Polynomiální sekvence
The Bernoulliho polynomy druhého druhu [1] [2] ψn (X )Polynomy typu Fontana-Bessel ,[3]
z ( 1 + z ) X ln ( 1 + z ) = ∑ n = 0 ∞ z n ψ n ( X ) , | z | < 1. { displaystyle { frac {z (1 + z) ^ {x}} { ln (1 + z)}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n} psi _ {n} (x), qquad | z | <1.} Prvních pět polynomů je:
ψ 0 ( X ) = 1 ψ 1 ( X ) = X + 1 2 ψ 2 ( X ) = 1 2 X 2 − 1 12 ψ 3 ( X ) = 1 6 X 3 − 1 4 X 2 + 1 24 ψ 4 ( X ) = 1 24 X 4 − 1 6 X 3 + 1 6 X 2 − 19 720 { displaystyle { begin {array} {l} displaystyle psi _ {0} (x) = 1 [2mm] displaystyle psi _ {1} (x) = x + { frac {1} { 2}} [2mm] displaystyle psi _ {2} (x) = { frac {1} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {12}} [2 mm ] displaystyle psi _ {3} (x) = { frac {1} {6}} x ^ {3} - { frac {1} {4}} x ^ {2} + { frac {1 } {24}} [2mm] displaystyle psi _ {4} (x) = { frac {1} {24}} x ^ {4} - { frac {1} {6}} x ^ {3} + { frac {1} {6}} x ^ {2} - { frac {19} {720}} end {pole}}} Někteří autoři definují tyto polynomy trochu odlišně[4] [5]
z ( 1 + z ) X ln ( 1 + z ) = ∑ n = 0 ∞ z n n ! ψ n ∗ ( X ) , | z | < 1 , { displaystyle { frac {z (1 + z) ^ {x}} { ln (1 + z)}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n }} {n!}} psi _ {n} ^ {*} (x), qquad | z | <1,} aby
ψ n ∗ ( X ) = ψ n ( X ) n ! { displaystyle psi _ {n} ^ {*} (x) = psi _ {n} (x) , n!} a může pro ně také použít jinou notaci (nejpoužívanější alternativní notace je bn (X )
Bernoulliho polynomy druhého druhu byly z velké části studovány maďarským matematikem Charlesem Jordanem,[1] [2] [3]
Integrální reprezentace Bernoulliho polynomy druhého druhu mohou být reprezentovány prostřednictvím těchto integrálů[1] [2]
ψ n ( X ) = ∫ X X + 1 ( u n ) d u = ∫ 0 1 ( X + u n ) d u { displaystyle psi _ {n} (x) = int limity _ {x} ^ {x + 1} ! { binom {u} {n}} , du = int limity _ {0 } ^ {1} { binom {x + u} {n}} , du} stejně jako[3]
ψ n ( X ) = ( − 1 ) n + 1 π ∫ 0 ∞ π cos π X − hřích π X ln z ( 1 + z ) n ⋅ z X d z ln 2 z + π 2 , − 1 ≤ X ≤ n − 1 ψ n ( X ) = ( − 1 ) n + 1 π ∫ − ∞ + ∞ π cos π X − proti hřích π X ( 1 + E proti ) n ⋅ E proti ( X + 1 ) proti 2 + π 2 d proti , − 1 ≤ X ≤ n − 1 { displaystyle { begin {pole} {l} displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {(-1) ^ {n + 1}} { pi}} int limity _ { 0} ^ { infty} { frac { pi cos pi x- sin pi x ln z} {(1 + z) ^ {n}}} cdot { frac {z ^ {x } dz} { ln ^ {2} z + pi ^ {2}}}, qquad -1 leq x leq n-1 , [3 mm] displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {(-1) ^ {n + 1}} { pi}} int limity _ {- infty} ^ {+ infty} { frac { pi cos pi xv sin pi x} {, (1 + e ^ {v}) ^ {n}}} cdot { frac {e ^ {v (x + 1)}} {v ^ {2} + pi ^ { 2}}} , dv, qquad -1 leq x leq n-1 , end {pole}}} Tyto polynomy jsou tedy až do konstanty, primitivní z binomický koeficient a také to klesající faktoriál .[1] [2] [3]
Explicitní vzorec Pro svévolné n [1] [2] [3]
ψ n ( X ) = 1 ( n − 1 ) ! ∑ l = 0 n − 1 s ( n − 1 , l ) l + 1 X l + 1 + G n , n = 1 , 2 , 3 , … { displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {1} {(n-1)!}} součet _ {l = 0} ^ {n-1} { frac {s (n- 1, l)} {l + 1}} x ^ {l + 1} + G_ {n}, qquad n = 1,2,3, ldots} kde s (n ,l )Stirlingova čísla prvního druhu a G n Gregoryho koeficienty .
