Funkce Riemann zeta - Riemann zeta function
Funkce Riemann zeta | |
---|---|
Základní vlastnosti | |
Doména | |
Kodoména | |
Specifické hodnoty | |
Na nule | |
Omezit na +∞ | |
Hodnota v | |
Hodnota v | |
Hodnota v | |
The Funkce Riemann zeta nebo Funkce Euler – Riemann zeta, ζ(s), je funkce a komplexní proměnná s že analyticky pokračuje součet Dirichletova řada
který konverguje, když skutečná část z s je větší než 1. Obecnější reprezentace z ζ(s) pro všechny s jsou uvedeny níže. Riemannova funkce zeta hraje klíčovou roli analytická teorie čísel a má aplikace v fyzika, teorie pravděpodobnosti a aplikován statistika.
Jako funkce reálné proměnné Leonhard Euler poprvé představen a studován v první polovině osmnáctého století bez použití komplexní analýza, který nebyl v té době k dispozici. Bernhard Riemann článek z roku 1859 "O počtu prvočísel menších než daná velikost "rozšířil Eulerovu definici na a komplex proměnná, prokázala svoji meromorfní pokračování a funkční rovnice, a navázal vztah mezi jeho nuly a rozdělení prvočísel.[2]
Hodnoty Riemannovy zeta funkce při sudých kladných celých číslech vypočítal Euler. První z nich, ζ(2), poskytuje řešení pro Basilejský problém. V roce 1979 Roger Apéry prokázal iracionalitu ζ(3). Hodnoty v záporných celých bodech, také zjištěné Eulerem, jsou racionální čísla a hrají důležitou roli v teorii modulární formy. Mnoho zobecnění funkce Riemannova zeta, jako např Dirichletova řada, Dirichlet L-funkce a L-funkce, jsou známy.
Definice
Funkce Riemann zeta ζ(s) je funkcí komplexní proměnné s = σ + to. (Zápis s, σ, a t se tradičně používá při studiu funkce zeta po Riemannovi.)
Pro zvláštní případ, kdy funkci zeta lze vyjádřit následujícím integrálem:
kde
je funkce gama.
V případě σ > 1, integrál pro ζ(s) vždy konverguje a lze jej zjednodušit na následující nekonečná řada:
Funkce Riemannova zeta je definována jako analytické pokračování funkce definované pro σ > 1 součtem předchozí řady.
Leonhard Euler považována za výše uvedenou řadu v roce 1740 pro kladné celočíselné hodnoty s, a později Čebyšev rozšířil definici na [3]
Výše uvedená série je prototypem Dirichletova řada že absolutně konverguje do analytická funkce pro s takhle σ > 1 a rozchází se pro všechny ostatní hodnoty s. Riemann ukázal, že funkce definovaná řadou na polorovině konvergence může analyticky pokračovat na všechny komplexní hodnoty s ≠ 1. Pro s = 1, série je harmonická řada který se rozchází +∞, a
Funkce Riemannova zeta je tedy a meromorfní funkce v celém komplexu s- letadlo, které je holomorfní všude kromě a jednoduchá tyč na s = 1 s zbytek 1.
Specifické hodnoty
Pro jakékoli kladné i celé číslo 2n:
kde B2n je 2nth Bernoulliho číslo.
Pro lichá kladná celá čísla není znám žádný takový jednoduchý výraz, i když se předpokládá, že tyto hodnoty souvisejí s algebraikou K.-teorie celých čísel; vidět Zvláštní hodnoty L-funkce.
Pro nepozitivní celá čísla, jeden má
pro n ≥ 0 (pomocí konvence, že B1 = −1/2).
Zejména, ζ zmizí v záporných sudých celých číslech, protože Bm = 0 pro všechny liché m jiné než 1. Jedná se o takzvané „triviální nuly“ funkce zeta.
Přes analytické pokračování, lze ukázat, že:
- To dává záminku pro přiřazení konečné hodnoty divergentní sérii 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, který byl použit v určitých kontextech (Shrnutí Ramanujan ) jako teorie strun.[4]
- Podobně jako výše, toto přiřadí sérii konečný výsledek 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯.
- Toto se používá při výpočtu problémů kinetické mezní vrstvy lineárních kinetických rovnic.[5]
- Pokud přistupujeme z čísel větších než 1, toto je harmonická řada. Ale jeho Hodnota Cauchyho jistiny
- existuje, což je Euler – Mascheroniho konstanta y = 0.5772….
