Funkce theta - Theta function

Jacobiho původní theta funkce θ₁ s u = iπz a s nome q = E^iπτ = 0.1E^0.1iπ. Konvence jsou (Mathematica): ${ displaystyle { begin {aligned} theta _ {1} (u; q) & = 2q ^ { frac {1} {4}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1 ) ^ {n} q ^ {n (n + 1)} sin (2n + 1) u & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {n- { frac {1} {2}}} q ^ { left (n + { frac {1} {2}} right) ^ {2}} e ^ {(2n + 1) iu} end {zarovnáno }}}$

v matematika, theta funkce jsou speciální funkce z několik složitých proměnných. Jsou důležité v mnoha oblastech, včetně teorií Abelianské odrůdy a modulové prostory a kvadratické formy. Byly také použity soliton teorie. Při generalizaci na a Grassmannova algebra, také se objevují v kvantová teorie pole.^[1]

Nejběžnější formou theta funkce je ta, která se vyskytuje v teorii eliptické funkce. S ohledem na jednu ze složitých proměnných (běžně nazývaných z), funkce theta má vlastnost vyjadřující její chování s ohledem na přidání období přidružených eliptických funkcí, což z ní dělá kvaziperiodická funkce. V abstraktní teorii to pochází z svazek řádků stav klesání.

Funkce Jacobi theta

Jacobi theta 1

Jacobi theta 2

Jacobi theta 3

Jacobi theta 4

Existuje několik úzce souvisejících funkcí zvaných Jacobi theta funkce a mnoho různých a nekompatibilních systémů zápisu pro ně. Jeden Funkce Jacobi theta (pojmenoval podle Carl Gustav Jacob Jacobi ) je funkce definovaná pro dvě komplexní proměnné z a τ, kde z může být libovolné komplexní číslo a τ je poměr poloviny období, omezený na horní polorovina, což znamená, že má pozitivní imaginární část. Je to dáno vzorcem

${ displaystyle { begin {zarovnáno} vartheta (z; tau) & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} exp left ( pi v ^ {2} tau +2 pi inz right) & = 1 + 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} left (e ^ { pi i tau} right) ^ {n ^ {2}} cos (2 pi nz) & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}} eta ^ {n} end {zarovnáno}}}$

kde q = exp (πiτ) je ne já a η = exp (2πiz). Je to Jacobi forma. Na pevné τ, to je Fourierova řada pro 1-periodické celá funkce z z. V souladu s tím je funkce theta 1-periodická v z:

${ displaystyle vartheta (z + 1; tau) = vartheta (z; tau).}$

Ukázalo se také, že je τ-kvaziperiodický v z, s

${ displaystyle vartheta (z + tau; tau) = exp [- pi i ( tau + 2z)] vartheta (z; tau).}$

Obecně tedy

${ displaystyle vartheta (z + a + b tau; tau) = exp left (- pi ib ^ {2} tau -2 pi ibz right) vartheta (z; tau)}$

pro všechna celá čísla A a b.

Funkce theta θ₁ s jiným jménem q = E^iπτ. Černá tečka na obrázku vpravo ukazuje, jak na to q změny s τ.

Funkce theta θ₁ s jiným jménem q = E^iπτ. Černá tečka na obrázku vpravo ukazuje, jak na to q změny s τ.

Pomocné funkce

Jacobi theta funkce definovaná výše je někdy považována za spolu se třemi pomocnými theta funkcemi, v takovém případě je zapsána s dvojitým dolním indexem 0:

${ displaystyle vartheta _ {00} (z; tau) = vartheta (z; tau)}$

Pomocné (nebo poloviční) funkce jsou definovány pomocí

${ displaystyle { begin {seřazeno} vartheta _ {01} (z; tau) & = vartheta left (z + { tfrac {1} {2}}; tau right) [3pt] vartheta _ {10} (z; tau) & = exp left ({ tfrac {1} {4}} pi i tau + pi iz right) vartheta left (z + { tfrac {1} {2}} tau; tau vpravo) [3pt] vartheta _ {11} (z; tau) & = exp left ({ tfrac {1} {4}} pi i tau + pi i left (z + { tfrac {1} {2}} right) right) vartheta left (z + { tfrac {1} {2}} tau + { tfrac {1} {2}}; tau right). End {zarovnáno}}}$

