Selberg třída - Selberg class

v matematika, Selberg třída je axiomatický definice třídy L-funkce. Členy třídy jsou Dirichletova řada které se řídí čtyřmi axiomy, které zřejmě zachycují základní vlastnosti uspokojené většinou funkcí, které se běžně nazývají L-funkce nebo funkce zeta. Ačkoli je přesná povaha třídy domněnková, doufá se, že definice třídy povede ke klasifikaci jejího obsahu a objasnění jejích vlastností, včetně vhledu do jejich vztahu k automorfní formy a Riemannova hypotéza. Třídu definoval Atle Selberg v (Selberg 1992 ), kteří upřednostňovali nepoužívat slovo „axiom“, které později autoři použili.^[1]

Definice

Formální definice třídy S je množina všech Dirichletova řada

{ displaystyle F (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

absolutně konvergentní pro Re (s)> 1, které splňují čtyři axiomy (nebo předpoklady, jak je nazývá Selberg):

Analytičnost: ${ displaystyle F (s)}$ má meromorfní pokračování do celé komplexní roviny, s jediným možným pólem (pokud existuje), když s se rovná 1.
Ramanujan dohad: A₁ = 1 a ${ displaystyle a_ {n} ll _ { epsilon} n ^ { epsilon}}$ pro libovolné ε> 0;
Funkční rovnice: existuje gama faktor formy
${ displaystyle gamma (s) = Q ^ {s} prod _ {i = 1} ^ {k} gama ( omega _ {i} s + mu _ {i})}$
kde Q je skutečný a pozitivní, funkce gama, ω_i skutečné a pozitivní a μ_i komplex s nezápornou skutečnou částí, stejně jako s takzvaným kořenovým číslem
${ displaystyle alpha in mathbb {C}, ; | alpha | = 1}$ ,
taková, že funkce
${ displaystyle Phi (s) = gama (s) F (s) ,}$
splňuje
${ displaystyle Phi (s) = alpha , { overline { Phi (1 - { overline {s}})}}}}$
Produkt Euler: Pro Re (s) > 1, F(s) lze napsat jako produkt přes prvočísla:
${ displaystyle F (s) = prod _ {p} F_ {p} (s)}$
s
${ displaystyle F_ {p} (s) = exp { Big (} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {b_ {p ^ {n}}} {p ^ {ns} }} { Velký)}}$
a pro některé θ <1/2,
${ displaystyle b_ {p ^ {n}} = O (p ^ {n theta}). ,}$

Komentáře k definici

Podmínka, že skutečná část μ_i být nezáporné, protože tam jsou známé L-funkce, které nesplňují Riemannova hypotéza když μ_i je negativní. Konkrétně existují Masové formy spojené s výjimečnými vlastními hodnotami, pro které Dohoda Ramanujan – Peterssen platí a mají funkční rovnici, ale nesplňují Riemannovu hypotézu.

Podmínka, že θ <1/2 je důležitá, protože případ θ = 1/2 zahrnuje Dirichletova eta-funkce, což porušuje Riemannovu hypotézu.^[2]

Důsledkem 4. že A_n jsou multiplikativní a to

{ displaystyle F_ {p} (s) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {a_ {p ^ {n}}} {p ^ {ns}}} { text {pro Re}} (s)> 0.}

Příklady

Prototypický příklad prvku v S je Funkce Riemann zeta.^[3] Dalším příkladem je L-funkce modulární diskriminátor Δ

{ displaystyle L (s, Delta) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

kde ${ displaystyle a_ {n} = tau (n) / n ^ {11/2}}$ a τ (n) je Funkce Ramanujan tau.^[4]

Všechny známé příklady jsou automorfní L-funkce a převrácené částky F_p(s) jsou polynomy v p^−s omezeného stupně.^[5]

Nejlepší výsledky ve struktuře Selbergovy třídy mají Kaczorowski a Perelli, kteří ukazují, že Dirichlet L-funkce (včetně Riemannovy zeta funkce) jsou jedinými příklady se stupněm menším než 2.^[6]

Základní vlastnosti

Stejně jako u funkce Riemann zeta, prvek F z S má triviální nuly které vznikají z pólů faktoru gama γ (s). Ostatní nuly se označují jako netriviální nuly z F. Všechny budou umístěny v nějakém pruhu 1 − A ≤ Re (s) ≤ A. Označujeme počet netriviálních nul F s 0 ≤ Im (s) ≤ T podle N_F(T),^[7] Selberg to ukázal

{ displaystyle N_ {F} (T) = d_ {F} { frac {T log (T + C)} {2 pi}} + O ( log T).}

Tady, d_F se nazývá stupeň (nebo dimenze) z F. Je to dáno^[8]

{ displaystyle d_ {F} = 2 součet _ {i = 1} ^ {k} omega _ {i}.}

To lze ukázat F = 1 je jediná funkce v S jehož stupeň je menší než 1.

