Funkce P-adic L. - P-adic L-function

v matematika, a str-adická funkce zeta, nebo obecněji a str-adic L-funkce, je funkce analogická k Funkce Riemann zeta nebo obecnější L-funkce, ale jehož doména a cílová jsou p-adic (kde str je prvočíslo ). Například doménou může být str-adická celá čísla Zstr, a profinitní str-skupina nebo str-adická rodina Galois reprezentace a obraz může být str-adická čísla Qstr nebo jeho algebraické uzavření.

Zdroj a str-adic L-funkce má tendenci být jedním ze dvou typů. První zdroj - ze kterého Tomio Kubota a Heinrich-Wolfgang Leopoldt dal první konstrukci a str-adic L-funkce (Kubota & Leopoldt 1964 ) - je přes str-adická interpolace speciální hodnoty L-funkce. Například používá Kubota – Leopoldt Kummerovy shody pro Bernoulliho čísla postavit a str-adic L-funkce, str-adická funkce Riemann zeta ζstr(s), jehož hodnoty při záporných lichých celých číslech jsou hodnoty funkce Riemanna zeta při záporných lichých celých číslech (až do explicitního korekčního faktoru). str-adic L-funkce vznikající tímto způsobem se obvykle označují jako analytický str-adic L-funkce. Dalším hlavním zdrojem str-adic L-funkce - poprvé objeveno Kenkichi Iwasawa —Je z aritmetiky cyklotomická pole, nebo obecněji jisté Galoisovy moduly přes věže cyklotomických polí nebo ještě obecnější věže. A str-adic L-funkce vznikající tímto způsobem se obvykle nazývá aritmetický str-adic L-funkce protože kóduje aritmetická data příslušného modulu Galois. The hlavní domněnka Iwasawa teorie (nyní věta kvůli Barry Mazur a Andrew Wiles ) je prohlášení, že Kubota – Leopoldt str-adic L-funkce a aritmetický analog vytvořený teorií Iwasawy jsou v podstatě stejné. V obecnějších situacích, kdy analytické i aritmetické str-adic L-funkce jsou konstruovány (nebo očekávány), prohlášení, že souhlasí, se nazývá hlavní domněnka Iwasawa teorie pro danou situaci. Takové domněnky představují formální výroky týkající se filozofie zvláštních hodnot L-funkce obsahují aritmetické informace.

Dirichletovy funkce L.

Dirichlet L-funkce je dána analytickým pokračováním

Dirichlet L-funkce při záporných celých číslech je dána vztahem

kde Bn, χ je zobecněné Bernoulliho číslo definován

pro χ Dirichletův znak s vodičem F.

Definice pomocí interpolace

Kubota – Leopoldt str-adic L-funkce Lstr(s, χ) interpoluje Dirichlet L- funkce s Eulerovým faktorem na str přesněji, Lstr(s, χ) je jedinečná spojitá funkce str-adické číslo s takhle

pro kladná celá čísla n dělitelné str - 1. Pravá strana je jen obvyklý Dirichlet L-funkce, kromě toho, že Eulerův faktor na str je odstraněn, jinak by tomu tak nebylo str-adicky kontinuální. Kontinuita pravé strany úzce souvisí s Kummerovy shody.

Když n není dělitelné str - 1 toto obvykle neplatí; namísto

pro kladná celá čísla n. Zde je χ zkrouceno o mocninu Teichmüllerova postava ω.

Zobrazeno jako str-adické opatření

str-adic L-funkce lze také považovat za str-adická opatření (nebo str-adické distribuce ) zapnuto str-profinitní skupiny Galois. Překlad mezi tímto hlediskem a původním hlediskem Kubota – Leopoldt (as Qstr-hodnotené funkce na Zstr) je přes Mazur – Mellinova transformace (a teorie pole ).

Zcela reálná pole

Deligne & Ribet (1980), navazující na předchozí práci Serre (1973), konstruované analytické str-adic L-funkce pro zcela reálná pole. Nezávisle, Barsky (1978) a Cassou-Noguès (1979) udělali totéž, ale jejich přístupy sledovaly přístup Takura Shintaniho ke studiu L-hodnoty.

Reference