Následuje tento zápis Riemann a Mumford; Jacobi Původní formulace byla ve smyslu ne já q = E^iπτ spíše než τ. V Jacobiho zápisu θ-funkce jsou psány:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} theta _ {1} (z; q) & = - vartheta _ {11} (z; tau) theta _ {2} (z; q) & = vartheta _ {10} (z; tau) theta _ {3} (z; q) & = vartheta _ {00} (z; tau) theta _ {4} (z; q) & = vartheta _ {01} (z; tau) end {zarovnáno}}}$

Výše uvedené definice funkcí Jacobi theta nejsou v žádném případě jedinečné. Vidět Jacobi theta funkce (notační variace) k další diskusi.

Pokud jsme nastavili z = 0 ve výše uvedených funkcích theta získáváme čtyři funkce τ pouze, definované na horní polorovině (někdy nazývané theta konstanty.) Ty lze použít k definování různých modulární formy a parametrizovat určité křivky; zejména Jacobi identita je

${ displaystyle vartheta _ {00} (0; tau) ^ {4} = vartheta _ {01} (0; tau) ^ {4} + vartheta _ {10} (0; tau) ^ {4}}$

který je Fermatova křivka stupně čtyři.

Jacobi identity

Jacobiho identity popisují, jak se theta funkce transformují pod modulární skupina, který generuje τ ↦ τ + 1 a τ ↦ −1/τ. Rovnice pro první transformaci lze snadno najít od přidání jedné do τ v exponentu má stejný účinek jako přidání 1/2 na z (n ≡ n² mod 2). Za druhé, pojďme

${ displaystyle alpha = (- i tau) ^ { frac {1} {2}} exp left ({ frac { pi} { tau}} iz ^ {2} right).}$

Pak

${ displaystyle { begin {aligned} vartheta _ {00} ! left ({ frac {z} { tau}}; { frac {-1} { tau}} right) & = alpha , vartheta _ {00} (z; tau) quad & vartheta _ {01} ! left ({ frac {z} { tau}}; { frac {-1} { tau}} right) & = alpha , vartheta _ {10} (z; tau) [3pt] vartheta _ {10} ! left ({ frac {z} { tau} }; { frac {-1} { tau}} vpravo) & = alpha , vartheta _ {01} (z; tau) quad & vartheta _ {11} ! vlevo ({ frac {z} { tau}}; { frac {-1} { tau}} vpravo) & = - i alpha , vartheta _ {11} (z; tau). end { zarovnaný}}}$

Theta funguje z hlediska jména

Místo vyjádření funkcí Theta ve smyslu z a τ, můžeme je vyjádřit jako argumenty w a ne já q, kde w = E^πiz a q = E^πiτ. V této formě se funkce stanou

${ displaystyle { begin {seřazeno} vartheta _ {00} (w, q) & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} (w ^ {2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}} quad & vartheta _ {01} (w, q) & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {n} (w ^ { 2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}} [3pt] vartheta _ {10} (w, q) & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} ( w ^ {2}) ^ {n + { frac {1} {2}}} q ^ { left (n + { frac {1} {2}} right) ^ {2}} quad & vartheta _ {11} (w, q) & = i sum _ {n = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {n} (w ^ {2}) ^ {n + { frac {1 } {2}}} q ^ { left (n + { frac {1} {2}} right) ^ {2}}. End {aligned}}}$

Vidíme, že funkce theta lze definovat také z hlediska w a q, bez přímého odkazu na exponenciální funkci. Tyto vzorce lze proto použít k definování funkcí Theta nad ostatními pole kde exponenciální funkce nemusí být všude definována, například pole str-adická čísla.

