Gregoryho koeficienty Gn, také známý jako vzájemná logaritmická čísla, Bernoulliho čísla druhého druhunebo Cauchyova čísla prvního druhu,[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13] jsou racionální čísla, která se vyskytují v Řada Maclaurin rozšíření vzájemného logaritmu
Gregoryho koeficienty se střídají Gn = (−1)n−1|Gn| a snižování absolutní hodnoty. Tato čísla jsou pojmenována po James Gregory který je představil v roce 1670 v kontextu numerické integrace. Následně je znovu objevilo mnoho matematiků a často se objevují v dílech moderních autorů, kteří je ne vždy rozpoznají.[1][5][14][15][16][17]
Číselné hodnoty
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ... | OEIS sekvence |
---|
Gn | +1/2 | −1/12 | +1/24 | −19/720 | +3/160 | −863/60480 | +275/24192 | −33953/3628800 | +8183/1036800 | −3250433/479001600 | +4671/788480 | ... | OEIS: A002206 (čitatelé), OEIS: A002207 (jmenovatelé) |
---|
Výpočet a reprezentace
Nejjednodušší způsob výpočtu Gregoryho koeficientů je použití vzorce opakování
s G1 = 1/2.[14][18] Gregoryho koeficienty lze také vypočítat explicitně pomocí následujícího diferenciálu
integrál
Schröderova integrální vzorec[19][20]
nebo konečný součtový vzorec
kde s(n,ℓ) jsou podepsaní Stirlingova čísla prvního druhu.
Hranice a asymptotické chování
Gregoryho koeficienty uspokojují hranice
dána Johan Steffensen.[15] Tyto hranice byly později vylepšeny různými autory. Nejznámější hranice pro ně dal Blagouchine.[17] Zejména,
Asymptoticky, při velkém indexu n, tato čísla se chovají jako[2][17][19]
Přesnější popis Gn na svobodě n lze nalézt v dílech Van Veen,[18] Davis,[3] Coffey,[21] Nemes[6] a Blagouchine.[17]
Série s Gregoryho koeficienty
Série zahrnující Gregoryho koeficienty lze často vypočítat v uzavřené formě. Mezi základní řady s těmito čísly patří
kde y = 0.5772156649... je Eulerova konstanta. Tyto výsledky jsou velmi staré a jejich historii lze vysledovat až k dílům Gregorio Fontana a Lorenzo Mascheroni.[17][22] Složitější série s Gregoryho koeficienty byly vypočítány různými autory. Kowalenko,[8] Alabdulmohsin [10][11] a někteří další autoři vypočítali
Alabdulmohsin[10][11] také dává tyto identity
Candelperger, Coppo[23][24] a Young[7] to ukázal
kde Hn jsou harmonická čísla.Blagouchine[17][25][26][27] poskytuje následující identity
kde li (z) je integrální logaritmus a je binomický koeficient Je také známo, že funkce zeta, funkce gama, polygamma funkce, Stieltjesovy konstanty a mnoho dalších speciálních funkcí a konstant lze vyjádřit pomocí nekonečných řad obsahujících tato čísla.[1][17][18][28][29]
Zobecnění
Pro Gregoryho koeficienty jsou možné různé zobecnění. Mnoho z nich lze získat úpravou rodičovské rovnice. Například Van Veen[18] zvážit
a tudíž
Ekvivalentní zobecnění později navrhl Kowalenko[9] a Rubinstein.[30] Podobným způsobem souvisí Gregoryho koeficienty s generalizovaným Bernoulliho čísla
vidět,[18][28] aby
Jordán[1][16][31] definuje polynomy ψn(s) takhle
a zavolat jim Bernoulliho polynomy druhého druhu. Z výše uvedeného je zřejmé, že Gn = ψn(0)Carlitz[16] zobecnil Jordanovy polynomy ψn(s) zavedením polynomů β
a proto
Blagouchine[17][32] zavedená čísla Gn(k) takhle
získali svou generační funkci a studovali jejich asymptotiku obecně n. Jasně, Gn = Gn(1). Tato čísla se striktně střídají Gn(k) = (-1)n-1|Gn(k)| a podílí se na různých expanzích pro funkce zeta, Eulerova konstanta a polygamma funkce Odlišné zobecnění stejného druhu navrhlo také Komatsu[31]
aby Gn = Cn(1)/n! Čísla Cn(k) jsou volány autorem poly-Cauchyova čísla.[31] Coffey[21]definuje polynomy
a proto |Gn| = Pn+1(1).
