Gregoryho koeficienty - Gregory coefficients

Gregoryho koeficienty G_n, také známý jako vzájemná logaritmická čísla, Bernoulliho čísla druhého druhunebo Cauchyova čísla prvního druhu,^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13]} jsou racionální čísla, která se vyskytují v Řada Maclaurin rozšíření vzájemného logaritmu

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {z} { ln (1 + z)}} & = 1 + { frac {1} {2}} z - { frac {1} {12} } z ^ {2} + { frac {1} {24}} z ^ {3} - { frac {19} {720}} z ^ {4} + { frac {3} {160}} z ^ {5} - { frac {863} {60480}} z ^ {6} + cdots & = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} G_ {n} z ^ {n } ,, qquad | z | <1 ,. end {zarovnáno}}}$

Gregoryho koeficienty se střídají G_n = (−1)ⁿ⁻¹|G_n| a snižování absolutní hodnoty. Tato čísla jsou pojmenována po James Gregory který je představil v roce 1670 v kontextu numerické integrace. Následně je znovu objevilo mnoho matematiků a často se objevují v dílech moderních autorů, kteří je ne vždy rozpoznají.^{[1][5][14][15][16][17]}

Číselné hodnoty

Výpočet a reprezentace

Nejjednodušší způsob výpočtu Gregoryho koeficientů je použití vzorce opakování

${ displaystyle { frac {G_ {1}} {n}} - { frac {G_ {2}} {n-1}} + { frac {G_ {3}} {n-2}} - cdots + (- 1) ^ {n-1} { frac {G_ {n}} {1}} , = , { frac {1} {n + 1}} ,, qquad n = 2 , 3,4, ldots}$

s G₁ = 1/2.^[14][18] Gregoryho koeficienty lze také vypočítat explicitně pomocí následujícího diferenciálu

${ displaystyle G_ {n} = { frac {1} {n!}} left [{ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} { frac {z} { ln ( 1 + z)}} vpravo] _ {z = 0},}$

integrál

${ displaystyle G_ {n} = { frac {1} {n!}} int _ {0} ^ {1} x (x-1) (x-2) cdots (x-n + 1) , dx = int _ {0} ^ {1} { binom {x} {n}} , dx,}$

Schröderova integrální vzorec^[19][20]

${ displaystyle G_ {n} = (- 1) ^ {n-1} int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {(1 + x) ^ {n} ( ln ^ { 2} x + pi ^ {2})}},}$

nebo konečný součtový vzorec

${ displaystyle G_ {n} = { frac {1} {n!}} sum _ { ell = 1} ^ {n} { frac {s (n, ell)} { ell +1} },}$

kde s(n,ℓ) jsou podepsaní Stirlingova čísla prvního druhu.

Hranice a asymptotické chování

Gregoryho koeficienty uspokojují hranice

${ displaystyle { frac {1} {6n (n-1)}} <{ big |} G_ {n} { big |} <{ frac {1} {6n}}, qquad n> 2 ,}$

dána Johan Steffensen.^[15] Tyto hranice byly později vylepšeny různými autory. Nejznámější hranice pro ně dal Blagouchine.^[17] Zejména,

${ displaystyle { frac {, 1 ,} {, n ln ^ {2} ! n ,}} , - , { frac {, 2 ,} {, n ln ^ {3} ! n ,}} leqslant , { big |} G_ {n} { big |} , leqslant , { frac {, 1 ,} {, n ln ^ {2} ! n ,}} - { frac {, 2 gamma ,} {, n ln ^ {3} ! n ,}} ,, qquad quad n geqslant 5 ,.}$

Asymptoticky, při velkém indexu n, tato čísla se chovají jako^[2][17][19]

${ displaystyle { big |} G_ {n} { big |} sim { frac {1} {n ln ^ {2} n}}, qquad n to infty.}$