- Pokud přistupujeme z čísel větších než 1, toto je harmonická řada. Ale jeho Hodnota Cauchyho jistiny
- Toto se používá při výpočtu kritické teploty pro a Kondenzát Bose – Einstein v poli s periodickými okrajovými podmínkami a pro rotační vlna fyzika v magnetických systémech.
- Demonstrace této rovnosti je známá jako Basilejský problém. Převrácená částka této částky odpovídá na otázku: Jaká je pravděpodobnost, že jsou náhodně vybrána dvě čísla relativně prime ?[6]
- Toto číslo se nazývá Apéryho konstanta.
- Toto se objeví při integraci Planckův zákon odvodit Stefan – Boltzmannův zákon ve fyzice.
Vezmeme-li limit , jeden získá .
Eulerův vzorec produktu
Spojení mezi funkcí zeta a prvočísla byl objeven Eulerem, který prokázal totožnost
kde je podle definice levá strana ζ(s) a nekonečný produkt na pravé straně přesahuje všechna prvočísla p (takové výrazy se nazývají Produkty Euler ):
Obě strany vzorce produktu Euler konvergují k Re(s) > 1. The důkaz Eulerovy identity používá pouze vzorec pro geometrické řady a základní teorém aritmetiky. Protože harmonická řada, získané, když s = 1, rozchází se, Eulerův vzorec (který se stává ∏p p/p − 1) znamená, že existují nekonečně mnoho prvočísel.[7]
Eulerův vzorec produktu lze použít k výpočtu asymptotická pravděpodobnost že s náhodně vybraná celá čísla jsou nastavena coprime. Intuitivně je pravděpodobnost, že libovolné jedno číslo je dělitelné prvočíslem (nebo jakýmkoli celým číslem) p je 1/p. Proto pravděpodobnost, že s čísla jsou dělitelná tímto prvočíslem 1/psa pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich je ne je 1 − 1/ps. Nyní jsou u různých prvočísel tyto události dělitelnosti vzájemně nezávislé, protože kandidátské dělitele jsou coprime (číslo je dělitelné děliteli coprime n a m právě když je dělitelnýnm, událost, která nastane s pravděpodobností1/nm). Tedy asymptotická pravděpodobnost, že s čísla jsou coprime je dán produktem přes všechna prvočísla,
(K formálnímu odvození tohoto výsledku je zapotřebí více práce.)[8]
Riemannova funkční rovnice
Funkce zeta vyhovuje funkční rovnice:
kde Γ (s) je funkce gama. Toto je rovnost meromorfních funkcí platná jako celek složité letadlo. Rovnice spojuje hodnoty Riemannovy zeta funkce v bodech s a 1 − s, zejména týkající se sudých kladných celých čísel s lichými negativními celými čísly. Vzhledem k nulám sinusové funkce to znamená funkční rovnice ζ(s) má jednoduchou nulu u každého sudého záporného celého čísla s = −2n, známý jako triviální nuly z ζ(s). Když s je sudé celé číslo, produkt hřích(πs/2) Γ (1 - s) vpravo je nenulová, protože Γ (1 - s) má jednoduchý pól, který ruší jednoduchou nulu sinusového faktoru.
Důkaz funkční rovnice |
---|
Důkaz funkční rovnice probíhá následovně: Pozorujeme, že pokud , pak Ve výsledku, pokud pak S inverzí omezujících procesů je odůvodněno absolutní konvergencí (tedy přísnější požadavek na ) Pro větší pohodlí si dovolte Pak Vzhledem k tomu Pak Proto To odpovídá Nebo: Tak : což je konvergentní pro všechny s, takže platí analytické pokračování. Kromě toho se RHS nezmění, pokud s se změní na 1 -s. Proto což je funkční rovnice.E. C. Titchmarsh (1986). Teorie funkce Riemanna Zeta (2. vyd.). Oxford: Oxford Science Publications. 21–22. ISBN 0-19-853369-1. Přiděleno Bernhard Riemann. |
Funkční rovnici stanovil Riemann ve své práci z roku 1859 „O počtu prvočísel menších než daná velikost „a použil se k vytvoření analytického pokračování. Euler předpokládal ekvivalentní vztah před více než sto lety, v roce 1749, pro Funkce Dirichlet eta (funkce střídání zeta):
Mimochodem, tento vztah dává rovnici pro výpočet ζ(s) v oblasti 0 < Re(s) <1, tj.
