v teorie čísel , an Produkt Euler je rozšíření a Dirichletova řada do nekonečný produkt indexováno podle prvočísla . Původní takový výrobek byl uveden pro součet všech kladných celých čísel zvýšených na určitou mocninu jak dokazuje Leonhard Euler . Tato série a její pokračování do celé složité roviny se později stala známou jako Funkce Riemann zeta .
Definice Obecně, pokud A { displaystyle a} je ohraničený multiplikativní funkce , pak řada Dirichlet
∑ n A ( n ) n − s { displaystyle sum _ {n} a (n) n ^ {- s} ,} je rovný
∏ str P ( str , s ) { displaystyle prod _ {p} P (p, s) ,} pro Re> 1.kde je produkt převzat prvočísla str { displaystyle p} , a P ( str , s ) { displaystyle P (p, s)} je součet
1 + A ( str ) str − s + A ( str 2 ) str − 2 s + ⋯ . { displaystyle 1 + a (p) p ^ {- s} + a (p ^ {2}) p ^ {- 2s} + cdots.} Ve skutečnosti, pokud to považujeme za formální generující funkce , existence takové a formální Rozšíření produktu Euler je nezbytnou a dostatečnou podmínkou A ( n ) { displaystyle a (n)} být multiplikativní: to říká přesně to A ( n ) { displaystyle a (n)} je produktem A ( str k ) { displaystyle a (p ^ {k})} kdykoli n { displaystyle n} faktory jako produkt sil str k { displaystyle p ^ {k}} různých prvočísel str { displaystyle p} .
Důležitým zvláštním případem je případ, kdy A ( n ) { displaystyle a (n)} je zcela multiplikativní , aby P ( str , s ) { displaystyle P (p, s)} je geometrické řady . Pak
P ( str , s ) = 1 1 − A ( str ) str − s , { displaystyle P (p, s) = { frac {1} {1-a (p) p ^ {- s}}},} jako je tomu v případě Riemannovy zeta funkce, kde A ( n ) = 1 { displaystyle a (n) = 1} a obecněji pro Dirichletovy postavy .
Konvergence V praxi jsou všechny důležité případy takové, že nekonečné řady a nekonečné produktové expanze jsou absolutně konvergentní v nějakém regionu
Re ( s ) > C , { displaystyle operatorname {Re} (s)> C,} to znamená v nějaké pravé polorovině ve složitých číslech. To již poskytuje určité informace, protože nekonečný produkt, který se má sbíhat, musí dát nenulovou hodnotu; proto funkce daná nekonečnou řadou není v takové polorovině nula.
V teorii modulární formy zde je typické mít ve jmenovateli produkty Euler s kvadratickými polynomy. Generál Filozofie Langlands obsahuje srovnatelné vysvětlení spojení polynomů stupně m a teorie reprezentace pro GLm .