Li F a G jsou ve třídě Selberg, pak také jejich produkt a

{ displaystyle d_ {FG} = d_ {F} + d_ {G}.}

Funkce F ≠ 1 v S je nazýván primitivní kdykoli je to napsáno jako F = F₁F₂, s F_i v S, pak F = F₁ nebo F = F₂. Li d_F = 1, tedy F je primitivní. Každá funkce F ≠ 1 z S lze psát jako produkt primitivních funkcí. Selbergovy domněnky, popsané níže, naznačují, že faktorizace do primitivních funkcí je jedinečná.

Mezi příklady primitivních funkcí patří funkce Riemann zeta a Dirichlet L-funkce primitivních Dirichletových postav. Za předpokladu domněnek 1 a 2 níže, L-funkce neredukovatelné cuspidální automorfní reprezentace které uspokojují domněnku Ramanujan, jsou primitivní.^[9]

Selbergovy dohady

V (Selberg 1992 ), Selberg učinil domněnky týkající se funkcí v S:

Domněnka 1: Pro všechny F v S, existuje celé číslo n_F takhle

{ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {| a_ {p} | ^ {2}} {p}} = n_ {F} log log x + O (1)}

a n_F = 1 kdykoli F je primitivní.

Domněnka 2: Pro zřetelné primitivní F, F′ ∈ S,

{ displaystyle sum _ {p leq x} { frac {a_ {p} a_ {p} ^ { prime}} {p}} = O (1).}

Domněnka 3: Pokud F je v S s primitivní faktorizací

{ displaystyle F = prod _ {i = 1} ^ {m} F_ {i},}

χ je primitivní Dirichletův znak a funkce

{ displaystyle F ^ { chi} (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi (n) a_ {n}} {n ^ {s}}}}

je také v S, pak funkce F_i^χ jsou primitivní prvky S (a následně tvoří primitivní faktorizaci F^χ).

Riemannova hypotéza pro S: Pro všechny F v S, netriviální nuly F všichni leží na řádku Re (s) = 1/2.

Důsledky dohadů

Domněnky 1 a 2 naznačují, že pokud F má pól řádu m na s = 1, tedy F(s) / ζ (s)^m je celý. Zejména znamenají Dedekindovu domněnku.^[10]

M. Ram Murty ukázal v (Murty 1994 ), že domněnky 1 a 2 znamenají Artin domněnka. Murty to ve skutečnosti ukázal Artin L-funkce odpovídající neredukovatelným reprezentacím Galoisova skupina a řešitelné rozšíření racionální jsou automorfní jak předpovídal Langlands dohady.^[11]

Funkce v S také uspokojit analogii věta o prvočísle: F(s) nemá žádné nuly na řádku Re (s) = 1. Jak bylo uvedeno výše, domněnky 1 a 2 implikují jedinečnou faktorizaci funkcí v S do primitivních funkcí. Dalším důsledkem je, že primitivita F je ekvivalentní k n_F = 1.^[12]

Viz také

Seznam funkcí zeta

Poznámky

^ Název Selbergova článku je poněkud spoof Paul Erdős, který měl mnoho článků s názvem (přibližně) „(Některé) Staré a nové problémy a výsledky o ...“. Konference v Amalfi v roce 1989 byla opravdu překvapivá, protože byli přítomni jak Selberg, tak Erdős, přičemž se jednalo o to, že Selberg nevěděl, že se Erdős měl zúčastnit.
^ Conrey & Ghosh 1993, §1
^ Murty 2008
^ Murty 2008
^ Murty 1994
^ Jerzy Kaczorowski a Alberto Perelli (2011). „Na struktuře Selbergovy třídy, VII“ (PDF). Annals of Mathematics. 173: 1397–1411. doi:10.4007 / annals.2011.173.3.4.
^ Nuly na hranici se počítají s poloviční multiplicitou.
^ Zatímco ω_i nejsou jednoznačně definovány F, Selbergův výsledek ukazuje, že jejich součet je dobře definovaný.
^ Murty 1994, Lemma 4.2
^ Oslavovaná domněnka Dedekinda tvrdí, že pro jakékoli konečné algebraické rozšíření ${ displaystyle F}$ z ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , funkce zeta ${ displaystyle zeta _ {F}}$ je dělitelná funkcí Riemann zeta ${ displaystyle zeta (s)}$ . To je kvocient ${ displaystyle zeta _ {F} (s) / zeta (s)}$ je celý. Obecněji Dedekind předpokládá, že pokud ${ displaystyle K}$ je konečné rozšíření ${ displaystyle F}$ , pak ${ displaystyle zeta _ {K} (s) / zeta _ {F} (s)}$ by měla být celá. Tato domněnka je stále otevřená.
^ Murty 1994, Věta 4.3
^ Conrey & Ghosh 1993, § 4