Reprezentace produktů

The Trojitý produkt Jacobi (zvláštní případ Macdonaldovy identity ) nám říká, že pro komplexní čísla w a q s |q| < 1 a w ≠ 0 my máme

${ displaystyle prod _ {m = 1} ^ { infty} vlevo (1-q ^ {2m} vpravo) vlevo (1 + w ^ {2} q ^ {2m-1} vpravo) left (1 + w ^ {- 2} q ^ {2m-1} right) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} w ^ {2n} q ^ {n ^ {2}} .}$

Dá se to dokázat elementárními prostředky, jako například v Hardy a Wrighta Úvod do teorie čísel.

Pokud vyjádříme funkci theta z hlediska jména q = E^πiτ (všímat si místo toho některých autorů q = E^2πiτ) a vzít w = E^πiz pak

${ displaystyle vartheta (z; tau) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} exp ( pi i tau n ^ {2}) exp (2 pi izn) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} w ^ {2n} q ^ {n ^ {2}}.}$

Získáváme proto produktový vzorec pro funkci theta ve formě

${ displaystyle vartheta (z; tau) = prod _ {m = 1} ^ { infty} { big (} 1- exp (2m pi i tau) { big)} { velký (} 1+ exp { big (} (2m-1) pi i tau +2 pi iz { big)} { Big)} { Big (} 1+ exp { big (} (2m-1) pi i tau -2 pi iz { big)} { Big)}.}$

Ve smyslu w a q:

${ displaystyle { begin {aligned} vartheta (z; tau) & = prod _ {m = 1} ^ { infty} left (1-q ^ {2m} right) left (1+ q ^ {2m-1} w ^ {2} right) left (1 + { frac {q ^ {2m-1}} {w ^ {2}}} right) & = left ( q ^ {2}; q ^ {2} right) _ { infty} , left (-w ^ {2} q; q ^ {2} right) _ { infty} , left ( - { frac {q} {w ^ {2}}}; q ^ {2} right) _ { infty} & = left (q ^ {2}; q ^ {2} right) _ { infty} , theta left (-w ^ {2} q; q ^ {2} right) end {aligned}}}$

kde (  ;  )_∞ je q-Pochhammer symbol a θ(  ;  ) je q-theta funkce. Pro rozšíření podmínek lze také napsat trojitý produkt Jacobi

${ displaystyle prod _ {m = 1} ^ { infty} left (1-q ^ {2m} right) { Big (} 1+ left (w ^ {2} + w ^ {- 2 } vpravo) q ^ {2m-1} + q ^ {4m-2} { Big)},}$

které můžeme také psát jako

${ displaystyle vartheta (z mid q) = prod _ {m = 1} ^ { infty} left (1-q ^ {2m} right) left (1 + 2 cos (2 pi z) q ^ {2m-1} + q ^ {4m-2} vpravo).}$

Tento formulář je platný obecně, ale jasně je zvláště zajímavý, když z je skutečný. Podobné vzorce produktů pro pomocné funkce theta jsou

${ displaystyle { begin {aligned} vartheta _ {01} (z mid q) & = prod _ {m = 1} ^ { infty} left (1-q ^ {2m} right) left (1-2 cos (2 pi z) q ^ {2m-1} + q ^ {4m-2} right), [3pt] vartheta _ {10} (z mid q) & = 2q ^ { frac {1} {4}} cos ( pi z) prod _ {m = 1} ^ { infty} left (1-q ^ {2m} right) left (1 +2 cos (2 pi z) q ^ {2m} + q ^ {4m} doprava), [3pt] vartheta _ {11} (z mid q) & = - 2q ^ { frac {1} {4}} sin ( pi z) prod _ {m = 1} ^ { infty} left (1-q ^ {2m} right) left (1-2 cos (2 pi z) q ^ {2m} + q ^ {4m} vpravo). end {zarovnáno}}}$

