Cauchy – Hadamardova věta - Cauchy–Hadamard theorem

v matematika, Cauchy – Hadamardova věta je výsledkem v komplexní analýza pojmenoval podle francouzština matematici Augustin Louis Cauchy a Jacques Hadamard, popisující poloměr konvergence a výkonová řada. To bylo vydáváno v 1821 Cauchy,^[1] ale zůstal relativně neznámý, dokud ho Hadamard znovu neobjevil.^[2] Hadamardova první publikace tohoto výsledku byla v roce 1888;^[3] zahrnul to také jako součást svého Ph.D. z roku 1892 teze.^[4]

Věta pro jednu komplexní proměnnou

Zvažte formální výkonová řada v jedné komplexní proměnné z formuláře

${ displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} (z-a) ^ {n}}$

kde ${ displaystyle a, c_ {n} in mathbb {C}.}$

Pak poloměr konvergence ${ displaystyle R}$ z ƒ na místě A je dána

${ displaystyle { frac {1} {R}} = limsup _ {n to infty} { big (} | c_ {n} | ^ {1 / n} { big)}}$

kde lim sup označuje limit lepší, limit jako n se blíží nekonečnu supremum hodnot sekvence po nth pozice. Pokud jsou hodnoty posloupnosti neomezené, takže lim sup je ∞, pak se výkonová řada sbližuje poblíž A, zatímco je-li lim sup 0, pak je poloměr konvergence ∞, což znamená, že řada konverguje v celé rovině.

Důkaz

Bez ztráty obecnosti to předpokládejte ${ displaystyle a = 0}$. Nejprve si ukážeme, že výkonová řada ${ displaystyle sum c_ {n} z ^ {n}}$ konverguje pro ${ displaystyle | z |$a pak se to rozchází ${ displaystyle | z |> R}$.

Nejprve předpokládejme ${ displaystyle | z |$. Nechat ${ displaystyle t = 1 / R}$ nebýt ${ displaystyle 0}$ nebo ${ displaystyle pm infty.}$Pro všechny ${ displaystyle varepsilon> 0}$, existuje pouze konečný počet ${ displaystyle n}$ takhle ${ displaystyle { sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} geq t + varepsilon}$. Nyní ${ displaystyle | c_ {n} | leq (t + varepsilon) ^ {n}}$ pro všechny kromě konečného počtu ${ displaystyle c_ {n}}$, takže série ${ displaystyle sum c_ {n} z ^ {n}}$ konverguje, pokud ${ displaystyle | z | <1 / (t + varepsilon)}$. To dokazuje první část.

Naopak pro ${ displaystyle varepsilon> 0}$, ${ displaystyle | c_ {n} | geq (t- varepsilon) ^ {n}}$ pro nekonečně mnoho ${ displaystyle c_ {n}}$, takže když ${ displaystyle | z | = 1 / (t- varepsilon)> R}$, vidíme, že řada nemůže konvergovat, protože je nth termín nemá tendenci k 0.^[5]

Věta o několika komplexních proměnných

Nechat ${ displaystyle alpha}$ být více indexem (a n-tuple celých čísel) s ${ displaystyle | alpha | = alpha _ {1} + cdots + alpha _ {n}}$, pak ${ displaystyle f (x)}$ konverguje s poloměrem konvergence ${ displaystyle rho}$ (což je také více indexů) právě tehdy

${ displaystyle lim _ {| alpha | to infty} { sqrt [{| alpha |}] {| c _ { alpha} | rho ^ { alpha}}} = 1}$

do vícerozměrné výkonové řady

${ displaystyle sum _ { alpha geq 0} c _ { alpha} (za) ^ { alpha}: = sum _ { alpha _ {1} geq 0, ldots, alpha _ {n } geq 0} c _ { alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n}} (z_ {1} -a_ {1}) ^ { alpha _ {1}} cdots (z_ {n } -a_ {n}) ^ { alpha _ {n}}}$

Důkaz najdete v ^[6]

Poznámky

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Cauchy-Hadamardova věta“. MathWorld.