Hlavní domněnka Iwasawovy teorie - Main conjecture of Iwasawa theory

v matematika, hlavní domněnka Iwasawa teorie je hluboký vztah mezi str-adic L-funkce a ideální třídní skupiny z cyklotomická pole, prokázáno Kenkichi Iwasawa pro prvočísla splňující Domněnka Kummer – Vandiver a prokázáno u všech prvočísel Mazurem a Wilesem (1984 ). The Věta Herbrand – Ribet a Gras dohad jsou oba snadné důsledky hlavního dohadu. Existuje několik zevšeobecnění hlavního dohadu, k úplně reálná pole, CM pole, eliptické křivky, a tak dále.

Motivace

Iwasawa (1969a) byl částečně motivován analogií s Weilův popis funkce zeta algebraické křivky nad a konečné pole pokud jde o vlastní čísla Frobeniova endomorfismus na jeho Jacobian odrůda. V této analogii

• Akce Frobenius odpovídá akci skupiny Γ.
• Jacobian křivky odpovídá modulu X nad Γ definováno ve smyslu ideálních skupin tříd.
• Funkce zeta křivky nad konečným polem odpovídá a str-adic L-funkce.
• Weilova věta o vlastních hodnotách Frobeniuse s nulami zeta funkce křivky odpovídá Iwasawově hlavní domněnce týkající se působení Iwasawa algebra na X k nulam str-adická funkce zeta.

Dějiny

Hlavní domněnka Iwasawa teorie byla formulována jako tvrzení, že dvě metody definování str-adic L-funkce (podle teorie modulu, interpolace) by se měly shodovat, pokud to bylo dobře definované. To prokázal Mazur a Wiles (1984) pro Qa pro všechny pole zcela reálných čísel podle Wiles (1990). Tyto důkazy byly po vzoru Ken Ribet důkaz o obrácení k Herbrandově teorému ( Věta Herbrand – Ribet ).

Karl Rubin našel elementárnější důkaz věty o Mazur-Wilesovi pomocí Thainova metoda a Kolyvaginovy Eulerovy systémy, popsáno v Lang (1990) a Washington (1997), a později prokázal další zobecnění hlavní domněnky pro imaginární kvadratická pole.^[1]

V roce 2014 Christopher Skinner a Eric Urban prokázal několik případů hlavních domněnek pro velkou třídu modulární formy.^[2] V důsledku toho pro a modulární eliptická křivka přes racionální čísla dokazují, že zmizení Hasse – Weil L-funkce L(E, s) z E na s = 1 znamená, že p-adic Selmerova skupina z E je nekonečný. V kombinaci s teorémy o Hrubý -Zagier a Kolyvagin, toto poskytlo podmíněný důkaz (na Tate – Shafarevichova domněnka ) domněnky, že E má nekonečně mnoho racionálních bodů právě tehdy L(E, 1) = 0, (slabá) forma Domněnka Birch – Swinnerton-Dyer. Tyto výsledky byly použity Manjul Bhargava, Skinner a Wei Zhang dokázat, že kladný podíl eliptických křivek vyhovuje Domněnka Birch – Swinnerton-Dyer.^[3][4]

Prohlášení

• str je prvočíslo.
• F_n je pole Q(ζ) kde ζ je kořen jednoty řádu strⁿ⁺¹.
• Γ je největší podskupina absolutní skupiny Galois F_∞ isomorfní s str-adická celá čísla.
• γ je topologický generátor Γ
• L_n je str-Hilbertovo pole třídy F_n.
• H_n je skupina Galois Gal (L_n/F_n), izomorfní s podskupinou prvků skupiny ideální třídy F_n jehož pořadí je síla str.
• H_∞ je inverzní limit Galoisových skupin H_n.
• PROTI je vektorový prostor H_∞⊗_ZstrQ_str.
• ω je Teichmüllerova postava.
• PROTIⁱ je ωⁱ vlastní prostor PROTI.
• h_str(ωⁱ,T) je charakteristický polynom γ působící na vektorový prostor PROTIⁱ
• L_str je funkce p-adic L. s L_str(ωⁱ,1–k) = –B_k(ω^i–k)/k, kde B je zobecněné Bernoulliho číslo.
• u je jedinečné p-adické číslo splňující γ (ζ) = ζ^u pro všechny p-mocenské kořeny jednoty ζ
• G_str je výkonová řada s G_str(ωⁱ,u^s–1) = L_str(ωⁱ,s)

Hlavní domněnka teorie Iwasawy, kterou prokázali Mazur a Wiles, uvádí, že pokud i je liché celé číslo neodpovídající 1 mod str–1 pak ideály Z_str – T - generováno h_str(ωⁱ,T) a G_str(ω^1–i,T) jsou rovny.

Poznámky

Zdroje