Integrální reprezentace

Funkce Jacobi theta mají následující integrální reprezentace:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} vartheta _ {00} (z; tau) & = - i int _ {i- infty} ^ {i + infty} e ^ {i pi tau u ^ {2}} { frac { cos (2uz + pi u)} { sin ( pi u)}} mathrm {d} u; [6pt] vartheta _ {01} (z; tau ) & = - i int _ {i- infty} ^ {i + infty} e ^ {i pi tau u ^ {2}} { frac { cos (2uz)} { sin ( pi u)}} mathrm {d} u; [6pt] vartheta _ {10} (z; tau) & = - tj. ^ {iz + { frac {1} {4}} i pi tau } int _ {i- infty} ^ {i + infty} e ^ {i pi tau u ^ {2}} { frac { cos (2uz + pi u + pi tau u)} { sin ( pi u)}} mathrm {d} u; [6pt] vartheta _ {11} (z; tau) & = e ^ {iz + { frac {1} {4}} i pi tau} int _ {i- infty} ^ {i + infty} e ^ {i pi tau u ^ {2}} { frac { cos (2uz + pi tau u)} { sin ( pi u)}} mathrm {d} u. end {zarovnáno}}}$

Explicitní hodnoty

Viz Yi (2004).^[2][3]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} varphi (e ^ {- pi x}) & = vartheta (0; ix) = theta _ {3} (0; e ^ {- pi x}) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {- x pi n ^ {2}} [8pt] varphi left (e ^ {- pi} right) & = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma vlevo ({ frac {3} {4}} vpravo)}} [8pt] varphi vlevo (e ^ { -2 pi} right) & = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma left ({ frac {3} {4}} right)}} { frac { sqrt [{4}] {6 + 4 { sqrt {2}}}} {2}} [8pt] varphi left (e ^ {- 3 pi} right) & = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma doleva ({ frac {3} {4}} doprava)}} { frac { sqrt [{4}] {27 + 18 { sqrt {3}}}} {3}} [8pt] varphi left (e ^ {- 4 pi} right) & = { frac { sqrt [{4}] { pi }} { Gamma vlevo ({ frac {3} {4}} vpravo)}} { frac {{ sqrt [{4}] {8}} + 2} {4}} [8 bodů ] varphi left (e ^ {- 5 pi} right) & = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma left ({ frac {3} {4} } right)}} { frac { sqrt [{4}] {225 + 100 { sqrt {5}}}} {5}} [8pt] varphi left (e ^ {- 6 pi} right) & = { frac {{ sqrt [{3}] {3 { sqrt {2}} + 3 { sqrt [{4}] {3}} + 2 { sqrt {3} } - { sqrt [{4}] {27}} + { sqrt [{4}] {1728}} - 4}} cdot { sqrt [{8}] {243 { pi} ^ {2 }}}} {6 { sqrt [{6}] {1 + { sqrt {6}} - { sqrt {2}} - { sqrt {3}}}} { Gamma vlevo ({ frac {3} {4}} vpravo)}}} = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma vlevo ({ frac {3} {4}} vpravo)}} { frac { sqrt {{ sqrt [{4}] {1} } + { sqrt [{4}] {3}} + { sqrt [{4}] {4}} + { sqrt [{4}] {9}}}} { sqrt [{8}] {1728}}} [8pt] varphi left (e ^ {- 7 pi} right) & = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma left ( { frac {3} {4}} vpravo)}} { sqrt {{ frac {{ sqrt {13 + { sqrt {7}}}} + { sqrt {7 + 3 { sqrt { 7}}}}} {14}} cdot { sqrt [{8}] {28}}}} = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma vlevo ({ frac {3} {4}} right)}} { frac { sqrt [{4}] {7 + 4 { sqrt {7}} + 5 { sqrt [{4}] {28}} + { sqrt [{4}] {1372}}}} { sqrt {7}}} [8pt] varphi left (e ^ {- 8 pi} right) & = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma vlevo ({ frac {3} {4}} vpravo)}} { frac {{ sqrt [{8}] {128}} + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}} {4}} [8pt] varphi left (e ^ {- 9 pi} right) & = { frac { sqrt [ {4}] { pi}} { Gamma vlevo ({ frac {3} {4}} vpravo)}} { frac { vlevo (1+ vlevo (1 + { sqrt {3} } right) { sqrt [{3}] {2 - { sqrt {3}}}} right)} {3}} [8pt] varphi left (e ^ {- 10 pi} right) & = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma left ({ frac {3} {4}} right)}} { frac { sqrt {20 + { sqrt {450}} + { sqrt {500}} + 10 { sqrt [{4}] {20}} }} {10}} [8pt] varphi left (e ^ {- 12 pi} right) & = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma left ({ frac {3} {4}} right)}} { frac { sqrt {{ sqrt [{4}] {1}} + { sqrt [{4}] {2}} + { sqrt [{4}] {3}} + { sqrt [{4}] {4}} + { sqrt [{4}] {9}} + { sqrt [{4}] {18}} + { sqrt [{4}] {24}}}} {2 { sqrt [{8}] {108}}}} [8pt] varphi left (e ^ {- 16 pi} right) & = { frac { sqrt [{4}] { pi}} { Gamma left ({ frac {3} {4}} right)}} { frac { left (4+ { sqrt [{4}] {128}} + { sqrt [{4}] {1024 { sqrt [{4}] {8}} + 1024 { sqrt [{4}] {2}}} } right)} {16}} end {aligned}}}$

