximace E^X (modrá) svými Taylorovými polynomy P_k řádu k = 1, ..., 7 se středem v X = 0 (červená).

Předpokládejme, že chceme najít přibližnou hodnotu funkce F(X) = E^X na intervalu [−1,1] při zajištění, že chyba v aproximaci není větší než 10⁻⁵. V tomto příkladu předstíráme, že známe pouze následující vlastnosti exponenciální funkce:

${ displaystyle (*) qquad e ^ {0} = 1, qquad { frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}, qquad e ^ {x}> 0, qquad x in mathbb {R}.}$

Z těchto vlastností vyplývá, že F^(k)(X) = E^X pro všechny k, a zejména F^(k)(0) = 1. Proto kTaylorův polynom řádu řádu F na 0 a jeho zbývající člen ve Lagrangeově formě je dán vztahem

${ displaystyle P_ {k} (x) = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2!}} + cdots + { frac {x ^ {k}} {k!}}, qquad R_ {k} (x) = { frac {e ^ { xi}} {(k + 1)!}} x ^ {k + 1},}$

kde ξ je nějaké číslo mezi 0 a X. Od té doby E^X se zvyšuje o (*), můžeme jednoduše použít E^X ≤ 1 pro X ∈ [−1, 0] k odhadu zbytku na podintervalu [−1, 0]. Pro získání horní hranice pro zbytek na [0,1] použijeme vlastnost E^ξ<E^X pro 0 <ξ odhadovat

${ displaystyle e ^ {x} = 1 + x + { frac {e ^ { xi}} {2}} x ^ {2} <1 + x + { frac {e ^ {x}} {2}} x ^ {2}, qquad 0$

pomocí Taylorova expanze druhého řádu. Pak vyřešíme pro E^X odvodit to

${ displaystyle e ^ {x} leq { frac {1 + x} {1 - { frac {x ^ {2}} {2}}}} = 2 { frac {1 + x} {2- x ^ {2}}} leq 4, qquad 0 leq x leq 1}$

jednoduše maximalizací čitatel a minimalizace jmenovatel. Kombinace těchto odhadů pro E^X vidíme to

${ displaystyle | R_ {k} (x) | leq { frac {4 | x | ^ {k + 1}} {(k + 1)!}} leq { frac {4} {(k + 1)!}}, Qquad -1 leq x leq 1,}$

takže požadované přesnosti je jistě dosaženo, když

${ displaystyle { frac {4} {(k + 1)!}} <10 ^ {- 5} quad Longleftrightarrow quad 4 cdot 10 ^ {5} <(k + 1)! quad Longleftrightarrow quad k geq 9.}$

(Vidět faktoriál nebo ručně spočítat hodnoty 9! = 362 880 a 10! = 3 628 800.) Závěrem lze říci, že Taylorova věta vede k aproximaci

${ displaystyle e ^ {x} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2!}} + cdots + { frac {x ^ {9}} {9!}} + R_ {9 } (x), qquad | R_ {9} (x) | <10 ^ {- 5}, qquad -1 leq x leq 1.}$

Například tato aproximace poskytuje a desítkové vyjádření E ≈ 2,71828, opravte až pět desetinných míst.

Vztah k analytičnosti

Taylorovy expanze skutečných analytických funkcí

Nechat Já ⊂ R být otevřený interval. Podle definice funkce F : Já → R je skutečné analytické pokud je to lokálně definováno konvergentem výkonová řada. To znamená, že pro každého A ∈ Já nějaké existují r > 0 a posloupnost koeficientů C_k ∈ R takhle (A − r, A + r) ⊂ Já a

${ displaystyle f (x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} c_ {k} (xa) ^ {k} = c_ {0} + c_ {1} (xa) + c_ {2} (xa) ^ {2} + cdots, qquad | xa |$

Obecně platí, že poloměr konvergence výkonové řady lze vypočítat z Cauchy – Hadamardův vzorec

${ displaystyle { frac {1} {R}} = limsup _ {k to infty} | c_ {k} | ^ { frac {1} {k}}.}$

Tento výsledek je založen na srovnání s a geometrické řady, a stejná metoda ukazuje, že pokud je výkonová řada založena na A pro některé konverguje b ∈ R, musí konvergovat jednotně na uzavřený interval [A − r_b, A + r_b], kde r_b = |b − A|. Zde se bere v úvahu pouze konvergence výkonové řady a mohlo by to tak být (A − R,A + R) přesahuje doménu Já z F.

