Exponenciální částka - Exponential sum

v matematika, an exponenciální součet může být konečný Fourierova řada (tj trigonometrický polynom ) nebo jiný konečný součet vytvořený pomocí exponenciální funkce, obvykle vyjádřeno pomocí funkce

${ displaystyle e (x) = exp (2 pi ix). ,}$

Typický exponenciální součet proto může mít podobu

${ displaystyle sum _ {n} e (x_ {n}),}$

shrnuto přes konečnou sekvence z reálná čísla X_n.

Formulace

Pokud dovolíme nějaké skutečné koeficienty A_n, abyste dostali formulář

${ displaystyle sum _ {n} a_ {n} e (x_ {n})}$

je to stejné jako povolení exponentů, které jsou komplexní čísla. Obě formy jsou v aplikacích určitě užitečné. Velká část dvacátého století analytická teorie čísel byl věnován hledání dobrých odhadů pro tyto částky, což je trend zahájený základní prací Hermann Weyl v diofantická aproximace.

Odhady

Hlavním tahem subjektu je součet

${ displaystyle S = součet _ {n} e (x_ {n})}$

je triviálně odhadovaný podle počtu N podmínek. Toto je absolutní hodnota

${ displaystyle | S | leq N ,}$

podle nerovnost trojúhelníku, protože každý součet má absolutní hodnotu 1. V aplikacích by člověk chtěl být lepší. To zahrnuje prokázání, že došlo k nějakému zrušení, nebo jinými slovy, že tento součet komplexních čísel na jednotkový kruh není z čísel se všemi stejnými argument. Nejlepší, v co lze rozumně doufat, je odhad formy

${ displaystyle | S | = O ({ sqrt {N}}) ,}$

což znamená až do implikované konstanty v velká O notace, že součet připomíná a náhodná procházka ve dvou rozměrech.

Takový odhad lze považovat za ideální; je nedosažitelný v mnoha hlavních problémech a odhadech

${ displaystyle | S | = o (N) ,}$

musí být použity, kde o (N) Funkce představuje pouze a malá úspora na triviálním odhadu. Typická „malá úspora“ může být faktorem protokolu (N), například. I takový nepatrně zdánlivý výsledek ve správném směru musí být přenesen až zpět do struktury počáteční sekvence X_n, ukázat stupeň náhodnost. Použité techniky jsou důmyslné a jemné.

Varianta „Weylova diferenciace“ vyšetřovaná Weylem zahrnující generující exponenciální součet

${ displaystyle G ( tau) = součet _ {n} e ^ {iaf (x) + ia tau n}}$

již dříve studoval sám Weyl, vyvinul metodu vyjádření součtu jako hodnoty ${ displaystyle G (0)}$, kde „G“ lze definovat pomocí lineární diferenciální rovnice podobné Dysonova rovnice získáno součtem po částech.

Dějiny

Pokud má součet formu

${ displaystyle S (x) = e ^ {iaf (x)}}$

kde ƒ je plynulá funkce, mohli bychom použít Euler – Maclaurin vzorec převést řadu na integrál plus některé opravy zahrnující derivace S(X), pak pro velké hodnoty A můžete použít metodu "stacionární fáze" pro výpočet integrálu a poskytnout přibližné vyhodnocení součtu. Hlavní pokroky v této oblasti byly Van der Corputova metoda (c. 1920), související s princip stacionární fáze a později Vinogradovova metoda (c. 1930).

The metoda velkého síta (c. 1960), práce mnoha výzkumných pracovníků, je relativně transparentní obecná zásada; ale žádná metoda nemá obecné použití.

Druhy exponenciálního součtu

Při formulování konkrétních problémů se používá mnoho typů součtů; aplikace obvykle vyžadují redukci na nějaký známý typ, často důmyslnými manipulacemi. Částečné shrnutí lze použít k odstranění koeficientů A_n, v mnoha případech.

Základní rozdíl je mezi a kompletní exponenciální součet, což je obvykle součet všech zbytkové třídy modulo nějaké celé číslo N (nebo obecnější konečný prsten ) a an neúplný exponenciální součet kde rozsah sčítání je omezen některými nerovnost. Příklady úplných exponenciálních součtů jsou Gaussovy částky a Kloosterman součty; to jsou v jistém smyslu konečné pole nebo analoga konečných kruhů funkce gama a nějaké Besselova funkce a mají mnoho „strukturálních“ vlastností. Příkladem neúplného součtu je částečný součet kvadratického Gaussova součtu (případ vyšetřovaný Gauss ). Zde existují dobré odhady pro součty na kratších rozsazích, než je celá sada tříd reziduí, protože z geometrického hlediska se částečné součty přibližují Spirála Cornu; to znamená masivní zrušení.

V teorii se vyskytují například pomocné typy součtů součet znaků; vracet se k Harold Davenport práce. The Weil dohady měl hlavní aplikace k dokončení součtů s doménou omezenou polynomiálními podmínkami (tj. podél an algebraická rozmanitost přes konečné pole).

Weylovy částky

Jedním z nejobecnějších typů exponenciálního součtu je Weylov součet, s exponenty 2π-li(n) kde F je poměrně obecná skutečná hodnota plynulá funkce. Jedná se o součty podílející se na rozdělení hodnot

ƒ(n) modulo 1,

podle Weylovo kritérium ekvidistribuce. Základní záloha byla Weylova nerovnost pro takové sumy, pro polynom F.

Existuje obecná teorie exponentové páry, který formuluje odhady. Důležitým případem je kde F je logaritmický ve vztahu k Funkce Riemann zeta. Viz také věta o ekvidistribuci.^[1]

Příklad: kvadratická Gaussova suma

Nechat p být lichý prime a nechat ${ displaystyle xi = e ^ {2 pi i / p}}$. Pak Kvadratická Gaussova suma je dána

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {p-1} xi ^ {n ^ {2}} = { begin {cases} { sqrt {p}}, & p = 1 mod 4 i { sqrt {p}}, a p = 3 mod 4 end {případy}}}$

kde odmocniny jsou považovány za pozitivní.

To je ideální stupeň zrušení, v jaký by člověk mohl doufat a priori znalost struktury součtu, protože odpovídá měřítku a náhodná procházka.

Viz také

• Huovo lemma

Reference

• Montgomery, Hugh L. (1994). Deset přednášek o rozhraní mezi teorií analytických čísel a harmonickou analýzou. Regionální konferenční seriál z matematiky. 84. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, vyd. (2006). Příručka teorie čísel I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.

Další čtení

• Korobov, N.M. (1992). Exponenciální částky a jejich aplikace. Matematika a její aplikace. Sovětská série. 80. Z ruštiny přeložil Yu. N. Shakhov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-1647-9. Zbl  0754.11022.

externí odkazy

• Krátký úvod k Weylovým částkám na Mathworldu