Některé identity sérií

Následující dvě řady identit byly prokázány István Mező:^[4]

${ displaystyle { begin {aligned} vartheta _ {4} ^ {2} (q) & = iq ^ { frac {1} {4}} sum _ {k = - infty} ^ { infty } q ^ {2k ^ {2} -k} vartheta _ {1} left ({ frac {2k-1} {2i}} ln q, q right), [6pt] vartheta _ {4} ^ {2} (q) & = sum _ {k = - infty} ^ { infty} q ^ {2k ^ {2}} vartheta _ {4} left ({ frac {k ln q} {i}}, q right). end {zarovnáno}}}$

Tyto vztahy platí pro všechny 0 < q < 1. Specializace na hodnoty q, máme další parametr volné částky

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { sqrt { frac { pi { sqrt {e ^ { pi}}}} {2}}} cdot { frac {1} { Gamma ^ {2 } left ({ frac {3} {4}} right)}} & = i sum _ {k = - infty} ^ { infty} e ^ { pi left (k-2k ^ { 2} right)} vartheta _ {1} left ({ frac {i pi} {2}} (2k-1), e ^ {- pi} right), [6pt] { sqrt { frac { pi} {2}}} cdot { frac {1} { Gamma ^ {2} left ({ frac {3} {4}} right)}} & = součet _ {k = - infty} ^ { infty} { frac { vartheta _ {4} left (ik pi, e ^ {- pi} right)} {e ^ {2 pi k ^ {2}}}} end {zarovnáno}}}$

Nuly funkcí Jacobi theta

Všechny nuly funkcí Jacobi theta jsou jednoduché nuly a jsou dány následujícím:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} vartheta (z, tau) = vartheta _ {3} (z, tau) & = 0 quad & Longleftrightarrow && quad z & = m + n tau + { frac {1} {2}} + { frac { tau} {2}} [3pt] vartheta _ {1} (z, tau) & = 0 quad & Longleftrightarrow && quad z & = m + n tau [3pt] vartheta _ {2} (z, tau) & = 0 quad & Longleftrightarrow && quad z & = m + n tau + { frac {1} {2 }} [3pt] vartheta _ {4} (z, tau) & = 0 quad & Longleftrightarrow && quad z & = m + n tau + { frac { tau} {2}} konec {zarovnáno}}}$

kde m, n jsou libovolná celá čísla.