Vzorec opakování Bernoulliho polynomy druhého druhu uspokojují relaci rekurence[1] [2]
ψ n ( X + 1 ) − ψ n ( X ) = ψ n − 1 ( X ) { displaystyle psi _ {n} (x + 1) - psi _ {n} (x) = psi _ {n-1} (x)} nebo ekvivalentně
Δ ψ n ( X ) = ψ n − 1 ( X ) { displaystyle Delta psi _ {n} (x) = psi _ {n-1} (x)} Opakovaný rozdíl produkuje[1] [2]
Δ m ψ n ( X ) = ψ n − m ( X ) { displaystyle Delta ^ {m} psi _ {n} (x) = psi _ {n-m} (x)} Vlastnost symetrie Přečte se hlavní vlastnost symetrie[2] [4]
ψ n ( 1 2 n − 1 + X ) = ( − 1 ) n ψ n ( 1 2 n − 1 − X ) { displaystyle psi _ {n} ({ tfrac {1} {2}} n-1 + x) = (- 1) ^ {n} psi _ {n} ({ tfrac {1} {2 }} n-1-x)} Některé další vlastnosti a konkrétní hodnoty Některé vlastnosti a konkrétní hodnoty těchto polynomů zahrnují
ψ n ( 0 ) = G n ψ n ( 1 ) = G n − 1 + G n ψ n ( − 1 ) = ( − 1 ) n + 1 ∑ m = 0 n | G m | = ( − 1 ) n C n ψ n ( n − 2 ) = − | G n | ψ n ( n − 1 ) = ( − 1 ) n ψ n ( − 1 ) = 1 − ∑ m = 1 n | G m | ψ 2 n ( n − 1 ) = M 2 n ψ 2 n ( n − 1 + y ) = ψ 2 n ( n − 1 − y ) ψ 2 n + 1 ( n − 1 2 + y ) = − ψ 2 n + 1 ( n − 1 2 − y ) ψ 2 n + 1 ( n − 1 2 ) = 0 { displaystyle { begin {pole} {l} displaystyle psi _ {n} (0) = G_ {n} [2 mm] displaystyle psi _ {n} (1) = G_ {n-1 } + G_ {n} [2 mm] displaystyle psi _ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n + 1} součet _ {m = 0} ^ {n} | G_ {m } | = (- 1) ^ {n} C_ {n} [2mm] displaystyle psi _ {n} (n-2) = - | G_ {n} | [2mm] displaystyle psi _ {n} (n-1) = (- 1) ^ {n} psi _ {n} (- 1) = 1- součet _ {m = 1} ^ {n} | G_ {m} | [2mm] displaystyle psi _ {2n} (n-1) = M_ {2n} [2mm] displaystyle psi _ {2n} (n-1 + y) = psi _ {2n} ( n-1-y) [2 mm] displaystyle psi _ {2n + 1} (n - { tfrac {1} {2}} + y) = - psi _ {2n + 1} (n- { tfrac {1} {2}} - y) [2mm] displaystyle psi _ {2n + 1} (n - { tfrac {1} {2}}) = 0 end {pole}} } kde C n Cauchyova čísla druhého druhu a M n centrální rozdílové koeficienty .[1] [2] [3]
Expanze do série Newton Expanze Bernoulliho polynomů druhého druhu do Newtonovy řady se čte[1] [2]
ψ n ( X ) = G 0 ( X n ) + G 1 ( X n − 1 ) + G 2 ( X n − 2 ) + … + G n { displaystyle psi _ {n} (x) = G_ {0} { binom {x} {n}} + G_ {1} { binom {x} {n-1}} + G_ {2} { binom {x} {n-2}} + ldots + G_ {n}} Některé série zahrnující Bernoulliho polynomy druhého druhu The funkce digamma Ψ (X ) lze rozšířit do série s Bernoulliho polynomy druhého druhu následujícím způsobem[3]
Ψ ( proti ) = ln ( proti + A ) + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ψ n ( A ) ( n − 1 ) ! ( proti ) n , ℜ ( proti ) > − A , { displaystyle Psi (v) = ln (v + a) + součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n} (a ) , (n-1)!} {(v) _ {n}}}, qquad Re (v)> - a,} a tudíž[3]
y = − ln ( A + 1 ) − ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ψ n ( A ) n , ℜ ( A ) > − 1 { displaystyle gamma = - ln (a + 1) - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n} (a)} {n}}, qquad Re (a)> - 1}
a
y = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 n { ψ n ( A ) + ψ n ( − A 1 + A ) } , A > − 1 { displaystyle gamma = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {2n}} { Big {} psi _ {n} (a) + psi _ {n} { Big (} - { frac {a} {1 + a}} { Big)} { Big }}, quad a> -1} kde y Eulerova konstanta . Kromě toho také máme[3]