Taylorovy polynomy skutečné analytické funkce F na A jsou prostě konečné zkrácení

${ displaystyle P_ {k} (x) = součet _ {j = 0} ^ {k} c_ {j} (xa) ^ {j}, qquad c_ {j} = { frac {f ^ {( j)} (a)} {j!}}}$

její lokálně definující výkonové řady a odpovídající zbývající termíny jsou lokálně dány analytickými funkcemi

${ displaystyle R_ {k} (x) = součet _ {j = k + 1} ^ { infty} c_ {j} (xa) ^ {j} = (xa) ^ {k} h_ {k} ( x), qquad | xa |$

Zde jsou funkce

${ displaystyle { begin {cases} h_ {k} :( ar, a + r) to mathbf {R} h_ {k} (x) = (xa) sum _ {j = 0} ^ { infty} c_ {k + 1 + j} (xa) ^ {j} end {případy}}}$

jsou také analytické, protože jejich definující výkonové řady mají stejný poloměr konvergence jako původní řady. Za předpokladu, že [A − r, A + r] ⊂ Já a r < R, všechny tyto řady konvergují rovnoměrně (A − r, A + r). Přirozeně, v případě analytických funkcí lze odhadnout zbytek termínu R_k(X) na konci sekvence derivátů F'(A) ve středu expanze, ale pomocí komplexní analýza vyvstává také další možnost, která je popsána níže.

Taylorova věta a konvergence Taylorovy řady

Taylor série F bude konvergovat v nějakém intervalu, ve kterém jsou všechny jeho deriváty ohraničené a nerostou příliš rychle jako k jde do nekonečna. (Nicméně, i když Taylorova řada konverguje, nemusí konvergovat k F, jak je vysvětleno níže; F pak se říká, že neníanalytický.)

Jeden by mohl myslet na Taylorovu sérii

${ displaystyle f (x) přibližně součet _ {k = 0} ^ { infty} c_ {k} (xa) ^ {k} = c_ {0} + c_ {1} (xa) + c_ {2 } (xa) ^ {2} + cdots}$

nekonečně mnohokrát diferencovatelné funkce F : R → R jako jeho "nekonečný řád Taylorův polynom" na A. Nyní odhady pro zbytek naznačují, že pokud, pro všechny r, deriváty F je známo, že jsou ohraničeny (A − r, A + r), pak pro jakoukoli objednávku k a pro všechny r > 0 existuje konstanta M_{k, r} > 0 takhle

${ displaystyle (*) quad | R_ {k} (x) | leqslant M_ {k, r} { frac {| x-a | ^ {k + 1}} {(k + 1)!}}}$

pro každého X ∈ (A − r,A + r). Někdy konstanty M_{k, r} lze zvolit takovým způsobem, že M_{k, r} je omezen výše, pro pevné r a všechno k. Pak Taylor série F konverguje rovnoměrně na nějakou analytickou funkci

${ displaystyle { begin {cases} T_ {f} :( ar, a + r) to mathbf {R} T_ {f} (x) = sum _ {k = 0} ^ { infty } { frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} (xa) ^ {k} end {případů}}}$

(Jeden také získá konvergenci, i když M_{k, r} není omezena výše, pokud roste dostatečně pomalu.)

Limitní funkce T_F je ze své podstaty vždy analytický, ale nemusí se nutně rovnat původní funkci F, i kdyby F je neomezeně diferencovatelný. V tomto případě říkáme F je neanalytická plynulá funkce, například a plochá funkce:

${ displaystyle { begin {cases} f: mathbf {R} to mathbf {R} f (x) = { begin {cases} e ^ {- { frac {1} {x ^ { 2}}}} & x> 0 0 & x leqslant 0 end {cases}} end {cases}}.}$

Za použití řetězové pravidlo opakovaně matematická indukce, jeden ukazuje, že pro jakoukoli objednávkuk,

${ displaystyle f ^ {(k)} (x) = { begin {cases} { frac {p_ {k} (x)} {x ^ {3k}}} cdot e ^ {- { frac { 1} {x ^ {2}}}} & x> 0 0 & x leqslant 0 end {případy}}}$

pro nějaký polynom p_k stupně 2 (k - 1). Funkce ${ displaystyle e ^ {- { frac {1} {x ^ {2}}}}}$ má tendenci k nule rychleji než jakýkoli polynom jako X → 0, tak F je nekonečně mnohokrát diferencovatelné a F^(k)(0) = 0 pro každé kladné celé číslo k. Výše uvedené výsledky platí v tomto případě:

• Taylor série F rovnoměrně konverguje k nulové funkci T_F(X) = 0, což je analytické se všemi koeficienty rovnými nule.
• Funkce F je nerovné s touto Taylorovou řadou, a proto neanalytické.
• Pro jakoukoli objednávku k ∈ N a poloměr r > 0 existuje M_{k, r} > 0 splňující zbytek vázaný (*) výše.

Nicméně, jak k zvýšení pro pevné r, hodnota M_{k, r} roste rychleji r^ka chyba nejde na nulu.

Taylorova věta v komplexní analýze

Taylorova věta se zobecňuje na funkce F : C → C což jsou komplexní diferencovatelné v otevřené podmnožině U ⊂ C z složité letadlo. Nicméně, jeho užitečnost je převyšována jinými obecnými větami v komplexní analýza. Jmenovitě lze odvodit silnější verze souvisejících výsledků komplexní diferencovatelné funkce F : U → C použitím Cauchyho integrální vzorec jak následuje.

Nechat r > 0 takové, že uzavřený disk B(z, r) ∪ S(z, r) je obsažen v U. Pak Cauchyho integrální vzorec s pozitivní parametrizací y(t)=z + re^to kruhu S(z, r) s t ∈ [0, 2π] dává

${ displaystyle f (z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { gamma} { frac {f (w)} {wz}} , dw, quad f '( z) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { gamma} { frac {f (w)} {(wz) ^ {2}}} , dw, quad ldots , quad f ^ {(k)} (z) = { frac {k!} {2 pi i}} int _ { gamma} { frac {f (w)} {(wz) ^ { k + 1}}} , dw.}$

Zde jsou všechna celá čísla spojitá na kruh S(z, r), který odůvodňuje diferenciaci pod integrálním znaménkem. Zejména pokud F je jednou komplexní diferencovatelné na otevřené scéně U, pak je to vlastně nekonečně mnohokrát komplexní diferencovatelné na U. Jeden také získá Cauchyho odhady^[12]

${ displaystyle | f ^ {(k)} (z) | leqslant { frac {k!} {2 pi}} int _ { gamma} { frac {M_ {r}} {| wz | ^ {k + 1}}} , dw = { frac {k! M_ {r}} {r ^ {k}}}, quad M_ {r} = max _ {| wc | = r} | f (w) |}$

pro všechny z ∈ U a r > 0 takových B(z, r) ∪ S(C, r) ⊂ U. Tyto odhady naznačují, že komplex Taylor série

${ displaystyle T_ {f} (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {f ^ {(k)} (c)} {k!}} (zc) ^ {k }}$

z F konverguje rovnoměrně na jakékoli otevřete disk B(C, r) ⊂ U s S(C, r) ⊂ U do nějaké funkce T_F. Dále pomocí integrálních vzorců obrysu pro derivace F^(k)(C),

${ displaystyle { begin {aligned} T_ {f} (z) & = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(zc) ^ {k}} {2 pi i}} int _ { gamma} { frac {f (w)} {(wc) ^ {k + 1}}} , dw & = { frac {1} {2 pi i}} int _ { gamma} { frac {f (w)} {wc}} sum _ {k = 0} ^ { infty} left ({ frac {zc} {wc}} right) ^ {k } , dw & = { frac {1} {2 pi i}} int _ { gamma} { frac {f (w)} {wc}} left ({ frac {1} {1 - { frac {zc} {wc}}}} right) , dw & = { frac {1} {2 pi i}} int _ { gamma} { frac {f (w)} {wz}} , dw = f (z), end {zarovnáno}}}$

takže jakýkoli komplexní diferencovatelné funkce F v otevřené sadě U ⊂ C je ve skutečnosti komplexní analytické. To vše se říká pro skutečné analytické funkce tady platí také pro komplexní analytické funkce s otevřeným intervalem Já nahrazeno otevřenou podmnožinou U ∈ C a A-centrované intervaly (A − r, A + r) nahrazen C-centrované disky B(C, r). Zejména Taylorova expanze má formu