Kde η-series je konvergentní (i když ne absolutně ) ve větší polorovině s > 0 (pro podrobnější průzkum historie funkční rovnice viz např. Blagouchine[9][10]).
Riemann také našel symetrickou verzi funkční rovnice vztahující se k funkci xi:
který splňuje:
(Riemannovo originál ξ(t) byl mírně odlišný.)
Nuly, kritická linie a Riemannova hypotéza
Funkční rovnice ukazuje, že Riemannova zeta funkce má nuly v −2, −4,…. Tito se nazývají triviální nuly. Jsou triviální v tom smyslu, že jejich existenci lze relativně snadno dokázat, například od hřích πs/2 je 0 ve funkční rovnici. Netriviální nuly zaujaly mnohem více pozornosti, protože jejich rozdělení je nejen mnohem méně pochopené, ale co je důležitější, jejich studie přináší působivé výsledky týkající se prvočísel a souvisejících objektů v teorii čísel. Je známo, že jakákoli netriviální nula leží v otevřeném pásu {s ∈ ℂ : 0
Domněnky Hardyho a Littlewooda
V roce 1914 Godfrey Harold Hardy dokázal to ζ (1/2 + to) má nekonečně mnoho skutečných nul.
Hardy a John Edensor Littlewood formuloval dva dohady o hustotě a vzdálenosti mezi nulami ζ (1/2 + to) na intervalech velkých kladných reálných čísel. V následujícím, N(T) je celkový počet skutečných nul a N0(T) celkový počet nul lichého pořadí funkce ζ (1/2 + to) ležící v intervalu (0, T].
- Pro všechny ε > 0, existuje a T0(ε) > 0 takové, že když
- Pro všechny ε > 0, existuje a T0(ε) > 0 a Cε > 0 taková, že nerovnost
Tyto dvě domněnky otevřely nové směry ve výzkumu Riemannovy zeta funkce.
Nulová oblast
Umístění nul funkce Riemannova zeta má v teorii čísel velký význam. The věta o prvočísle je ekvivalentní skutečnosti, že na nule nejsou žádné nuly funkce zeta Re(s) = 1 čára.[11] Lepší výsledek[12] který vyplývá z účinné formy Vinogradovova věta o střední hodnotě je to ζ (σ + to) ≠ 0 kdykoli |t| ≥ 3 a
Nejsilnějším výsledkem tohoto druhu, v který lze doufat, je pravda Riemannovy hypotézy, která by měla mnoho hlubokých důsledky v teorii čísel.
Další výsledky
Je známo, že na kritické linii je nekonečně mnoho nul. Littlewood ukázal, že pokud sekvence (yn) obsahuje imaginární části všech nul v souboru horní polorovina ve vzestupném pořadí
The věta o kritické linii tvrdí, že pozitivní podíl netriviálních nul leží na kritické linii. (Riemannova hypotéza by naznačovala, že tento podíl je 1.)
V kritickém pruhu je nula s nejmenší nezápornou imaginární částí 1/2 + 14.13472514…i (OEIS: A058303). Skutečnost, že
pro všechny složité s ≠ 1 znamená, že nuly Riemannovy zeta funkce jsou symetrické kolem skutečné osy. Kombinací této symetrie s funkční rovnicí lze dále vidět, že netriviální nuly jsou symetrické kolem kritické linie Re(s) = 1/2.
Různé vlastnosti
Součty zahrnující funkci zeta při celočíselných a poločíselných hodnotách viz racionální série zeta.
Reciproční
Převrácená hodnota funkce zeta může být vyjádřena jako a Dirichletova řada přes Möbiova funkce μ(n):
pro každé komplexní číslo s se skutečnou částí větší než 1. Existuje řada podobných vztahů zahrnujících různé dobře známé multiplikativní funkce; tyto jsou uvedeny v článku o Dirichletova řada.
Riemannova hypotéza je ekvivalentní tvrzení, že tento výraz je platný, když je jeho skutečná část s je větší než 1/2.