Ψ ( proti ) = 1 proti + A − 1 2 { ln Γ ( proti + A ) + proti − 1 2 ln 2 π − 1 2 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( A ) ( proti ) n ( n − 1 ) ! } , ℜ ( proti ) > − A , { displaystyle Psi (v) = { frac {1} {v + a - { tfrac {1} {2}}}} vlevo { ln Gamma (v + a) + v - { frac {1} {2}} ln 2 pi - { frac {1} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a)} {(v) _ {n}}} (n-1)! right }, qquad Re (v)> - a,} kde Γ (X ) je funkce gama . The Hurwitz a Funkce Riemann zeta lze rozšířit na tyto polynomy následovně[3]
ζ ( s , proti ) = ( proti + A ) 1 − s s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( A ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + proti ) − s { displaystyle zeta (s, v) = { frac {(v + a) ^ {1-s}} {s-1}} + součet _ {n = 0} ^ { infty} (- 1 ) ^ {n} psi _ {n + 1} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + v ) ^ {- s}} a
ζ ( s ) = ( A + 1 ) 1 − s s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( A ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + 1 ) − s { displaystyle zeta (s) = { frac {(a + 1) ^ {1-s}} {s-1}} + sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + 1) ^ {-s}} a také
ζ ( s ) = 1 + ( A + 2 ) 1 − s s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( A ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + 2 ) − s { displaystyle zeta (s) = 1 + { frac {(a + 2) ^ {1-s}} {s-1}} + součet _ {n = 0} ^ { infty} (- 1 ) ^ {n} psi _ {n + 1} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + 2 ) ^ {- s}} Bernoulliho polynomy druhého druhu jsou také zapojeny do následujícího vztahu[3]
( proti + A − 1 2 ) ζ ( s , proti ) = − ζ ( s − 1 , proti + A ) s − 1 + ζ ( s − 1 , proti ) + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 2 ( A ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + proti ) − s { displaystyle { big (} v + a - { tfrac {1} {2}} { big)} zeta (s, v) = - { frac { zeta (s-1, v + a )} {s-1}} + zeta (s-1, v) + sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} psi _ {n + 2} (a ) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + v) ^ {- s}} mezi funkcemi zeta, stejně jako v různých vzorcích pro Stieltjesovy konstanty , např.[3]
y m ( proti ) = − ln m + 1 ( proti + A ) m + 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 1 ( A ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ln m ( k + proti ) k + proti { displaystyle gamma _ {m} (v) = - { frac { ln ^ {m + 1} (v + a)} {m + 1}} + součet _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k} } { frac { ln ^ {m} (k + v)} {k + v}}} a
y m ( proti ) = 1 1 2 − proti − A { ( − 1 ) m m + 1 ζ ( m + 1 ) ( 0 , proti + A ) − ( − 1 ) m ζ ( m ) ( 0 , proti ) − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ψ n + 2 ( A ) ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ln m ( k + proti ) k + proti } { displaystyle gamma _ {m} (v) = { frac {1} {{ tfrac {1} {2}} - va}} left {{ frac {(-1) ^ {m} } {m + 1}} , zeta ^ {(m + 1)} (0, v + a) - (- 1) ^ {m} zeta ^ {(m)} (0, v) - součet _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} psi _ {n + 2} (a) součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k } { binom {n} {k}} { frac { ln ^ {m} (k + v)} {k + v}} doprava }} které jsou platné pro ℜ ( A ) > − 1 { displaystyle Re (a)> - 1} proti ∈ C ∖ { 0 , − 1 , − 2 , … } { displaystyle v in mathbb {C} setminus ! {0, -1, -2, ldots }}