${ displaystyle f (z) = P_ {k} (z) + R_ {k} (z), quad P_ {k} (z) = součet _ {j = 0} ^ {k} { frac { f ^ {(j)} (c)} {j!}} (zc) ^ {j},}$

kde zbytek termínu R_k je komplexní analytický. Metody komplexní analýzy poskytují některé silné výsledky týkající se Taylorových expanzí. Například pomocí Cauchyho integrálního vzorce pro všechny pozitivně orientované Jordanova křivka y který parametrizuje hranici ∂Ž ⊂ U regionu Ž ⊂ U, jeden získá výrazy pro deriváty F^(j)(C) jak je uvedeno výše, a mírně upravit výpočet pro T_F(z) = F(z), jeden dospěje k přesnému vzorci

${ displaystyle R_ {k} (z) = součet _ {j = k + 1} ^ { infty} { frac {(zc) ^ {j}} {2 pi i}} int _ { gamma} { frac {f (w)} {(wc) ^ {j + 1}}} , dw = { frac {(zc) ^ {k + 1}} {2 pi i}} int _ { gamma} { frac {f (w) , dw} {(wc) ^ {k + 1} (wz)}}, qquad z ve W.}$

Důležitým rysem zde je, že kvalita aproximace Taylorovým polynomem v oblasti Ž ⊂ U dominují hodnoty funkce F sám na hranici ∂Ž ⊂ U. Podobně při použití Cauchyho odhadů na výraz řady pro zbytek získáme jednotné odhady

${ displaystyle | R_ {k} (z) | leqslant sum _ {j = k + 1} ^ { infty} { frac {M_ {r} | zc | ^ {j}} {r ^ {j }}} = { frac {M_ {r}} {r ^ {k + 1}}} { frac {| zc | ^ {k + 1}} {1 - { frac {| zc |} {r }}}} leqslant { frac {M_ {r} beta ^ {k + 1}} {1- beta}}, qquad { frac {| zc |} {r}} leqslant beta < 1.}$

Příklad

Složitá zápletka F(z) = 1/(1 + z²). Modul je zobrazen elevací a argument zbarvením: azurová = 0, modrá =π/ 3, fialová = 2π/ 3, červená =π, žlutá = 4π/ 3, zelená = 5π/3.

Funkce

${ displaystyle { begin {cases} f: mathbf {R} to mathbf {R} f (x) = { frac {1} {1 + x ^ {2}}} end {případy }}}$

je skutečné analytické, to je místně určeno jeho Taylorovou řadou. Tato funkce byla vykreslena výše pro ilustraci skutečnosti, že některé elementární funkce nelze aproximovat Taylorovými polynomy v sousedstvích centra expanze, která jsou příliš velká. Tento druh chování je snadno pochopitelný v rámci komplexní analýzy. Jmenovitě funkce F sahá do a meromorfní funkce

${ displaystyle { begin {cases} f: mathbf {C} cup { infty } to mathbf {C} cup { infty } f (z) = { frac { 1} {1 + z ^ {2}}} end {cases}}}$

na zhutněné komplexní rovině. Má jednoduché póly z = i a z = −ia je analytická jinde. Nyní se její série Taylor soustředila na z₀ konverguje na libovolném disku B(z₀, r) s r < |z − z₀|, kde stejná Taylorova řada konverguje v z ∈ C. Proto Taylor série F se středem na 0 konverguje na B(0, 1) a u žádného nekonverguje z ∈ C s |z| > 1 kvůli pólům v i a -i. Ze stejného důvodu i Taylorova řada F se středem na 1 konverguje na B(1, √2) a pro žádné nekonverguje z ∈ C s |z − 1| > √2.

Zobecnění Taylorovy věty

Diferencovatelnost vyššího řádu

Funkce F: Rⁿ → R je rozlišitelný na A ∈ Rⁿ kdyby a jen kdyby existuje a lineární funkční L : Rⁿ → R a funkce h : Rⁿ → R takhle

${ displaystyle f ({ boldsymbol {x}}) = f ({ boldsymbol {a}}) + L ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {a}}) + h ({ boldsymbol { x}}) lVert { boldsymbol {x}} - { boldsymbol {a}} rVert, qquad lim _ {{ boldsymbol {x}} do { boldsymbol {a}}} h ({ boldsymbol {x}}) = 0.}$

