Automorfní funkce L. - Automorphic L-function
v matematika, an automorfní L-funkce je funkce L(s, π,r) komplexní proměnné s, přidružený k automatická reprezentace π a reduktivní skupina G přes globální pole a konečně-dimenzionální komplexní reprezentace r z Langlandsova dvojitá skupina LG z G, zobecňující Dirichlet řada L. a Dirichletova postava a Mellinova transformace a modulární forma. Byli představeni Langlands (1967, 1970, 1971 ).
Borel (1979) a Arthur & Gelbart (1991) poskytl průzkumy automatických L-funkcí.
Vlastnosti
Automorfní -funkce by měly mít následující vlastnosti (které byly v některých případech prokázány, ale v jiných případech jsou stále domnělé).
Funkce L. by měl být produkt všude z místních funkce.
Tady automatická reprezentace je tenzorový produkt reprezentací místních skupin.
Očekává se, že funkce L bude mít analytické pokračování jako meromorfní funkce celého komplexu , a uspokojit funkční rovnici
kde faktor je produktem „místních konstant“
téměř všechny jsou 1.
Obecné lineární skupiny
Godement & Jacquet (1972) konstruoval automorfní L-funkce pro obecné lineární skupiny s r standardní reprezentace (tzv standardní funkce L. ) a ověřené analytické pokračování a funkční rovnice pomocí zobecnění metody v Tateova práce. Všudypřítomné v Langlandsském programu jsou Rankin-Selberg produkty reprezentací GL (m) a GL (n). Výsledné Rankin-Selbergovy L-funkce uspokojují řadu analytických vlastností, přičemž jejich funkční rovnice byla poprvé prokázána pomocí Langlands-Shahidiho metoda.
Obecně platí, že Langlandsova funkcionalita domněnky naznačují, že automorfní L-funkce připojeného reduktivní skupina se rovnají produktům automorfních L-funkcí obecných lineárních skupin. Důkaz funkcionality Langlands by také vedl k důkladnému pochopení analytických vlastností automorfních L-funkcí.
Reference
- Arthur, James; Gelbart, Stephen (1991), „Lectures on automorphic L-functions“, in Coates, John; Taylor, M. J. (eds.), L-funkce a aritmetika (Durham, 1989) (PDF), London Math. Soc. Přednáška Ser., 153, Cambridge University Press, str. 1–59, doi:10.1017 / CBO9780511526053.003, ISBN 978-0-521-38619-7, PAN 1110389
- Borel, Armand (1979), „Automorphic L-functions“, in Borel, Armand; Casselman, W. (eds.), Automorfní formy, reprezentace a funkce L (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), část 2, Proc. Symposy. Čistá matematika., XXXIII„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 27–61, doi:10.1090 / pspum / 033.2 / 546608, ISBN 978-0-8218-1437-6, PAN 0546608
- Cogdell, James W .; Kim, Henry H .; Murty, Maruti Ram (2004), Přednášky o automorfních L-funkcích Monografie Fields Institute, 20„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-3516-6, PAN 2071722
- Gelbart, Stephen; Piatetski-Shapiro, Ilya; Rallis, Stephen (1987), Explicitní konstrukce automatických L-funkcíPřednášky z matematiky, 1254, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0078125, ISBN 978-3-540-17848-4, PAN 0892097
- Bože, Rogere; Jacquet, Hervé (1972), Zeta funkce jednoduchých algeberPřednášky z matematiky, 260, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0070263, ISBN 978-3-540-05797-0, PAN 0342495
- Jacquet, H .; Piatetski-Shapiro, I. I .; Shalika, J. A. (1983), "Rankin-Selberg Convolutions", Amer. J. Math., 105: 367–464, doi:10.2307/2374264
- Langlands, Robert (1967), Dopis prof. Weilovi
- Langlands, R. P. (1970), „Problémy v teorii automorfních forem“, Přednášky z moderní analýzy a aplikací, III, Přednášky v matematice, 170, Berlín, New York: Springer-Verlag, s. 18–61, doi:10.1007 / BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, PAN 0302614
- Langlands, Robert P. (1971) [1967], Produkty Euler, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01395-5, PAN 0419366
- Shahidi, F. (1981), „O určitých funkcích„ L “, Amer. J. Math., 103: 297–355, doi:10.2307/2374219