Univerzálnost
Kritický pás funkce Riemann zeta má pozoruhodnou vlastnost univerzálnost. Tento univerzálnost funkce zeta uvádí, že na kritickém proužku existuje určité umístění, které se blíží libovolnému holomorfní funkce libovolně dobře. Vzhledem k tomu, že holomorfní funkce jsou velmi obecné, je tato vlastnost docela pozoruhodná. První důkaz univerzálnosti poskytl Sergej Michajlovič Voronin v roce 1975.[13] Zahrnuta byla i novější práce efektivní verze Voroninovy věty[14] a prodlužování to Dirichletovy funkce L..[15][16]
Odhady maxima modulu funkce zeta
Nechte funkce F(T;H) a G(s0; Δ) být definován rovností
Tady T je dostatečně velké kladné číslo, 0 < H ≪ ln ln T, s0 = σ0 + to, 1/2 ≤ σ0 ≤ 1, 0 <Δ < 1/3. Odhad hodnot F a G zdola ukazuje, jak velké (v modulu) hodnoty ζ(s) může trvat krátké intervaly kritické linie nebo v malých sousedstvích bodů ležících v kritickém pruhu 0 ≤ Re (s) ≤ 1.
Pouzdro H ≫ ln ln T byl studován uživatelem Kanakanahalli Ramachandra; pouzdro Δ> C, kde C je dostatečně velká konstanta, je triviální.
Anatolii Karatsuba dokázal,[17][18] zejména, že pokud hodnoty H a Δ překročit určité dostatečně malé konstanty, pak odhady
držte, kde C1 a C2 jsou určité absolutní konstanty.
Argument funkce Riemann zeta
Funkce
se nazývá argument funkce Riemann zeta. Tady arg ζ(1/2 + to) je přírůstek libovolné spojité větve arg ζ(s) podél přerušované čáry spojující body 2, 2 + to a 1/2 + to.
O vlastnostech funkce existují některé věty S(t). Mezi těmito výsledky[19][20] jsou věty o střední hodnotě pro S(t) a jeho první integrál
na intervalech reálné přímky a také věta prohlašující, že každý interval (T, T + H] pro
obsahuje alespoň
body, kde je funkce S(t) znamení změny. Dříve podobné výsledky byly získány Atle Selberg pro případ
Zastoupení
Dirichletova řada
Rozšíření oblasti konvergence lze dosáhnout přeskupením původní série.[21] Série
konverguje pro Re(s) > 0, zatímco
konverguje i pro Re(s) > −1. Tímto způsobem lze oblast konvergence rozšířit na Re(s) > −k pro jakékoli záporné celé číslo −k.
Integrály typu Mellin
The Mellinova transformace funkce F(X) je definován jako
v oblasti, kde je definován integrál. Existují různé výrazy pro funkci zeta jako integrály podobné Mellinově transformaci. Pokud je skutečná část s je větší než jedna, máme
kde Γ označuje funkce gama. Úpravou kontury to Riemann ukázal
pro všechny s (kde H označuje Hankelova kontura ).
Počínaje integrálním vzorcem jeden může ukázat[22] substitucí a iterovanou diferenciací za přírodní
pomocí zápisu pupeční kalkul kde každá síla má být nahrazen , takže např. pro my máme zatímco pro toto se stává
Můžeme také najít výrazy, které se vztahují k prvočíslům a věta o prvočísle. Li π(X) je funkce počítání prvočísel, pak
pro hodnoty s Re(s) > 1.
Podobná Mellinova transformace zahrnuje Riemannovu funkci J(X), který počítá hlavní síly pn o hmotnosti 1/n, aby
Nyní máme
Tyto výrazy lze použít k prokázání věty o prvočísle pomocí inverzní Mellinovy transformace. Riemannovo funkce počítání prvočísel je snazší pracovat s, a π(X) lze z něj obnovit Möbiova inverze.
Funkce theta
Funkce Riemannova zeta může být dána Mellinovou transformací[23]
ve smyslu Jacobiho theta funkce
Tento integrál však konverguje, pouze pokud je jeho skutečná část s je větší než 1, ale lze jej legalizovat. To dává následující výraz pro funkci zeta, která je dobře definována pro všechny s kromě 0 a 1:
Laurentova řada
Funkce Riemannova zeta je meromorfní s jediným pól objednávky jedna na s = 1. Lze jej proto rozšířit jako a Laurentova řada o s = 1; vývoj série je tedy
Konstanty yn zde se nazývají Stieltjesovy konstanty a lze je definovat pomocí omezit
Konstantní termín y0 je Euler – Mascheroniho konstanta.