Pokud tomu tak je, pak L = df(A) je (jednoznačně definováno) rozdíl z F na místě A. Dále pak částečné derivace z F existují v A a diferenciál F na A darováno

${ displaystyle df ({ boldsymbol {a}}) ({ boldsymbol {v}}) = { frac { částečné f} { částečné x_ {1}}} ({ boldsymbol {a}}) v_ {1} + cdots + { frac { částečné f} { částečné x_ {n}}} ({ boldsymbol {a}}) v_ {n}.}$

Představte multi-indexová notace

${ displaystyle | alpha | = alpha _ {1} + cdots + alpha _ {n}, quad alpha! = alpha _ {1}! cdots alpha _ {n}!, quad { boldsymbol {x}} ^ { alpha} = x_ {1} ^ { alpha _ {1}} cdots x_ {n} ^ { alpha _ {n}}}$

pro α ∈ Nⁿ a X ∈ Rⁿ. Pokud všechny k-tá objednávka částečné derivace z F : Rⁿ → R jsou spojité v A ∈ Rⁿ, poté Clairautova věta, lze změnit pořadí smíšených derivátů na A, takže notace

${ displaystyle D ^ { alpha} f = { frac { částečné ^ {| alfa |} f} { částečné x_ {1} ^ { alfa _ {1}} cdots částečné x_ {n} ^ { alpha _ {n}}}}, qquad | alpha | leq k}$

pro vyšší řád částečné derivace je v této situaci oprávněná. Totéž platí, pokud všechny (k - 1) dílčí deriváty řádu F existují v některých sousedstvích A a jsou diferencovatelné na A.^[13] Pak to říkáme F je k časy diferencovatelné v boděA.

Taylorova věta pro vícerozměrné funkce

Vícerozměrná verze Taylorovy věty.^[14] Nechat F : Rⁿ → R být k- časově rozlišitelná funkce v bodě A∈Rⁿ. Pak existuje h_α : Rⁿ→R takhle

${ displaystyle { begin {aligned} & f ({ boldsymbol {x}}) = sum _ {| alpha | leq k} { frac {D ^ { alpha} f ({ boldsymbol {a} })} { alpha!}} ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {a}}) ^ { alpha} + sum _ {| alpha | = k} h _ { alpha} ({ boldsymbol {x}}) ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {a}}) ^ { alpha}, & { mbox {and}} quad lim _ {{ boldsymbol { x}} to { boldsymbol {a}}} h _ { alpha} ({ boldsymbol {x}}) = 0. end {zarovnáno}}}$

Pokud je funkce F : Rⁿ → R je k + 1 krát průběžně diferencovatelné v uzavřená koule ${ displaystyle B = { mathbf {y} in mathbb {R} ^ {n}: || mathbf {a} - mathbf {y} || leq r }}$ pro některé ${ displaystyle r> 0}$, pak lze odvodit přesný vzorec pro zbytek, pokud jde o (k+1) -th objednat částečné derivace z F v této čtvrti.^[15] A to,

${ displaystyle { begin {aligned} & f ({ boldsymbol {x}}) = sum _ {| alpha | leq k} { frac {D ^ { alpha} f ({ boldsymbol {a} })} { alpha!}} ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {a}}) ^ { alpha} + sum _ {| beta | = k + 1} R _ { beta} ({ boldsymbol {x}}) ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {a}}) ^ { beta}, & R _ { beta} ({ boldsymbol {x}}) = { frac {| beta |} { beta!}} int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {| beta | -1} D ^ { beta} f { big (} { boldsymbol {a}} + t ({ boldsymbol {x}} - { boldsymbol {a}}) { big)} , dt. end {zarovnáno}}}$

V tomto případě z důvodu kontinuita z (k+1) -tá objednávka částečné derivace v kompaktní sada B, jeden okamžitě získá jednotné odhady

${ displaystyle left | R _ { beta} ({ boldsymbol {x}}) right | leq { frac {1} { beta!}} max _ {| alpha | = | beta | } max _ {{ boldsymbol {y}} v B} | D ^ { alpha} f ({ boldsymbol {y}}) |, qquad { boldsymbol {x}} v B.}$

Příklad ve dvou rozměrech

Například Taylorův polynom třetího řádu hladké funkce F: R² → R je, označující X − A = proti,