Příklady Produkt Euler připojený k Funkce Riemann zeta ζ ( s ) , { displaystyle zeta (s),} pomocí také součtu geometrické řady, je
∏ str ( 1 − str − s ) − 1 = ∏ str ( ∑ n = 0 ∞ str − n s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ζ ( s ) . { displaystyle prod _ {p} (1-p ^ {- s}) ^ {- 1} = prod _ {p} { Big (} sum _ {n = 0} ^ { infty} p ^ {- ns} { Big)} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}} = zeta (s).} zatímco pro Funkce Liouville λ ( n ) = ( − 1 ) Ω ( n ) , { displaystyle lambda (n) = (- 1) ^ { Omega (n)},} to je
∏ str ( 1 + str − s ) − 1 = ∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n s = ζ ( 2 s ) ζ ( s ) . { displaystyle prod _ {p} (1 + p ^ {- s}) ^ {- 1} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { lambda (n)} {n ^ {s}}} = { frac { zeta (2s)} { zeta (s)}}.} Pomocí svých recipročních cen dva produkty Euler pro Möbiova funkce μ ( n ) { displaystyle mu (n)} jsou
∏ str ( 1 − str − s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s = 1 ζ ( s ) { displaystyle prod _ {p} (1-p ^ {- s}) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {s}} } = { frac {1} { zeta (y)}}} a
∏ str ( 1 + str − s ) = ∑ n = 1 ∞ | μ ( n ) | n s = ζ ( s ) ζ ( 2 s ) . { displaystyle prod _ {p} (1 + p ^ {- s}) = suma _ {n = 1} ^ { infty} { frac {| mu (n) |} {n ^ {s }}} = { frac { zeta (s)} { zeta (2s)}}.} Vezmeme-li poměr těchto dvou dává
∏ str ( 1 + str − s 1 − str − s ) = ∏ str ( str s + 1 str s − 1 ) = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) . { displaystyle prod _ {p} { Big (} { frac {1 + p ^ {- s}} {1-p ^ {- s}}} { Big)} = prod _ {p} { Big (} { frac {p ^ {s} +1} {p ^ {s} -1}} { Big)} = { frac { zeta (s) ^ {2}} { zeta (2 s)}}.} Protože pro s funkce Riemann zeta ζ ( s ) { displaystyle zeta (s)} má analytický výraz ve smyslu a Racionální násobek π s , { displaystyle pi ^ {s},} pak pro sudé exponenty se tento nekonečný produkt vyhodnotí na racionální číslo. Například od ζ ( 2 ) = π 2 / 6 , { displaystyle zeta (2) = pi ^ {2} / 6,} ζ ( 4 ) = π 4 / 90 , { displaystyle zeta (4) = pi ^ {4} / 90,} a ζ ( 8 ) = π 8 / 9450 , { displaystyle zeta (8) = pi ^ {8} / 9450,} pak
∏ str ( str 2 + 1 str 2 − 1 ) = 5 2 , { displaystyle prod _ {p} { Big (} { frac {p ^ {2} +1} {p ^ {2} -1}} { Big)} = { frac {5} {2 }},} ∏ str ( str 4 + 1 str 4 − 1 ) = 7 6 , { displaystyle prod _ {p} { Big (} { frac {p ^ {4} +1} {p ^ {4} -1}} { Big)} = { frac {7} {6 }},} a tak dále, přičemž první výsledek je znám Ramanujan . Tato rodina nekonečných produktů je také ekvivalentní
∏ str ( 1 + 2 str − s + 2 str − 2 s + ⋯ ) = ∑ n = 1 ∞ 2 ω ( n ) n − s = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) , { displaystyle prod _ {p} (1 + 2p ^ {- s} + 2p ^ {- 2s} + cdots) = součet _ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ { omega (n )} n ^ {- s} = { frac { zeta (s) ^ {2}} { zeta (2s)}},} kde ω ( n ) { displaystyle omega (n)} počítá počet odlišných hlavních faktorů n , a 2 ω ( n ) { displaystyle 2 ^ { omega (n)}} je počet bez čtverce dělitele.
Li χ ( n ) { displaystyle chi (n)} je Dirichletova postava dirigenta N , { displaystyle N,} aby χ { displaystyle chi} je zcela multiplikativní a χ ( n ) { displaystyle chi (n)} záleží jen na n modulo N , a χ ( n ) = 0 { displaystyle chi (n) = 0} -li n není coprime na N , pak
∏ str ( 1 − χ ( str ) str − s ) − 1 = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n − s . { displaystyle prod _ {p} (1- chi (p) p ^ {- s}) ^ {- 1} = součet _ {n = 1} ^ { infty} chi (n) n ^ {-s}.} Zde je vhodné vynechat prvočísla str rozdělení vodiče N z produktu. Ve svých poznámkových blocích zobecnil Ramanujan produkt Euler pro funkci zeta jako
∏ str ( X − str − s ) ≈ 1 Li s ( X ) { displaystyle prod _ {p} (x-p ^ {- s}) přibližně { frac {1} { operatorname {Li} _ {s} (x)}}} pro s > 1 { displaystyle s> 1} kde Li s ( X ) { displaystyle operatorname {Li} _ {s} (x)} je polylogaritmus . Pro X = 1 { displaystyle x = 1} výše uvedený produkt je spravedlivý 1 / ζ ( s ) . { displaystyle 1 / zeta (s).}
Pozoruhodné konstanty Mnoho známých konstanty mít rozšíření produktů Euler.