Vztah k Riemannově zeta funkci

Vztah

${ displaystyle vartheta left (0; - { frac {1} { tau}} right) = (- i tau) ^ { frac {1} {2}} vartheta (0; tau )}$

byl používán uživatelem Riemann dokázat funkční rovnici pro Funkce Riemann zeta, prostřednictvím Mellinova transformace

${ displaystyle Gamma left ({ frac {s} {2}} right) pi ^ {- { frac {s} {2}}} zeta (s) = { frac {1} { 2}} int _ {0} ^ { infty} ( vartheta (0; it) -1) t ^ { frac {s} {2}} { frac { mathrm {d} t} {t }}}$

které lze ukázat jako invariantní po nahrazení s podle 1 − s. Odpovídající integrál pro z ≠ 0 je uveden v článku o Funkce Hurwitz zeta.

Vztah k eliptické funkci Weierstrass

Funkci theta použil Jacobi ke konstrukci (ve formě přizpůsobené pro snadný výpočet) jeho eliptické funkce jako kvocienty výše uvedených čtyř funkcí theta a mohl jej použít ke konstrukci Weierstrassovy eliptické funkce také od té doby

${ displaystyle wp (z; tau) = - { big (} log vartheta _ {11} (z; tau) { big)} '' + c}$

kde je druhá derivace vzhledem k z a konstanta C je definován tak, že Laurentova expanze z ℘(z) na z = 0 má nulový konstantní člen.

Vztah k q-gamma funkce

Čtvrtá funkce theta - a tedy i ostatní - je úzce spojena s Jackson q-gamma funkce prostřednictvím vztahu^[5]

${ displaystyle left ( Gamma _ {q ^ {2}} (x) Gamma _ {q ^ {2}} (1-x) vpravo) ^ {- 1} = { frac {q ^ { 2x (1-x)}} { left (q ^ {- 2}; q ^ {- 2} right) _ { infty} ^ {3} left (q ^ {2} -1 right) }} vartheta _ {4} left ({ frac {1} {2i}} (1-2x) log q, { frac {1} {q}} right).}$

Vztahy k funkci Dedekind eta

Nechat η(τ) být Funkce Dedekind eta a argument funkce theta jako ne já q = E^πiτ. Pak,

${ displaystyle { begin {aligned} theta _ {2} (0, q) = vartheta _ {10} (0; tau) & = { frac {2 eta ^ {2} (2 tau )} { eta ( tau)}}, [3pt] theta _ {3} (0, q) = vartheta _ {00} (0; tau) & = { frac { eta ^ {5} ( tau)} { eta ^ {2} left ({ frac {1} {2}} tau right) eta ^ {2} (2 tau)}} = { frac { eta ^ {2} left ({ frac {1} {2}} ( tau +1) right)} { eta ( tau +1)}}, [3pt] theta _ {4} (0, q) = vartheta _ {01} (0; tau) & = { frac { eta ^ {2} left ({ frac {1} {2}} tau right )} { eta ( tau)}}, end {zarovnáno}}}$

a,

${ displaystyle theta _ {2} (0, q) , theta _ {3} (0, q) , theta _ {4} (0, q) = 2 eta ^ {3} ( tau).}$

Viz také Weber modulární funkce.

Eliptický modul

The eliptický modul je

${ displaystyle k ( tau) = { frac { vartheta _ {10} (0, tau) ^ {2}} { vartheta _ {00} (0, tau) ^ {2}}}}$

a komplementární eliptický modul je

${ displaystyle k '( tau) = { frac { vartheta _ {01} (0, tau) ^ {2}} { vartheta _ {00} (0, tau) ^ {2}}} }$

Řešení rovnice tepla

Funkce Jacobi theta je zásadní řešení jednorozměrného rovnice tepla s prostorově periodickými okrajovými podmínkami.^[6] Brát z = X být skutečný a τ = to s t skutečné a pozitivní, můžeme psát

${ displaystyle vartheta (x, it) = 1 + 2 součet _ {n = 1} ^ { infty} exp left (- pi n ^ {2} t right) cos (2 pi nx)}$

který řeší rovnici tepla

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} vartheta (x, it) = { frac {1} {4 pi}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ {2}}} vartheta (x, it).}$

Toto řešení theta-funkce je 1-periodické X, a jako t → 0 blíží se periodickému delta funkce nebo Dirac hřeben, ve smyslu distribuce

${ displaystyle lim _ {t až 0} vartheta (x, it) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} delta (x-n)}$.