Viz také Reference ^ A b C d E F G h i Jordan, Charles (1928), „Sur des polynomes analogy aux polynomes de Bernoulli, et sur des formules de sommation analogals à celle de Maclaurin-Euler“, Acta Sci. Matematika. (Segedín) , 4 : 130–150 ^ A b C d E F G h i j Jordan, Charles (1965). Kalkul konečných rozdílů (3. vydání) . Nakladatelská společnost Chelsea. ^ A b C d E F G h i j k l Blagouchine, Iaroslav V. (2018), „Tři poznámky k reprezentacím Ser a Hasse pro funkce zeta“ (PDF) , INTEGERS: Elektronický deník teorie kombinatorických čísel , 18A (# A3): 1–45 arXiv ^ A b Roman, S. (1984). Pupeční kalkul . New York: Academic Press. ^ Weisstein, Eric W. Bernoulliho polynom druhého druhu Matematika 
![{ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle psi _ {0} (x) = 1 [2mm] displaystyle psi _ {1} (x) = x + { frac {1} { 2}} [2mm] displaystyle psi _ {2} (x) = { frac {1} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {12}} [2 mm ] displaystyle psi _ {3} (x) = { frac {1} {6}} x ^ {3} - { frac {1} {4}} x ^ {2} + { frac {1 } {24}} [2mm] displaystyle psi _ {4} (x) = { frac {1} {24}} x ^ {4} - { frac {1} {6}} x ^ {3} + { frac {1} {6}} x ^ {2} - { frac {19} {720}} end {pole}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9062d0915f3efe3f3e230a28beb1887424cc63)
![{ displaystyle { begin {pole} {l} displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {(-1) ^ {n + 1}} { pi}} int limity _ { 0} ^ { infty} { frac { pi cos pi x- sin pi x ln z} {(1 + z) ^ {n}}} cdot { frac {z ^ {x } dz} { ln ^ {2} z + pi ^ {2}}}, qquad -1 leq x leq n-1 , [3 mm] displaystyle psi _ {n} (x) = { frac {(-1) ^ {n + 1}} { pi}} int limity _ {- infty} ^ {+ infty} { frac { pi cos pi xv sin pi x} {, (1 + e ^ {v}) ^ {n}}} cdot { frac {e ^ {v (x + 1)}} {v ^ {2} + pi ^ { 2}}} , dv, qquad -1 leq x leq n-1 , end {pole}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64da1057e93b39b008e2115dff6885629653b0a5)
![{ displaystyle { begin {pole} {l} displaystyle psi _ {n} (0) = G_ {n} [2 mm] displaystyle psi _ {n} (1) = G_ {n-1 } + G_ {n} [2 mm] displaystyle psi _ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n + 1} součet _ {m = 0} ^ {n} | G_ {m } | = (- 1) ^ {n} C_ {n} [2mm] displaystyle psi _ {n} (n-2) = - | G_ {n} | [2mm] displaystyle psi _ {n} (n-1) = (- 1) ^ {n} psi _ {n} (- 1) = 1- součet _ {m = 1} ^ {n} | G_ {m} | [2mm] displaystyle psi _ {2n} (n-1) = M_ {2n} [2mm] displaystyle psi _ {2n} (n-1 + y) = psi _ {2n} ( n-1-y) [2 mm] displaystyle psi _ {2n + 1} (n - { tfrac {1} {2}} + y) = - psi _ {2n + 1} (n- { tfrac {1} {2}} - y) [2mm] displaystyle psi _ {2n + 1} (n - { tfrac {1} {2}}) = 0 end {pole}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085f82d1402acafbad46d177f7db3621a241bdb7)