The Leibnizův vzorec pro π ,
π 4 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ , { displaystyle { frac { pi} {4}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1- { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {7}} + cdots,} lze interpretovat jako a Dirichletova řada pomocí (jedinečného) Dirichletova znaku modulo 4 a převedeno na produkt Euler z superpartikulární poměry
π 4 = ( ∏ str ≡ 1 ( mod 4 ) str str − 1 ) ⋅ ( ∏ str ≡ 3 ( mod 4 ) str str + 1 ) = 3 4 ⋅ 5 4 ⋅ 7 8 ⋅ 11 12 ⋅ 13 12 ⋯ , { displaystyle { frac { pi} {4}} = vlevo ( prod _ {p equiv 1 { pmod {4}}} { frac {p} {p-1}} vpravo) cdot left ( prod _ {p equiv 3 { pmod {4}}} { frac {p} {p + 1}} right) = { frac {3} {4}} cdot { frac {5} {4}} cdot { frac {7} {8}} cdot { frac {11} {12}} cdot { frac {13} {12}} cdots,} kde každý čitatel je prvočíslo a každý jmenovatel je nejbližší násobek čtyř.[1]
Mezi další produkty Euler pro známé konstanty patří:
Hardy – Littlewoodova dvojitá hlavní konstanta :
∏ str > 2 ( 1 − 1 ( str − 1 ) 2 ) = 0.660161... { displaystyle prod _ {p> 2} vlevo (1 - { frac {1} {(p-1) ^ {2}}} vpravo) = 0,660161 ...} Landau-Ramanujanova konstanta :
π 4 ∏ str ≡ 1 ( mod 4 ) ( 1 − 1 str 2 ) 1 / 2 = 0.764223... { displaystyle { frac { pi} {4}} prod _ {p equiv 1 { pmod {4}}} left (1 - { frac {1} {p ^ {2}}} vpravo) ^ {1/2} = 0,764223 ...} 1 2 ∏ str ≡ 3 ( mod 4 ) ( 1 − 1 str 2 ) − 1 / 2 = 0.764223... { displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} prod _ {p equiv 3 { pmod {4}}} left (1 - { frac {1} {p ^ {2} }} vpravo) ^ {- 1/2} = 0,764223 ...} Muratova konstanta (sekvence A065485 v OEIS ):
∏ str ( 1 + 1 ( str − 1 ) 2 ) = 2.826419... { displaystyle prod _ {p} vlevo (1 + { frac {1} {(p-1) ^ {2}}} vpravo) = 2,826419 ...} Silně bezstarostná konstanta × ζ ( 2 ) 2 { displaystyle times zeta (2) ^ {2}} OEIS : A065472 :
∏ str ( 1 − 1 ( str + 1 ) 2 ) = 0.775883... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {1} {(p + 1) ^ {2}}} right) = 0,775883 ...} Artinova konstanta OEIS : A005596 :
∏ str ( 1 − 1 str ( str − 1 ) ) = 0.373955... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {1} {p (p-1)}} right) = 0,373955 ...} Landauova totientní konstanta OEIS : A082695 :
∏ str ( 1 + 1 str ( str − 1 ) ) = 315 2 π 4 ζ ( 3 ) = 1.943596... { displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p (p-1)}} right) = { frac {315} {2 pi ^ {4}}} zeta (3) = 1,943596 ...} Bezstarostná konstanta × ζ ( 2 ) { displaystyle times zeta (2)} OEIS : A065463 :
∏ str ( 1 − 1 str ( str + 1 ) ) = 0.704442... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {1} {p (p + 1)}} right) = 0,704442 ...} (s recipročním) OEIS : A065489 :
∏ str ( 1 + 1 str 2 + str − 1 ) = 1.419562... { displaystyle prod _ {p} vlevo (1 + { frac {1} {p ^ {2} + p-1}} vpravo) = 1,419562 ...} Feller-Tornierova konstanta OEIS : A065493 :