Obecná řešení problému prostorově periodické počáteční hodnoty pro rovnici tepla lze získat konvolucí počátečních dat v t = 0 s funkcí theta.

Vztah ke skupině Heisenberg

Funkce Jacobi theta je neměnná při působení diskrétní podskupiny Skupina Heisenberg. Tato invariance je představena v článku o theta zastoupení skupiny Heisenberg.

Zobecnění

Li F je kvadratická forma v n proměnné, pak funkce theta spojená s F je

${ displaystyle theta _ {F} (z) = součet _ {m in mathbb {Z} ^ {n}} e ^ {2 pi izF (m)}}$

se součtem přesahujícím mříž celých čísel ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n}.}$ Tato funkce theta je modulární forma hmotnosti n/2 (ve vhodně definované podskupině) modulární skupina. V Fourierově expanzi

${ displaystyle { hat { theta}} _ {F} (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} R_ {F} (k) e ^ {2 pi ikz},}$

čísla R_F(k) se nazývají čísla reprezentace formuláře.

Theta série postavy Dirichlet

Pro ${ displaystyle chi}$ primitivní Dirichletova postava modulo ${ displaystyle q}$ a ${ displaystyle nu = { frac {1- chi (-1)} {2}}}$ pak

${ displaystyle theta _ { chi} (z) = { frac {1} {2}} součet _ {n = - infty} ^ { infty} chi (n) n ^ { nu} e ^ {2i pi n ^ {2} z}}$

je váha ${ displaystyle { frac {1} {2}} + nu}$ modulární forma úrovně ${ displaystyle 4q ^ {2}}$ a charakter ${ displaystyle chi (d) vlevo ({ frac {-1} {d}} vpravo) ^ { nu}}$, což znamená

${ displaystyle theta _ { chi} left ({ frac {az + b} {cz + d}} right) = chi (d) left ({ frac {-1} {d}} right) ^ { nu} left ({ frac { theta _ {1} left ({ frac {az + b} {cz + d}} right)} { theta _ {1} ( z)}} vpravo) ^ {1 + 2 nu} theta _ { chi} (z)}$

kdykoli

${ displaystyle a, b, c, d in mathbb {Z} ^ {4}, ad-bc = 1, c equiv 0 { bmod {4}} q ^ {2}.}$^[7]

Funkce Ramanujan theta

Funkce Riemann theta

Nechat

${ displaystyle mathbb {H} _ {n} = vlevo {F v M (n, mathbb {C}) , { big |} , F = F ^ { mathsf {T}} ,, , operatorname {Im} F> 0 vpravo }}$

soubor symetrický náměstí matice jehož imaginární část je pozitivní určitý. ${ displaystyle mathbb {H} _ {n}}$ se nazývá Siegel horní poloviční prostor a je vícerozměrný analog horní polorovina. The n-dimenzionální analog modulární skupina je symplektická skupina ${ displaystyle operatorname {Sp} (2n, mathbb {Z});}$ pro n = 1, ${ displaystyle operatorname {Sp} (2, mathbb {Z}) = operatorname {SL} (2, mathbb {Z}).}$ The n-dimenzionální analog kongruenční podskupiny hraje

${ displaystyle ker { big {} operatorname {Sp} (2n, mathbb {Z}) to operatorname {Sp} (2n, mathbb {Z} / k mathbb {Z}) { velký }}.}$

Pak, vzhledem k tomu ${ displaystyle tau in mathbb {H} _ {n},}$ the Funkce Riemann theta je definován jako