Integrální
Pro všechny s ∈ C, s ≠ 1, integrální vztah (srov. Abel-Plana vzorec )
platí, což lze použít pro numerické vyhodnocení funkce zeta.
Rostoucí faktoriál
Další vývoj série pomocí rostoucí faktoriál platí pro celou komplexní rovinu je[Citace je zapotřebí ]
To lze rekurzivně použít k rozšíření definice Dirichletovy řady na všechna komplexní čísla.
Funkce Riemannova zeta se také objevuje ve formě podobné Mellinově transformaci v integrálu nad Operátor Gauss – Kuzmin – Wirsing jednající na Xs − 1; tento kontext vede k sériové expanzi, pokud jde o klesající faktoriál.[24]
Produkt Hadamard
Na základě Weierstrassova faktorizační věta, Hadamard dal nekonečný produkt expanze
kde je produkt nad netriviálními nulami ρ z ζ a dopis y opět označuje Euler – Mascheroniho konstanta. Jednodušší nekonečný produkt expanze je
Tento formulář jasně zobrazuje jednoduchý pól na s = 1, triviální nuly v −2, −4, ... kvůli členu gama funkce ve jmenovateli a netriviální nuly v s = ρ. (Aby byla zajištěna konvergence v posledně uvedeném vzorci, produkt by měl být převzat „odpovídající páry“ nul, tj. Faktory pro pár nul ve formě ρ a 1 − ρ by měly být kombinovány.)
Globálně konvergentní série
Globálně konvergentní řada pro funkci zeta, platná pro všechna komplexní čísla s až na s = 1 + 2πi/ln 2n pro celé číslo n, se domníval Konrad Knopp[25] a prokázáno Helmut Hasse v roce 1930[26] (srov. Eulerův součet ):
Série se objevila v příloze k Hasseovu práci a byla publikována podruhé Jonathanem Sondowem v roce 1994.[27]
Hasse také prokázal globálně konvergující sérii
ve stejné publikaci.[26] Výzkum Iaroslava Blagouchina[28][25]zjistil, že obdobnou ekvivalentní sérii publikoval Joseph Ser v roce 1926.[29] Mezi další podobné globálně konvergentní řady patří
kde Hn jsou harmonická čísla, jsou Stirlingova čísla prvního druhu, je Pochhammer symbol, Gn jsou Gregoryho koeficienty, G(k)
n jsou Gregoryho koeficienty vyššího řádu, Cn jsou Cauchyova čísla druhého druhu (C1 = 1/2, C2 = 5/12, C3 = 3/8,...), a ψn(A)jsou Bernoulliho polynomy druhého druhu. Viz Blagouchinův papír.[25]
Peter Borwein vyvinul použitelný algoritmus Čebyševovy polynomy do Funkce Dirichlet eta vyrábět a velmi rychle konvergentní řada vhodná pro vysoce přesné numerické výpočty.[30]
Sériová reprezentace v kladných celých číslech prostřednictvím primáru
Tady pn# je primitivní sekvence a Jk je Jordanova totientová funkce.[31]
Sériové zastoupení neúplnými poly-Bernoulliho čísly
Funkce ζ mohou být zastoupeny, pro Re(s) > 1, nekonečnou sérií
kde k ∈ {−1, 0}, Žk je kth pobočka Lambert Ž-funkce, a B(μ)
n, ≥2 je neúplné poly-Bernoulliho číslo.[32]
Mellinova transformace mapy Engel
Funkce : je iterován k nalezení koeficientů objevujících se v Engel expanze.[33]
The Mellinova transformace mapy souvisí s funkcí Riemanna zeta podle vzorce
Reprezentace řady jako součet geometrických řad
Analogicky s produktem Euler, který lze prokázat pomocí geometrických řad, je funkce zeta pro Re lze reprezentovat jako součet geometrických řad:
kde je n: th ne dokonalá síla. [34]
Numerické algoritmy
Pro , funkce Riemann zeta má pro pevné a pro všechny následující reprezentace ve smyslu tří Absolutně a rovnoměrně konvergující série,[35]
Pro daný argument s a jeden může aproximovat na jakoukoli přesnost sečtením první série do , na a zanedbávání , pokud si někdo zvolí jako další vyšší celé číslo jedinečného řešení v neznámém a z toho . Pro jeden může zanedbávat celkem. V mírném stavu jeden potřebuje nanejvýš summands. Proto je tento algoritmus v podstatě stejně rychlý jako Riemann-Siegelův vzorec. Podobné algoritmy jsou možné pro Dirichletovy funkce L..[35]
V únoru 2020 Sandeep Tyagi ukázal, že a kvantový počítač umí vyhodnotit v kritickém pruhu s výpočetní složitost to je polylogaritmický v . Následující práce od Ghaith Ayesh Hiary, požadováno exponenciální součty může být změněno jako , pro celé číslo .[36]
Aplikace
Funkce zeta se vyskytuje v aplikovaném statistika (vidět Zipfův zákon a Zákon Zipf – Mandelbrot ).