${ displaystyle { begin {aligned} P_ {3} ({ boldsymbol {x}}) = f ({ boldsymbol {a}}) + {} & { frac { částečné f} { částečné x_ { 1}}} ({ boldsymbol {a}}) v_ {1} + { frac { částečné f} { částečné x_ {2}}} ({ boldsymbol {a}}) v_ {2} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x_ {1} ^ {2}}} ({ boldsymbol {a}}) { frac {v_ {1} ^ {2}} {2!} } + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x_ {1} částečné x_ {2}}} ({ boldsymbol {a}}) v_ {1} v_ {2} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x_ {2} ^ {2}}} ({ boldsymbol {a}}) { frac {v_ {2} ^ {2}} {2!}} & + { frac { částečné ^ {3} f} { částečné x_ {1} ^ {3}}} ({ boldsymbol {a}}) { frac {v_ {1} ^ {3}} {3!}} + { Frac v_ {1} ^ {2} v_ {2}} {2!}} + { frac { částečné ^ {3} f} { částečné x_ {1} částečné x_ {2} ^ {2}}} ({ boldsymbol {a}}) { frac {v_ {1} v_ {2} ^ {2}} {2!}} + { frac { částečné ^ {3} f} { částečné x_ {2 } ^ {3}}} ({ boldsymbol {a}}) { frac {v_ {2} ^ {3}} {3!}} End {zarovnáno}}}$

Důkazy

Důkaz pro Taylorovu větu v jedné reálné proměnné

Nechat^[16]

${ displaystyle h_ {k} (x) = { begin {cases} { frac {f (x) -P (x)} {(xa) ^ {k}}} & x not = a 0 & x = a end {případů}}}$

kde, jako ve výroku Taylorovy věty,

${ displaystyle P (x) = f (a) + f '(a) (xa) + { frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + cdots + { frac {f ^ {(k)} (a)} {k!}} (xa) ^ {k}.}$

To stačí ukázat

${ displaystyle lim _ {x až a} h_ {k} (x) = 0.}$

Důkaz je založen na opakované aplikaci Pravidlo L'Hôpital. Všimněte si, že pro každého j = 0,1,...,k−1, ${ displaystyle f ^ {(j)} (a) = P ^ {(j)} (a)}$. Proto každý z prvních k-1 deriváty čitatele v ${ displaystyle h_ {k} (x)}$ zmizí v ${ displaystyle x = a}$, a totéž platí pro jmenovatele. Také od podmínky, že funkce F být k časy diferencovatelné v bodě vyžadují diferencovatelnost až na objednávku k−1 v sousedství uvedeného bodu (to je pravda, protože diferencovatelnost vyžaduje definování funkce v celém sousedství bodu), čitatel a jeho k - 2 deriváty jsou diferencovatelné v sousedství A. Je zjevné, že jmenovatel také splňuje uvedenou podmínku a navíc nezmizí, pokud X=A, proto jsou splněny všechny podmínky nezbytné pro pravidlo společnosti L'Hopital a jeho použití je oprávněné. Tak

${ displaystyle { begin {zarovnáno} lim _ {x až a} { frac {f (x) -P (x)} {(xa) ^ {k}}} & = lim _ {x na a} { frac {{ frac {d} {dx}} (f (x) -P (x))} {{ frac {d} {dx}} (xa) ^ {k}}} = cdots = lim _ {x to a} { frac {{ frac {d ^ {k-1}} {dx ^ {k-1}}} (f (x) -P (x))} {{ frac {d ^ {k-1}} {dx ^ {k-1}}} (xa) ^ {k}}} & = { frac {1} {k!}} lim _ {x to a} { frac {f ^ {(k-1)} (x) -P ^ {(k-1)} (x)} {xa}} & = { frac {1} {k!}} (f ^ {(k)} (a) -f ^ {(k)} (a)) = 0 end {zarovnáno}}}$

kde předposlední rovnost následuje definicí derivace vX = A.

