Prime funkce zeta - Prime zeta function

v matematika, primární funkce zeta je obdobou Funkce Riemann zeta, studoval Glaisher (1891). Je definován jako následující nekonečná řada, který konverguje pro ${ displaystyle Re (s)> 1}$:

${ displaystyle P (s) = součet _ {p , in mathrm {, prvočísla}} { frac {1} {p ^ {s}}} = { frac {1} {2 ^ { s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} + { frac {1} {5 ^ {s}}} + { frac {1} {7 ^ {s}}} + { frac {1} {11 ^ {s}}} + cdots.}$

Vlastnosti

The Produkt Euler pro funkci Riemann zeta ζ(s) to naznačuje

${ displaystyle log zeta (s) = součet _ {n> 0} { frac {P (ns)} {n}}}$

který by Möbiova inverze dává

${ displaystyle P (s) = součet _ {n> 0} mu (n) { frac { log zeta (ns)} {n}}}$

Když s jde na 1, máme ${ Displaystyle P (s) sim log zeta (s) sim log left ({ frac {1} {s-1}} right)}$.To se používá při definici Dirichletova hustota.

To dává pokračování P(s) až ${ displaystyle Re (s)> 0}$, s nekonečným počtem logaritmických singularit v bodech s kde ns je tyč (pouze ns = 1 kdy n je číslo bez čtverce větší nebo rovno 1) nebo nula funkce Riemann zeta ζ(.). Linie ${ displaystyle Re (s) = 0}$ je přirozená hranice, protože se singularity shlukují poblíž všech bodů této linie.

Pokud jeden definuje sekvenci

${ displaystyle a_ {n} = prod _ {p ^ {k} mid n} { frac {1} {k}} = prod _ {p ^ {k} mid mid n} { frac {1} {k!}}}$

pak

${ displaystyle P (s) = log sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}.}$

(Exponentiace ukazuje, že to odpovídá Liemu 2.7 od Li.)

Funkce prime zeta souvisí s Artinova konstanta podle

${ displaystyle ln C _ { mathrm {Artin}} = - součet _ {n = 2} ^ { infty} { frac {(L_ {n} -1) P (n)} {n}}}$

kde L_n je nth Lucasovo číslo.^[1]

Konkrétní hodnoty jsou:

s	přibližná hodnota P (s)	OEIS
1	${ displaystyle { tfrac {1} {2}} + { tfrac {1} {3}} + { tfrac {1} {5}} + { tfrac {1} {7}} + { tfrac {1} {11}} + cdots to infty.}$[2]
2	${ displaystyle 0 {.} 45224 { text {}} 74200 { text {}} 41065 { text {}} 49850 ldots}$	OEIS: A085548
3	${ displaystyle 0 {.} 17476 { text {}} 26392 { text {}} 99443 { text {}} 53642 ldots}$	OEIS: A085541
4	${ displaystyle 0 {.} 07699 { text {}} 31397 { text {}} 64246 { text {}} 84494 ldots}$	OEIS: A085964
5	${ displaystyle 0 {.} 03575 { text {}} 50174 { text {}} 83924 { text {}} 25713 ldots}$	OEIS: A085965
9	${ displaystyle 0 {.} 00200 { text {}} 44675 { text {}} 74962 { text {}} 45066 ldots}$	OEIS: A085969

Analýza

Integrální

Integrál nad funkcí prime zeta je obvykle ukotven v nekonečnu, protože pól v ${ displaystyle s = 1}$ zakazuje definovat pěknou dolní hranici u nějakého konečného celého čísla bez vstupu do diskuse o řezech větví v komplexní rovině:

${ displaystyle int _ {s} ^ { infty} P (t) , dt = součet _ {p} { frac {1} {p ^ {s} log p}}}$

Pozoruhodné hodnoty jsou opět ty, kde se součty pomalu sbíhají:

s	přibližná hodnota ${ displaystyle sum _ {p} 1 / (p ^ {s} log p)}$	OEIS
1	${ Displaystyle 1.63661632 ldots}$	OEIS: A137245
2	${ Displaystyle 0,50778218 ldots}$	OEIS: A221711
3	${ displaystyle 0.22120334 ldots}$
4	${ displaystyle 0,10266547 ldots}$

Derivát

První derivace je

${ displaystyle P '(s) equiv { frac {d} {ds}} P (s) = - součet _ {p} { frac { log p} {p ^ {s}}}}$

Zajímavými hodnotami jsou opět ty, kde se součty pomalu sbíhají:

s	přibližná hodnota ${ displaystyle P '(s)}$	OEIS
2	${ displaystyle -0,493091109 ldots}$	OEIS: A136271
3	${ displaystyle -0,150757555 ldots}$	OEIS: A303493
4	${ displaystyle -0.060607633 ldots}$	OEIS: A303494
5	${ displaystyle -0.026838601 ldots}$	OEIS: A303495