Regulace funkce Zeta se používá jako jeden z možných prostředků regulace z divergentní série a divergentní integrály v kvantová teorie pole. V jednom pozoruhodném příkladu se funkce Riemannzeta výslovně objeví v jedné metodě výpočtu Kazimírův efekt. Funkce zeta je také užitečná pro analýzu dynamické systémy.[37]
Nekonečná série
Funkce zeta vyhodnocená ve stejných vzdálených kladných celých číslech se objevuje v nekonečných řadových reprezentacích řady konstant.[38]
Ve skutečnosti sudé a liché výrazy dávají dva součty
a
Parametrizované verze výše uvedených součtů jsou dány
a
s a kde a jsou funkce polygammy a Eulerova konstanta, stejně jako
všechny jsou spojité v . Mezi další částky patří
kde Im označuje imaginární část komplexního čísla.
V článku je ještě více vzorců Harmonické číslo.
Zobecnění
Existuje celá řada souvisejících funkce zeta které lze považovat za zobecnění funkce Riemannova zeta. Mezi ně patří Funkce Hurwitz zeta
(zastoupení konvergentní řady dal Helmut Hasse v roce 1930,[26] srov. Funkce Hurwitz zeta ), který se shoduje s funkcí Riemann zeta, když q = 1 (the lower limit of summation in the Hurwitz zeta function is 0, not 1), the Dirichlet L-functions a Dedekind zeta-function. For other related functions see the articles funkce zeta a L-funkce.
The polylogarithm darováno
which coincides with the Riemann zeta function when z = 1.
The Lerch transcendent darováno
which coincides with the Riemann zeta function when z = 1 a q = 1 (the lower limit of summation in the Lerch transcendent is 0, not 1).
The Clausen function Cls(θ) that can be chosen as the real or imaginary part of Lis(Eiθ).
The multiple zeta functions jsou definovány
One can analytically continue these functions to the n-dimensional complex space. The special values taken by these functions at positive integer arguments are called multiple zeta values by number theorists and have been connected to many different branches in mathematics and physics.
Viz také
- 1 + 2 + 3 + 4 + ···
- Arithmetic zeta function
- Zobecněná Riemannova hypotéza
- Lehmer pair
- Particular values of Riemann zeta function
- Prime funkce zeta
- Riemann Xi function
- Renormalizace
- Riemann–Siegel theta function
- ZetaGrid
Poznámky
- ^ "Jupyter Notebook Viewer". Nbviewer.ipython.org. Citováno 4. ledna 2017.
- ^ This paper also contained the Riemann hypothesis, a dohad about the distribution of complex zeros of the Riemann zeta function that is considered by many mathematicians to be the most important unsolved problem in čistá matematika. Bombieri, Enrico. "The Riemann Hypothesis – official problem description" (PDF). Hliněný matematický institut. Citováno 8. srpna 2014.
- ^ Devlin, Keith (2002). The Millennium Problems: The seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time. New York: Barnes & Noble. 43–47. ISBN 978-0-7607-8659-8.
- ^ Polchinski, Joseph (1998). An Introduction to the Bosonic String. String Theory. Já. Cambridge University Press. p. 22. ISBN 978-0-521-63303-1.
- ^ Kainz, A. J.; Titulaer, U. M. (1992). "An accurate two-stream moment method for kinetic boundary layer problems of linear kinetic equations". J. Phys. A: Math. Gen. 25 (7): 1855–1874. Bibcode:1992JPhA...25.1855K. doi:10.1088/0305-4470/25/7/026.
- ^ Ogilvy, C. S.; Anderson, J. T. (1988). Excursions in Number Theory. Dover Publications. pp. 29–35. ISBN 0-486-25778-9.
