v matematika, a racionální série zeta je vyjádření libovolného reálné číslo pokud jde o sérii skládající se z racionální čísla a Funkce Riemann zeta nebo Funkce Hurwitz zeta. Konkrétně vzhledem k reálnému číslu X, racionální řada zeta pro X darováno
kde qn je racionální číslo, hodnota m je fixní a ζ (s, m) je funkce Hurwitz zeta. Není těžké ukázat, že nějaké skutečné číslo X lze tímto způsobem rozšířit.
Základní série
Pro celé číslo m> 1, jeden má
Pro m = 2, řada zajímavých čísel má jednoduchý výraz jako racionální řada zeta:
a
kde γ je Euler – Mascheroniho konstanta. Série
následuje sečtením Gauss – Kuzminova distribuce. Existují také řady pro π:
a
je pozoruhodný díky své rychlé konvergenci. Tato poslední série vyplývá z obecné identity
což zase vyplývá z generující funkce pro Bernoulliho čísla
Adamchik a Srivastava dávají podobnou sérii
Série související s polygammou
Řadu dalších vztahů lze odvodit z Taylor série pro funkce polygammy na z = 1, což je
- .
Výše uvedené konverguje pro |z| <1. Zvláštní případ je
který platí pro |t| <2. Tady je ψ funkce digamma a ψ(m) je funkce polygammy. Mnoho sérií zahrnujících binomický koeficient lze odvodit:
kde ν je komplexní číslo. Výše uvedené vyplývá z řady rozšíření pro Hurwitz zeta
přijata v y = -1. Podobné řady lze získat jednoduchou algebrou:
a
a
a
Pro celé číslo n ≥ 0, série
lze zapsat jako konečný součet
Výše uvedené vyplývá z jednoduchého rekurzní vztah Sn + Sn + 1 = ζ (n + 2). Dále série
lze psát jako
pro celé číslo n ≥ 1. Výše uvedené vyplývá z identity Tn + Tn + 1 = Sn. Tento proces lze použít rekurzivně k získání konečné řady pro obecné výrazy formuláře
pro kladná celá čísla m.
Poloviční celé číslo výkonové řady
Podobné řady lze získat zkoumáním Funkce Hurwitz zeta na poloviční celočíselné hodnoty. Tak například jeden má
Výrazy ve formě řady P.
Adamchik a Srivastava dávají
a
kde jsou Bernoulliho čísla a jsou Stirlingova čísla druhého druhu.
Další série
Další konstanty, které mají pozoruhodné racionální řady zeta, jsou:
Reference