Odvození forem střední hodnoty zbytku

Nechat G být libovolná funkce se skutečnou hodnotou, spojitá v uzavřeném intervalu mezi A a X a diferencovatelné s nemizející derivací na otevřeném intervalu mezi A a Xa definovat

${ displaystyle F (t) = f (t) + f '(t) (xt) + { frac {f' '(t)} {2!}} (xt) ^ {2} + cdots + { frac {f ^ {(k)} (t)} {k!}} (xt) ^ {k}.}$

Pro ${ displaystyle t v [a, x]}$. Pak, tím Cauchyova věta o střední hodnotě,

${ displaystyle (*) quad { frac {F '( xi)} {G' ( xi)}} = { frac {F (x) -F (a)} {G (x) -G (A)}}}$

pro některé ξ na otevřeném intervalu mezi A a X. Všimněte si, že zde čitatel F(X) − F(A) = R_k(X) je přesně zbytek Taylorova polynomu pro F(X). Vypočítat

${ displaystyle { begin {aligned} F '(t) = {} & f' (t) + { big (} f '' (t) (xt) -f '(t) { big)} + left ({ frac {f ^ {(3)} (t)} {2!}} (xt) ^ {2} - { frac {f ^ {(2)} (t)} {1!}} (xt) right) + cdots & cdots + left ({ frac {f ^ {(k + 1)} (t)} {k!}} (xt) ^ {k} - { frac {f ^ {(k)} (t)} {(k-1)!}} (xt) ^ {k-1} right) = { frac {f ^ {(k + 1)} (t )} {k!}} (xt) ^ {k}, end {zarovnáno}}}$

připojte jej do (*) a uspořádejte termíny, abyste to našli

${ displaystyle R_ {k} (x) = { frac {f ^ {(k + 1)} ( xi)} {k!}} (x- xi) ^ {k} { frac {G ( x) -G (a)} {G '( xi)}}.}$

Toto je forma zbytkového termínu zmíněného po skutečném prohlášení Taylorovy věty se zbytkem ve formě střední hodnoty. Lagrangeova forma zbytku se najde výběrem ${ displaystyle G (t) = (x-t) ^ {k + 1}}$ a Cauchyho formulář výběrem ${ displaystyle G (t) = t-a}$.

Poznámka. Pomocí této metody lze také obnovit integrální formu zbytku výběrem

${ displaystyle G (t) = int _ {a} ^ {t} { frac {f ^ {(k + 1)} (s)} {k!}} (xs) ^ {k} , ds ,}$

ale požadavky na F potřebné pro použití věty o střední hodnotě jsou příliš silné, pokud je cílem dokázat tvrzení v případě, že F^(k) je pouze absolutně kontinuální. Pokud však někdo používá Riemannův integrál namísto Lebesgueův integrál, předpoklady nemohou být oslabeny.

Odvození pro integrální formu zbytku

Kvůli absolutní kontinuita z F^(k) na uzavřený interval mezi A a X jeho derivát F^(k+1) existuje jako L¹-funkce, a můžeme použít základní věta o počtu a integrace po částech. Stejný důkaz platí pro Riemannův integrál za předpokladu, že F^(k) je kontinuální na uzavřeném intervalu a rozlišitelný na otevřený interval mezi A a X, a to vede ke stejnému výsledku než použití věty o střední hodnotě.

The základní věta o počtu tvrdí, že

${ displaystyle f (x) = f (a) + int _ {a} ^ {x} , f '(t) , dt.}$

Teď můžeme integrovat po částech a znovu použijte základní teorém počtu, abyste to viděli

${ displaystyle { begin {aligned} f (x) & = f (a) + { Big (} xf '(x) -af' (a) { Big)} - int _ {a} ^ { x} tf '' (t) , dt & = f (a) + x vlevo (f '(a) + int _ {a} ^ {x} f' '(t) , dt vpravo) -af '(a) - int _ {a} ^ {x} tf' '(t) , dt & = f (a) + (xa) f' (a) + int _ { a} ^ {x} , (xt) f '' (t) , dt, end {zarovnáno}}}$

což je přesně Taylorova věta se zbytkem v integrální formě v případě k = 1Obecné prohlášení je prokázáno pomocí indukce. Předpokládejme to

${ displaystyle (*) quad f (x) = f (a) + { frac {f '(a)} {1!}} (xa) + cdots + { frac {f ^ {(k) } (a)} {k!}} (xa) ^ {k} + int _ {a} ^ {x} { frac {f ^ {(k + 1)} (t)} {k!}} (xt) ^ {k} , dt.}$

Integrace zbývajícího termínu částmi, ke kterým jsme dospěli

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {a} ^ {x} { frac {f ^ {(k + 1)} (t)} {k!}} (xt) ^ {k} , dt = & - left [{ frac {f ^ {(k + 1)} (t)} {(k + 1) k!}} (xt) ^ {k + 1} right] _ {a} ^ {x} + int _ {a} ^ {x} { frac {f ^ {(k + 2)} (t)} {(k + 1) k!}} (xt) ^ {k + 1 } , dt = & { frac {f ^ {(k + 1)} (a)} {(k + 1)!}} (xa) ^ {k + 1} + int _ {a } ^ {x} { frac {f ^ {(k + 2)} (t)} {(k + 1)!}} (xt) ^ {k + 1} , dt. end {zarovnáno}} }$

Dosazením do vzorce v (*) ukazuje, že pokud platí pro hodnotu k, musí také platit pro hodnotu k + 1. Proto, protože platí pro k = 1, musí platit pro každé kladné celé číslok.