- ^ Sandifer, Charles Edward (2007). Jak to Euler udělal. Mathematical Association of America. p. 193. ISBN 978-0-88385-563-8.
- ^ Nymann, J. E. (1972). „Pravděpodobnost, že k kladná celá čísla jsou relativně prvotní “. Žurnál teorie čísel. 4 (5): 469–473. Bibcode:1972JNT.....4..469N. doi:10.1016 / 0022-314X (72) 90038-8.
- ^ I. V. Blagouchine The history of the functional equation of the zeta-function. Seminar on the History of Mathematics, Steklov Institute of Mathematics at St. Petersburg, 1 March 2018. PDF
- ^ I. V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, č. 1, pp. 21-110, 2014. Addendum: vol. 42, pp. 777–781, 2017. PDF
- ^ Diamond, Harold G. (1982). "Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers". Bulletin of the American Mathematical Society. 7 (3): 553–89. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15057-1. PAN 0670132.
- ^ Ford, K. (2002). "Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function". Proc. London Math. Soc. 85 (3): 565–633. arXiv:1910.08209. doi:10.1112/S0024611502013655. S2CID 121144007.
- ^ Voronin, S. M. (1975). "Theorem on the Universality of the Riemann Zeta Function". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. 39: 475–486. Přetištěno Matematika. USSR Izv. (1975) 9: 443–445.
- ^ Ramūnas Garunkštis; Antanas Laurinčikas; Kohji Matsumoto; Jörn Steuding; Rasa Steuding (2010). "Effective uniform approximation by the Riemann zeta-function". Publicacions Matemàtiques. 54 (1): 209–219. doi:10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1. JSTOR 43736941.
- ^ Bhaskar Bagchi (1982). "A Joint Universality Theorem for Dirichlet L-Functions". Mathematische Zeitschrift. 181 (3): 319–334. doi:10.1007/bf01161980. ISSN 0025-5874. S2CID 120930513.
- ^ Steuding, Jörn (2007). Value-Distribution of L-Functions. Přednášky z matematiky. 1877. Berlín: Springer. p. 19. arXiv:1711.06671. doi:10.1007/978-3-540-44822-8. ISBN 978-3-540-26526-9.
- ^ Karatsuba, A. A. (2001). "Lower bounds for the maximum modulus of ζ(s) in small domains of the critical strip". Rohož. Zametki. 70 (5): 796–798.
- ^ Karatsuba, A. A. (2004). "Lower bounds for the maximum modulus of the Riemann zeta function on short segments of the critical line". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Rohož. 68 (8): 99–104. Bibcode:2004IzMat..68.1157K. doi:10.1070/IM2004v068n06ABEH000513.
- ^ Karatsuba, A. A. (1996). "Density theorem and the behavior of the argument of the Riemann zeta function". Rohož. Zametki (60): 448–449.
- ^ Karatsuba, A. A. (1996). "On the function S(t)". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Rohož. 60 (5): 27–56.
- ^ Knopp, Konrad (1947). Theory of Functions, Part Two. New York, Dover publications. str.51–55.
- ^ "Evaluating the definite integral..." math.stackexchange.com.
- ^ Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Springer. p. 422. ISBN 3-540-65399-6.
- ^ "A series representation for the Riemann Zeta derived from the Gauss-Kuzmin-Wirsing Operator" (PDF). Linas.org. Citováno 4. ledna 2017.
- ^ A b C Blagouchine, Iaroslav V. (2018). "Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions". INTEGERS: Elektronický deník teorie kombinatorických čísel. 18A: 1–45. arXiv:1606.02044. Bibcode:2016arXiv160602044B.
- ^ A b C Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe" [A summation method for the Riemann ζ series]. Mathematische Zeitschrift (v němčině). 32 (1): 458–464. doi:10.1007/BF01194645. S2CID 120392534.
- ^ Sondow, Jonathan (1994). "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 120 (2): 421–424. doi:10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7.
- ^ Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in π−2 and into the formal enveloping series with rational coefficients only". Žurnál teorie čísel. 158: 365–396. arXiv:1501.00740. doi:10.1016/j.jnt.2015.06.012.
- ^ Ser, Joseph (1926). "Sur une expression de la fonction ζ(s) de Riemann" [Upon an expression for Riemann's ζ function]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (francouzsky). 182: 1075–1077.