Přesnější popis G_n na svobodě n lze nalézt v dílech Van Veen,^[18] Davis,^[3] Coffey,^[21] Nemes^[6] a Blagouchine.^[17]

Série s Gregoryho koeficienty

Série zahrnující Gregoryho koeficienty lze často vypočítat v uzavřené formě. Mezi základní řady s těmito čísly patří

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 1} ^ { infty} { big |} G_ {n} { big |} = 1 [2mm] sum _ {n = 1 } ^ { infty} G_ {n} = { frac {1} { ln 2}} - 1 [2mm] sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ velký |} G_ {n} { big |}} {n}} = gamma, end {zarovnáno}}}$

kde y = 0.5772156649... je Eulerova konstanta. Tyto výsledky jsou velmi staré a jejich historii lze vysledovat až k dílům Gregorio Fontana a Lorenzo Mascheroni.^[17][22] Složitější série s Gregoryho koeficienty byly vypočítány různými autory. Kowalenko,^[8] Alabdulmohsin ^[10][11] a někteří další autoři vypočítali

${ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n-1 }} = - { frac {1} {2}} + { frac { ln 2 pi} {2}} - { frac { gamma} {2}} [6 mm] displaystyle displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} ! { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n + 1}} = 1- ln 2. end { pole}}}$

Alabdulmohsin^[10][11] také dává tyto identity

${ displaystyle { begin {aligned} & { big |} G_ {1} { big |} + { big |} G_ {2} { big |} - { big |} G_ {4} { big |} - { big |} G_ {5} { big |} + { big |} G_ {7} { big |} + { big |} G_ {8} { big |} - { big |} G_ {10} { big |} - { big |} G_ {11} { big |} + cdots = { frac { sqrt {3}} { pi}} [2mm] & { big |} G_ {2} { big |} + { big |} G_ {3} { big |} - { big |} G_ {5} { big |} - { big |} G_ {6} { big |} + { big |} G_ {8} { big |} + { big |} G_ {9} { big |} - { big |} G_ {11} { big |} - { big |} G_ {12} { big |} + cdots = { frac {2 { sqrt {3}}} { pi}} - 1 [ 2 mm] & { big |} G_ {1} { big |} - { big |} G_ {3} { big |} - { big |} G_ {4} { big |} + { velký |} G_ {6} { velký |} + { velký |} G_ {7} { velký |} - { velký |} G_ {9} { velký |} - { velký |} G_ { 10} { big |} + { big |} G_ {12} { big |} + cdots = 1 - { frac { sqrt {3}} { pi}}. End {zarovnáno}} }$

Candelperger, Coppo^[23][24] a Young^[7] to ukázal

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |} cdot H_ {n}} {n}} = { frac { pi ^ {2}} {6}} - 1,}$

kde H_n jsou harmonická čísla.Blagouchine^{[17][25][26][27]} poskytuje následující identity

${ displaystyle { begin {aligned} & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {G_ {n}} {n}} = operatorname {li} (2) - gamma [2mm] & sum _ {n = 3} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n-2}} = - { frac {1} {8}} + { frac { ln 2 pi} {12}} - { frac { zeta '(2)} {, 2 pi ^ {2}}} [2 mm] & součet _ {n = 4} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n-3}} = - { frac {1} {16}} + { frac { ln 2 pi} {24}} - { frac { zeta '(2)} {4 pi ^ {2}}} + { frac { zeta (3)} {8 pi ^ {2}}} [2mm] & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n + 2} } = { frac {1} {2}} - 2 ln 2+ ln 3 [2mm] & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n + 3}} = { frac {1} {3}} - 5 ln 2 + 3 ln 3 [2 mm] & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n + k}} = { frac {1} {k}} + sum _ {m = 1} ^ {k} (- 1) ^ {m} { binom {k} {m}} ln (m + 1) ,, qquad k = 1,2,3, ldots [2 mm] & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n ^ {2}}} = int _ {0} ^ {1 } { frac {- operatorname {li} (1-x) + gamma + ln x} {x}} , dx [2mm] & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {G_ {n}} {n ^ {2}}} = int _ {0} ^ {1} { frac { operatorname {li} (1 + x) - gamma - ln x} {X }} , dx, end {zarovnáno}}}$