${ displaystyle theta (z, tau) = součet _ {m in mathbb {Z} ^ {n}} exp left (2 pi i left ({ tfrac {1} {2} } m ^ { mathsf {T}} tau m + m ^ { mathsf {T}} z vpravo) vpravo).}$

Tady, ${ displaystyle z in mathbb {C} ^ {n}}$ je n-dimenzionální komplexní vektor a horní index T označuje přemístit. Funkce Jacobi theta je pak speciální případ s n = 1 a ${ displaystyle tau in mathbb {H}}$ kde ${ displaystyle mathbb {H}}$ je horní polorovina. Jednou z hlavních aplikací funkce Riemann theta je, že umožňuje dávat explicitní vzorce pro meromorfní funkce na kompaktní Riemannovy povrchy, stejně jako další pomocné objekty, které ve své teorii funkcí figurují prominentně, ${ displaystyle tau}$ být periodickou maticí s ohledem na kanonický základ pro její první homologická skupina.

Riemannova theta konverguje absolutně a jednotně na kompaktní podmnožiny ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n} times mathbb {H} _ {n}.}$

Funkční rovnice je

${ displaystyle theta (z + a + tau b, tau) = exp 2 pi i left (-b ^ { mathsf {T}} z - { tfrac {1} {2}} b ^ { mathsf {T}} tau b right) theta (z, tau)}$

který platí pro všechny vektory ${ displaystyle a, b in mathbb {Z} ^ {n},}$ a pro všechny ${ displaystyle z in mathbb {C} ^ {n}}$ a ${ displaystyle tau in mathbb {H} _ {n}.}$

Poincaré série

The Poincaré série zobecňuje řadu theta na automorfní formy s ohledem na libovolné Fuchsijské skupiny.

Poznámky

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Příručka matematických funkcí. New York: Dover Publications. sek. 16,27ff. ISBN  978-0-486-61272-0.
• Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Základy teorie eliptických funkcí. Překlady matematických monografií AMS. 79. Providence, RI: AMS. ISBN  978-0-8218-4532-5.
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980). Riemannovy povrchy. New York: Springer-Verlag. ch. 6. ISBN  978-0-387-90465-8.. (k léčbě Riemann theta)
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1959). Úvod do teorie čísel (4. vydání). Oxford: Clarendon Press.
• Mumford, David (1983). Tata přednášky o Theta I.. Boston: Birkhauser. ISBN  978-3-7643-3109-2.
• Pierpont, James (1959). Funkce komplexní proměnné. New York: Dover Publications.
• Rauch, Harry E.; Farkas, Hershel M. (1974). Funkce Theta s aplikacemi na povrchy Riemann. Baltimore: Williams & Wilkins. ISBN  978-0-683-07196-2.
• Reinhardt, William P .; Walker, Peter L. (2010), „Funkce Theta“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). Kurz moderní analýzy (4. vydání). Cambridge: Cambridge University Press. ch. 21. (historie Jacobiho θ funkce)

Další čtení

• Farkas, Hershel M. (2008). "Theta funkce v komplexní analýze a teorii čísel". v Alladi, Krishnaswami (vyd.). Průzkumy v teorii čísel. Vývoj v matematice. 17. Springer-Verlag. str. 57–87. ISBN  978-0-387-78509-7. Zbl  1206.11055.
• Schoeneberg, Bruno (1974). "IX. Série Theta". Eliptické modulární funkce. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 203. Springer-Verlag. 203–226. ISBN  978-3-540-06382-7.
• Ackerman, M. Math. Ann. (1979) 244: 75. „O generujících funkcích určité řady Eisenstein „Springer-Verlag

Harry Rauch s Hershel M. Farkas: Theta funguje s aplikacemi pro Riemann Surfaces, Williams a Wilkins, Baltimore MD 1974, ISBN  0-683-07196-3.

externí odkazy

• Moiseev Igor. "Eliptické funkce pro Matlab a Octave".

Tento článek včlení materiál od Integral reprezentace Jacobi theta funkcí na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.