Odvození pro zbytek vícerozměrných Taylorových polynomů

Dokazujeme speciální případ, kde F : Rⁿ → R má spojité částečné derivace až do pořadí k+1 v nějakém uzavřeném míči B se středem A. Strategie důkazu je použít případ jedné proměnné Taylorovy věty na omezení F na sousední úsečku X a A.^[17] Parametrizujte úsečku mezi A a X podle u(t) = A + t(X − A). Na funkci aplikujeme verzi jedné proměnné Taylorovy věty G(t) = F(u(t)):

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = g (1) = g (0) + součet _ {j = 1} ^ {k} { frac {1} {j!}} g ^ {(j )} (0) + int _ {0} ^ {1} { frac {(1-t) ^ {k}} {k!}} G ^ {(k + 1)} (t) , dt.}$

Uplatnění řetězové pravidlo pro několik proměnných dává

${ displaystyle { begin {zarovnáno} g ^ {(j)} (t) & = { frac {d ^ {j}} {dt ^ {j}}} f (u (t)) = { frac {d ^ {j}} {dt ^ {j}}} f ( mathbf {a} + t ( mathbf {x} - mathbf {a})) & = sum _ {| alpha | = j} left ({ begin {matrix} j alpha end {matrix}} right) (D ^ { alpha} f) ( mathbf {a} + t ( mathbf {x} - mathbf {a})) ( mathbf {x} - mathbf {a}) ^ { alpha} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle { tbinom {j} { alpha}}}$ je multinomický koeficient. Od té doby ${ displaystyle { tfrac {1} {j!}} { tbinom {j} { alpha}} = { tfrac {1} { alfa!}}}$, dostaneme:

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = f ( mathbf {a}) + součet _ {1 leq | alpha | leq k} { frac {1} { alfa!}} (D ^ { alpha} f) ( mathbf {a}) ( mathbf {x} - mathbf {a}) ^ { alpha} + sum _ {| alpha | = k + 1} { frac { k + 1} { alpha!}} ( mathbf {x} - mathbf {a}) ^ { alpha} int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {k} (D ^ { alpha} f) ( mathbf {a} + t ( mathbf {x} - mathbf {a})) , dt.}$

Viz také

• Laurentova řada
• Padé přibližný
• Newtonova řada

Poznámky pod čarou

Reference

• Apostol, Tom (1967), PočetWiley, ISBN  0-471-00005-1.
• Apostol, Tom (1974), Matematická analýzaAddison – Wesley.
• Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (2011), Úvod do reálné analýzy (4. vydání), Wiley, ISBN  978-0-471-43331-6.
• Hörmander, L. (1976), Lineární parciální diferenciální operátory, svazek 1Springer, ISBN  978-3-540-00662-6.
• Kline, Morris (1972), Matematické myšlení od starověku po moderní dobu, svazek 2, Oxford University Press.
• Kline, Morris (1998), Kalkul: Intuitivní a fyzický přístupDover, ISBN  0-486-40453-6.
• Pedrick, George (1994), První kurz v analýzeSpringer, ISBN  0-387-94108-8.
• Stromberg, Karl (1981), Úvod do klasické reálné analýzy, Wadsworth, ISBN  978-0-534-98012-2.
• Rudin, Walter (1987), Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.), McGraw-Hill, ISBN  0-07-054234-1.
• Tao, Terence (2014), Analýza, svazek I (3. vyd.), Hindustan Book Agency, ISBN  978-93-80250-64-9.

externí odkazy

• Taylorova věta na ProofWiki
• Taylor Series Aproximace k Cosine na cut-the-uzel
• Trigonometrická Taylorova expanze interaktivní demonstrační applet
• Taylor Series Revisited na Holistický institut numerických metod