Reference

Selberg, Atle (1992), „Staré a nové domněnky a výsledky třídy Dirichletovy série“, Sborník konference z Amalfi o teorii analytického čísla (Maiori, 1989), Salerno: Univ. Salerno, str. 367–385, PAN 1220477, Zbl 0787.11037 Přetištěno v Collected Papers, sv 2, Springer-Verlag, Berlin (1991)
Conrey, J. Brian; Ghosh, Amit (1993), „O Selbergově třídě Dirichletovy série: malé tituly“, Duke Mathematical Journal, 72 (3): 673–693, arXiv:math.NT / 9204217, doi:10.1215 / s0012-7094-93-07225-0, PAN 1253620, Zbl 0796.11037

Murty, M. Ram (1994), „Selbergovy dohady a Artin L-funkce ", Bulletin of the American Mathematical SocietyNová řada, 31 (1): 1–14, arXiv:matematika / 9407219, doi:10.1090 / s0273-0979-1994-00479-3, PAN 1242382, S2CID 265909, Zbl 0805.11062

Murty, M. Ram (2008), Problémy v teorii analytických čísel, Postgraduální texty z matematiky Čtení z matematiky, 206 (Druhé vydání), Springer-Verlag, Kapitola 8, doi:10.1007/978-0-387-72350-1, ISBN 978-0-387-72349-5, PAN 2376618, Zbl 1190.11001

[1] Název Selbergova článku je poněkud spoof Paul Erdős, který měl mnoho článků s názvem (přibližně) „(Některé) Staré a nové problémy a výsledky o ...“. Konference v Amalfi v roce 1989 byla opravdu překvapivá, protože byli přítomni jak Selberg, tak Erdős, přičemž se jednalo o to, že Selberg nevěděl, že se Erdős měl zúčastnit.

[2] Conrey & Ghosh 1993, §1

[3] Murty 2008

[4] Murty 2008

[5] Murty 1994

[6] Jerzy Kaczorowski a Alberto Perelli (2011). „Na struktuře Selbergovy třídy, VII“ (PDF). Annals of Mathematics. 173: 1397–1411. doi:10.4007 / annals.2011.173.3.4.

[7] Nuly na hranici se počítají s poloviční multiplicitou.

[8] Zatímco ω_i nejsou jednoznačně definovány F, Selbergův výsledek ukazuje, že jejich součet je dobře definovaný.

[9] Murty 1994, Lemma 4.2

[10] Oslavovaná domněnka Dedekinda tvrdí, že pro jakékoli konečné algebraické rozšíření ${ displaystyle F}$ z ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , funkce zeta ${ displaystyle zeta _ {F}}$ je dělitelná funkcí Riemann zeta ${ displaystyle zeta (s)}$ . To je kvocient ${ displaystyle zeta _ {F} (s) / zeta (s)}$ je celý. Obecněji Dedekind předpokládá, že pokud ${ displaystyle K}$ je konečné rozšíření ${ displaystyle F}$ , pak ${ displaystyle zeta _ {K} (s) / zeta _ {F} (s)}$ by měla být celá. Tato domněnka je stále otevřená.

[11] Murty 1994, Věta 4.3

[12] Conrey & Ghosh 1993, § 4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

L-funkce v teorie čísel
Analytické příklady	Funkce Riemann zeta Dirichlet L-funkce L-funkce Hecke postav Automorfní L-funkce Selberg třída
Algebraické příklady	Funkce Dedekind zeta Artin L-funkce Hasse – Weil L-funkce Motivační L-funkce
Věty	Analytický vzorec čísla třídy Riemann – von Mangoldtův vzorec Weil dohady
Analytické dohady	Riemannova hypotéza Zobecněná Riemannova hypotéza Lindelöfova hypotéza Ramanujan – Peterssonova domněnka Artin domněnka
Algebraické domněnky	Birch a domněnka Swinnerton-Dyer Deligneova domněnka Beilinsonovy domněnky Bloch – Kato domněnka Langlandsova domněnka
p-adic L-funkce	Hlavní domněnka Iwasawovy teorie Selmerova skupina Eulerův systém