Pupeční kalkul - Umbral calculus
v matematika před sedmdesátými léty, termín pupeční kalkul odkazoval na překvapivou podobnost mezi zdánlivě nesouvisejícími polynomiální rovnice a určité stinné techniky používané k jejich „prokázání“. Tyto techniky zavedl John Blissard (1861 ) a někdy se nazývají Blissardova symbolická metoda. Často se jim připisuje Édouard Lucas (nebo James Joseph Sylvester ), který tuto techniku značně používal.[1]
Krátká historie
Ve 30. a 40. letech 20. století Eric Temple Bell se pokusil pečlivě postavit pupeční kalkul.
V 70. letech Steven Roman, Gian-Carlo Rota a další vyvinuli mozkový počet pomocí lineární funkcionály na prostorech polynomů. V současné době, pupeční kalkul odkazuje na studium Shefferovy sekvence, včetně polynomiálních sekvencí binomický typ a Appellovy sekvence, ale může zahrnovat systematické korespondenční techniky počet konečných rozdílů.
Umbral kalkul z 19. století
Metoda je notační postup používaný k odvození identit zahrnujících indexované sekvence čísel podle předstírá, že indexy jsou exponenty. Postaveno doslovně, je to absurdní, a přesto je úspěšné: identity odvozené přes umbral kalkul lze také správně odvodit složitějšími metodami, které lze brát doslova bez logických obtíží.
Příklad zahrnuje Bernoulliho polynomy. Zvažte například běžné binomická expanze (který obsahuje a binomický koeficient ):
a pozoruhodně podobný vztah na internetu Bernoulliho polynomy:
Porovnejte také obyčejný derivát
k velmi podobně vypadajícímu vztahu na Bernoulliho polynomech:
Tyto podobnosti umožňují konstrukci umbral důkazy, které na povrchu nemohou být správné, ale stejně fungují. Tedy například předstíráním, že dolní index n − k je exponent:
a poté diferenciací získáme požadovaný výsledek:
Ve výše uvedeném, proměnná b je „umbra“ (latinský pro stín).
Viz také Faulhaberův vzorec.
Série Umbral Taylor
Podobné vztahy byly pozorovány také v teorii konečné rozdíly. Umbrální verze Taylor série je dán podobným výrazem zahrnujícím k-th vpřed rozdíly a polynomiální funkce F,
kde
je Pochhammer symbol zde použitý pro klesající sekvenční produkt. Podobný vztah platí pro zpětné rozdíly a rostoucí faktoriál.
Tato série je také známá jako Newtonova řada nebo Newtonův dopředný rozdílAnalogie s Taylorovou expanzí je využívána v počet konečných rozdílů.
Bell a Riordan
Ve 30. a 40. letech 20. století Eric Temple Bell se neúspěšně pokusil učinit tento druh argumentu logicky přísným. The kombinatorialista John Riordan ve své knize Kombinatorické identity publikované v 60. letech 20. století, značně využívaly techniky tohoto druhu.
Moderní umbral kalkul
Další kombinatorialista, Gian-Carlo Rota, poukázal na to, že tajemství zmizí, pokud se vezme v úvahu lineární funkční L na polynomech v z definován
Poté pomocí definice Bernoulliho polynomů a definice a linearity L, lze psát
To umožňuje jednomu nahradit výskyty podle , to znamená, přesuňte n z dolního indexu do horního indexu (klíčová operace umbral kalkulu). Například nyní můžeme dokázat, že:
Rota později uvedl, že mnoho zmatku vyplývá z nerozlišování mezi třemi ekvivalenční vztahy které se v tomto tématu vyskytují často a všechny byly označeny znakem „=“.
V příspěvku publikovaném v roce 1964 použila Rota k zavedení metody umbral rekurze vzorec splněn Čísla zvonků, které vyjmenovávají oddíly konečných množin.
V níže citovaném článku Romana a Roty je pupeční kalkul charakterizován jako studium umbral algebra, definovaný jako algebra lineárních funkcionálů na vektorový prostor polynomů v proměnné Xs produktem L1L2 lineárních funkcionálů definovaných
Když polynomiální sekvence nahradit sekvence čísel jako obrázky yn pod lineárním mapováním L, pak je pupeční metoda považována za základní součást Rotovy obecné teorie speciálních polynomů a tato teorie je pupeční kalkul některými modernějšími definicemi termínu.[2] Malý vzorek této teorie lze nalézt v článku o polynomiální sekvence binomického typu. Další je článek s názvem Shefferova sekvence.
Rota později ve své práci se Shenem rozsáhle aplikoval umbralální kalkul ke studiu různých kombinatorických vlastností kumulanty.[3]
Viz také
- Umrální složení polynomiálních sekvencí
- Počet konečné rozdíly
- Pidduckovy polynomy
- Symbolická metoda v invariantní teorii
Poznámky
- ^ E. T. Bell, „Historie Blissardovy symbolické metody s náčrtem života jejího vynálezce“, Americký matematický měsíčník 45: 7 (1938), s. 414–421.
- ^ Rota, G. C .; Kahaner, D .; Odlyzko, A. (1973). „Na základech kombinatorické teorie. VIII. Konečný počet operátorů“. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 42 (3): 684. doi:10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8.
- ^ G.-C. Rota a J. Shen, „O kombinatorice kumulantů“, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 91: 283–304, 2000.
Reference
- Bell, E. T. (1938), „Dějiny Blissardovy symbolické metody s náčrtem života jejího vynálezce“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 45 (7): 414–421, doi:10.1080/00029890.1938.11990829, ISSN 0002-9890, JSTOR 2304144
- Blissard, John (1861), "Teorie obecných rovnic", Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky, 4: 279–305
- Roman, Steven M .; Rota, Gian-Carlo (1978), „The umbral calculus“, Pokroky v matematice, 27 (2): 95–188, doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7, ISSN 0001-8708, PAN 0485417
- G.-C. Rota, D. Kahaner a A. Odlyzko, „Kalkul konečného operátora,“ Journal of Mathematical Analysis and its Applications, sv. 42, č. 3. června 1973. Přetištěno ve knize se stejným názvem, Academic Press, New York, 1975.
- Roman, Steven (1984), Pupeční kalkul Čistá a aplikovaná matematika, 111, Londýn: Academic Press Inc. [vydavatelé Harcourt Brace Jovanovich], ISBN 978-0-12-594380-2, PAN 0741185. Dotisk Dover, 2005.
- Roman, S. (2001) [1994], "Umbral kalkul", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. "Umbral Calculus". MathWorld.
- A. Di Bucchianico, D. Loeb (2000). „Vybraný průzkum umbralního počtu“ (PDF). Electronic Journal of Combinatorics. Dynamické průzkumy. DS3. Archivovány od originál (PDF) dne 2012-02-24.
- Roman, S. (1982), Teorie pupečníku, I.