1 2 + 1 2 ∏ str ( 1 − 2 str 2 ) = 0.661317... { displaystyle { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} prod _ {p} left (1 - { frac {2} {p ^ {2}}} vpravo) = 0,661317 ...} Konstanta čísla kvadratické třídy OEIS : A065465 :
∏ str ( 1 − 1 str 2 ( str + 1 ) ) = 0.881513... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {1} {p ^ {2} (p + 1)}} right) = 0,881513 ...} Totální součtová konstanta OEIS : A065483 :
∏ str ( 1 + 1 str 2 ( str − 1 ) ) = 1.339784... { displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p ^ {2} (p-1)}} right) = 1,339784 ...} Sarnakova konstanta OEIS : A065476 :
∏ str > 2 ( 1 − str + 2 str 3 ) = 0.723648... { displaystyle prod _ {p> 2} left (1 - { frac {p + 2} {p ^ {3}}} right) = 0,723648 ...} Bezstarostná konstanta OEIS : A065464 :
∏ str ( 1 − 2 str − 1 str 3 ) = 0.428249... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {2p-1} {p ^ {3}}} right) = 0,428249 ...} Silně bezstarostná konstanta OEIS : A065473 :
∏ str ( 1 − 3 str − 2 str 3 ) = 0.286747... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {3p-2} {p ^ {3}}} right) = 0,286747 ...} Stephensova konstanta OEIS : A065478 :
∏ str ( 1 − str str 3 − 1 ) = 0.575959... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {p} {p ^ {3} -1}} right) = 0,575959 ...} Barbanova konstanta OEIS : A175640 :
∏ str ( 1 + 3 str 2 − 1 str ( str + 1 ) ( str 2 − 1 ) ) = 2.596536... { displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {3p ^ {2} -1} {p (p + 1) (p ^ {2} -1)}} right) = 2,596536. ..} Taniguchiho konstanta OEIS : A175639 :
∏ str ( 1 − 3 str 3 + 2 str 4 + 1 str 5 − 1 str 6 ) = 0.678234... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {3} {p ^ {3}}} + { frac {2} {p ^ {4}}} + { frac {1} {p ^ {5}}} - { frac {1} {p ^ {6}}} right) = 0,678234 ...} Heath-Brown a Morozova konstanta OEIS : A118228 :
∏ str ( 1 − 1 str ) 7 ( 1 + 7 str + 1 str 2 ) = 0.0013176... { displaystyle prod _ {p} left (1 - { frac {1} {p}} right) ^ {7} left (1 + { frac {7p + 1} {p ^ {2} }} vpravo) = 0,0013176 ...} Poznámky Reference G. Polya , Indukce a analogie v matematice Svazek 1 Princeton University Press (1954) L.C. Karta 53-6388 (Velmi přístupný anglický překlad Eulerovy paměti týkající se tohoto „Mimořádného zákona čísel“ se začíná na straně 91) Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel „Pregraduální texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , PAN 0434929 , Zbl 0335.10001 (Poskytuje úvodní diskusi o produktu Euler v kontextu klasické teorie čísel.) G.H. Hardy a EM Wright , Úvod do teorie čísel , 5. vydání, Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Kapitola 17 uvádí další příklady.) George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X G. Niklasch, Některé teoretické konstanty počtu: 1000místné hodnoty " externí odkazy