kde li (z) je integrální logaritmus a ${ displaystyle { tbinom {k} {m}}}$ je binomický koeficient Je také známo, že funkce zeta, funkce gama, polygamma funkce, Stieltjesovy konstanty a mnoho dalších speciálních funkcí a konstant lze vyjádřit pomocí nekonečných řad obsahujících tato čísla.^{[1][17][18][28][29]}

Zobecnění

Pro Gregoryho koeficienty jsou možné různé zobecnění. Mnoho z nich lze získat úpravou rodičovské rovnice. Například Van Veen^[18] zvážit

${ displaystyle left ({ frac { ln (1 + z)} {z}} right) ^ {s} = s sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} K_ {n} ^ {(s)} ,, qquad | z | <1 ,,}$

a tudíž

${ displaystyle G_ {n} = - { frac {K_ {n} ^ {(- 1)}} {n!}}}$

Ekvivalentní zobecnění později navrhl Kowalenko^[9] a Rubinstein.^[30] Podobným způsobem souvisí Gregoryho koeficienty s generalizovaným Bernoulliho čísla

${ displaystyle left ({ frac {t} {e ^ {t} -1}} right) ^ {s} = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {t ^ { k}} {k!}} B_ {k} ^ {(s)}, qquad | t | <2 pi ,,}$

vidět,^[18][28] aby

${ displaystyle G_ {n} = - { frac {B_ {n} ^ {(n-1)}} {(n-1) , n!}}}$

Jordán^[1][16][31] definuje polynomy ψ_n(s) takhle

${ displaystyle { frac {z (1 + z) ^ {s}} { ln (1 + z)}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n} psi _ {n} (s) ,, qquad | z | <1 ,,}$

a zavolat jim Bernoulliho polynomy druhého druhu. Z výše uvedeného je zřejmé, že G_n = ψ_n(0)Carlitz^[16] zobecnil Jordanovy polynomy ψ_n(s) zavedením polynomů β

${ displaystyle left ({ frac {z} { ln (1 + z)}} right) ^ {s} ! ! cdot (1 + z) ^ {x} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} , Beta _ {n} ^ {(s)} (x) ,, qquad | z | <1 ,,}$

a proto

${ displaystyle G_ {n} = { frac { beta _ {n} ^ {(1)} (0)} {n!}}}$

Blagouchine^[17][32] zavedená čísla G_n(k) takhle

${ displaystyle G_ {n} (k) = { frac {1} {n!}} sum _ { ell = 1} ^ {n} { frac {s (n, ell)} { ell + k}},}$

získali svou generační funkci a studovali jejich asymptotiku obecně n. Jasně, G_n = G_n(1). Tato čísla se striktně střídají G_n(k) = (-1)^n-1|G_n(k)| a podílí se na různých expanzích pro funkce zeta, Eulerova konstanta a polygamma funkce Odlišné zobecnění stejného druhu navrhlo také Komatsu^[31]

${ displaystyle c_ {n} ^ {(k)} = součet _ { ell = 0} ^ {n} { frac {s (n, ell)} {( ell +1) ^ {k} }},}$

aby G_n = C_n⁽¹⁾/n! Čísla C_n^(k) jsou volány autorem poly-Cauchyova čísla.^[31] Coffey^[21]definuje polynomy

${ displaystyle P_ {n + 1} (y) = { frac {1} {n!}} int _ {0} ^ {y} x (1-x) (2-x) cdots (n- 1-x) , dx}$

a proto |G_n| = P_n+1(1).

Viz také

• Stirlingovy polynomy
• Bernoulliho polynomy druhého druhu

Reference