- ^ Borwein, Peter (2000). "An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function" (PDF). In Théra, Michel A. (ed.). Constructive, Experimental, and Nonlinear Analysis. Conference Proceedings, Canadian Mathematical Society. 27. Providence, RI: Americká matematická společnost, on behalf of the Kanadská matematická společnost. str. 29–34. ISBN 978-0-8218-2167-1.
- ^ Mező, István (2013). "The primorial and the Riemann zeta function". Americký matematický měsíčník. 120 (4): 321.
- ^ Komatsu, Takao; Mező, István (2016). "Incomplete poly-Bernoulli numbers associated with incomplete Stirling numbers". Publicationes Mathematicae Debrecen. 88 (3–4): 357–368. arXiv:1510.05799. doi:10.5486/pmd.2016.7361. S2CID 55741906.
- ^ "A220335 - OEIS". oeis.org. Citováno 17. dubna 2019.
- ^ Munkhammar, Joakim (2020). "The Riemann zeta function as a sum of geometric series". Matematický věstník. 104 (561): 527–530. doi:10.1017/mag.2020.110.
- ^ A b Fischer, Kurt (4 March 2017). "The Zetafast algorithm for computing zeta functions". arXiv:1703.01414 [math.NT ].
- ^ Tyagi, Sandeep (25 February 2020). "Evaluation of exponential sums and Riemann zeta function on quantum computer". arXiv:2002.11094 [kvant. ph ].
- ^ "Work on spin-chains by A. Knauf, et. al". Empslocal.ex.ac.uk. Citováno 4. ledna 2017.
- ^ Most of the formulas in this section are from § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)
Reference
- Apostol, T. M. (2010), "Zeta and Related Functions", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248
- Borwein, Jonathane; Bradley, David M.; Crandall, Richard (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). J. Comp. Aplikace. Math. 121 (1–2): 247–296. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi:10.1016/S0377-0427(00)00336-8.
- Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (2002). "Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments". J. Comp. Aplikace. Math. 142 (2): 435–439. Bibcode:2002JCoAM.142..435C. doi:10.1016/S0377-0427(02)00358-8. PAN 1906742.
- Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms". Proc. Amer. Matematika. Soc. 125 (9): 2543–2550. doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6.
- Edwards, H. M. (1974). Riemannova funkce Zeta. Akademický tisk. ISBN 0-486-41740-9. Has an English translation of Riemann's paper.
- Hadamard, Jacques (1896). "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques". Bulletin de la Société Mathématique de France. 14: 199–220. doi:10.24033/bsmf.545.
- Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press, Oxford.
- Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe". Matematika. Z. 32: 458–464. doi:10.1007/BF01194645. PAN 1545177. S2CID 120392534. (Globally convergent series expression.)
- Ivic, A. (1985). The Riemann Zeta Function. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X.
- Motohashi, Y. (1997). Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge University Press. ISBN 0521445205.
- Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992). The Riemann Zeta-Function. Berlin: W. de Gruyter.
- Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function". Žurnál teorie čísel. 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl:2437/90539. PAN 2564902.
- Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory. I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge University Press. Ch. 10. ISBN 978-0-521-84903-6.
- Newman, Donald J. (1998). Teorie analytických čísel. Postgraduální texty z matematiky. 177. Springer-Verlag. Ch. 6. ISBN 0-387-98308-2.
- Raoh, Guo (1996). "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function". Proceedings of the London Mathematical Society. s3–72: 1–27. arXiv:1308.3597. doi:10.1112/plms/s3-72.1.1.
- Riemann, Bernhard (1859). "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse". Monatsberichte der Berliner Akademie.. v Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
- Sondow, Jonathan (1994). "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series" (PDF). Proc. Amer. Matematika. Soc. 120 (2): 421–424. doi:10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7.
- Titchmarsh, E. C. (1986). Heath-Brown (ed.). The Theory of the Riemann Zeta Function (2. rev. Vyd.). Oxford University Press.
- Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (4. vydání). Cambridge University Press. Ch. 13.
- Zhao, Jianqiang (1999). "Analytic continuation of multiple zeta functions". Proc. Amer. Matematika. Soc. 128 (5): 1275–1283. doi:10.1090/S0002-9939-99-05398-8. PAN 1670846.
externí odkazy
- "Zeta-function", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach
- Tables of selected zeros
- Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
- X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
- Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com
- Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz a Stegun
- Frenkel, Edward. "Million Dollar Math Problem" (video). Brady Haran. Citováno 11. března 2014.
- Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function —Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function