Zobecnění

Téměř hlavní funkce zeta

Protože funkce Riemannova zeta je součtem inverzních mocnin nad celými čísly a funkce prvočísla zeta je součtem inverzních sil prvočísel, k-prvočísla (celá čísla, která jsou produktem ${ displaystyle k}$ zbytečně odlišná prvočísla) definujte jakýsi mezivýčet:

${ displaystyle P_ {k} (s) equiv sum _ {n: Omega (n) = k} { frac {1} {n ^ {s}}}}$

kde ${ displaystyle Omega}$ je celkový počet hlavní faktory.

k	s	přibližná hodnota ${ displaystyle P_ {k}}$	OEIS
2	2	${ Displaystyle 0,14076043434 ldots}$	OEIS: A117543
2	3	${ displaystyle 0,02380603347 ldots}$
3	2	${ displaystyle 0,03851619298 ldots}$	OEIS: A131653
3	3	${ displaystyle 0,00304936208 ldots}$

Každé celé číslo ve jmenovateli Riemannovy zeta funkce ${ displaystyle zeta}$lze klasifikovat podle jeho hodnoty indexu ${ displaystyle k}$, který rozkládá Riemannovu zetafunkci na nekonečný součet ${ displaystyle P_ {k}}$:

${ displaystyle zeta (s) = 1 + součet _ {k = 1,2, ldots} P_ {k} (s)}$

Protože víme, že Dirichletova řada (v nějakém formálním parametru u) splňuje

${ displaystyle P _ { Omega} (u, s): = součet _ {n geq 1} { frac {u ^ { Omega (n)}} {n ^ {s}}} = prod _ {p in mathbb {P}} left (1 na 1 ^ {- s} right) ^ {- 1},}$

můžeme použít vzorce pro symetrické polynomiální varianty s generující funkcí typu na pravé straně. Jmenovitě máme identitu odpovídající koeficientům ${ displaystyle P_ {k} (s) = [u ^ {k}] P _ { Omega} (u, s) = h (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots)}$ když sekvence odpovídají ${ displaystyle x_ {j}: = j ^ {- s} chi _ { mathbb {P}} (j)}$ kde ${ displaystyle chi _ { mathbb {P}}}$ označuje charakteristickou funkci připraví. Použitím Newtonovy identity, máme pro tyto součty obecný vzorec daný

${ displaystyle P_ {n} (s) = součet _ {{k_ {1} + 2k_ {2} + cdots + nk_ {n} = n} na vrcholu {k_ {1}, ldots, k_ {n } geq 0}} left [ prod _ {i = 1} ^ {n} { frac {P (is) ^ {k_ {i}}} {k_ {i}! cdot i ^ {k_ { i}}}} right] = - [z ^ {n}] log left (1- sum _ {j geq 1} { frac {P (js) z ^ {j}} {j} }že jo).}$

Zvláštní případy zahrnují následující explicitní rozšíření:

${ displaystyle { begin {aligned} P_ {1} (s) & = P (s) P_ {2} (s) & = { frac {1} {2}} left (P (s) ^ {2} + P (2 s) vpravo) P_ {3} (s) & = { frac {1} {6}} vlevo (P (s) ^ {3} + 3P (s) P (2s) + 2P (3s) right) P_ {4} (s) & = { frac {1} {24}} left (P (s) ^ {4} + 6P (s) ^ { 2} P (2 s) + 3 P (2 s) ^ {2} + 8 P (s) P (3 s) + 6 P (4 s) vpravo). End {zarovnáno}}}$

Prime modulo zeta funkce

Konstruování součtu ne přes všechna prvočísla, ale pouze přes prvočísla, která jsou ve stejné třídě modulo, zavádí další typy nekonečných řad, které jsou redukcí Dirichletova funkce L..

Viz také

• Divergence součtu převrácených hodnot prvočísel

Reference

• Merrifield, C. W. (1881). „Součty řady vzájemných soupisů prvočísel a jejich sil“. Sborník Královské společnosti. 33: 4–10. doi:10.1098 / rspl.1881.0063. JSTOR  113877.
• Fröberg, Carl-Erik (1968). Msgstr "Na hlavní funkci zeta". Nordisk Tidskr. Správa informací (BIT). 8 (3): 187–202. doi:10.1007 / BF01933420. PAN  0236123.
• Glaisher, J. W. L. (1891). „Na součty inverzních sil prvočísel“. Kvart. J. Math. 25: 347–362.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Mathar, Richard J. (2008). "Dvacet číslic některých integrálů funkce primární zeta". arXiv:0811.4739.
• Li, Ji (2008). Msgstr "Prime grafy a exponenciální složení druhů". J. Comb. Teorie A. 115: 1374–1401. arXiv:0705.0038. doi:10.1016 / j.jcta.2008.02.008. PAN  2455584.
• Mathar, Richard J. (2010). "Tabulka Dirichletovy řady L a hlavních funkcí zeta modulo pro malé moduly". arXiv:1008.2547.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Prime Zeta Function“. MathWorld.