Viz také
Reference
- ^ A b C d Ch. Jordán. Počet konečných rozdílů Chelsea Publishing Company, USA, 1947.
- ^ A b L. Kometa. Pokročilá kombinatorika (2. vydání) D. Reidel Publishing Company, Boston, USA, 1974.
- ^ A b H.T. Davise. Aproximace logaritmických čísel. Amer. Matematika. Měsíčně, sv. 64, č. 8, s. 11–18, 1957.
- ^ P. C. Stamper. Tabulka Gregoryho koeficientů. Matematika. Comp. sv. 20, s. 465, 1966.
- ^ A b D. Merlini, R. Sprugnoli, M. C. Verri. Cauchyova čísla. Discrete Math., Sv. 306, s. 1906–1920, 2006.
- ^ A b G. Nemes. Asymptotická expanze pro Bernoulliho čísla druhého druhu. J. Integer Seq, sv. 14, 11.4.8, 2011
- ^ A b P.T. Mladá. 2-adic vzorec pro Bernoulliho čísla druhého druhu a pro Nörlundova čísla. J. Teorie čísel, sv. 128, s. 2951–2962, 2008.
- ^ A b V. Kowalenko. Vlastnosti a aplikace čísel vzájemného logaritmu. Acta Appl. Math., Sv. 109, s. 413–437, 2010.
- ^ A b V. Kowalenko. Zevšeobecnění čísel vzájemného logaritmu přizpůsobením metody oddílu pro rozšíření řady výkonů. Acta Appl. Math., Sv. 106, s. 369–420, 2009.
- ^ A b C I. M. Alabdulmohsin. Sčítací počet, arXiv: 1209,5739, 2012.
- ^ A b C I. M. Alabdulmohsin. Summability calculus: a Comprehensive Theory of Fractional Finite Sums, Springer International Publishing, 2018.
- ^ F. Qi a X.-J. Zhang Integrální reprezentace, některé nerovnosti a úplná monotónnost Bernoulliho čísel druhého druhu. Býk. Korejská matematika. Soc., Sv. 52, č. 3, s. 987–98, 2015.
- ^ Weisstein, Eric W. "Logaritmické číslo." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- ^ A b J. C. Kluyver. Eulerova konstantní a přirozená čísla. Proc. K. Ned. Akad. Wet., Sv. 27 (1-2), 1924.
- ^ A b J.F.Steffensen. Interpolace (2. ed.). Vydavatelství Chelsea, New York, USA, 1950.
- ^ A b C L. Carlitz. Poznámka o Bernoulliho a Eulerových polynomech druhého druhu. Scripta Math., Sv. 25, str. 323–330,1961.
- ^ A b C d E F G h Ia.V. Blagouchine. Dvě řady rozšíření logaritmu funkce gama zahrnující Stirlingova čísla a obsahující pouze racionální koeficienty pro určité argumenty související s π−1. J.Math. Anální. Appl., 2015.
- ^ A b C d E SC Van Veen. Asymptotická expanze zobecněných Bernoulliho čísel Bn(n − 1) pro velké hodnoty n (n celé číslo). Indag. Matematika. (Proc.), Sv. 13, s. 335–341, 1951.
- ^ A b I. V. Blagouchine, Poznámka k některým nedávným výsledkům pro Bernoulliho čísla druhého druhu, Journal of Integer Sequences, sv. 20, č. 3 (2017), článek 17.3.8 arXiv: 1612.03292
- ^ Ernst Schröder, Zeitschrift fur Mathematik und Physik, sv. 25, s. 106–117 (1880)
- ^ A b M.W. Coffey. Sériové reprezentace pro Stieltjesovy konstanty. Rocky Mountain J. Math., Sv. 44, s. 443–477, 2014.
- ^ Ia.V. Blagouchine. Věta pro hodnocení uzavřené formy první zobecněné Stieltjesovy konstanty při racionálních argumentech a některých souvisejících sumacích J. Teorie čísel, sv. 148, str. 537–592 a sv. 151, s. 276–277, 2015.
- ^ B. Candelpergher a M.-A. Coppo. Nová třída identit zahrnující Cauchyova čísla, harmonická čísla a hodnoty zeta. Ramanujan J., sv. 27, s. 305–328, 2012.
- ^ B. Candelpergher a M.-A. Coppo. Nová třída identit zahrnující Cauchyova čísla, harmonická čísla a hodnoty zeta. Ramanujan J., sv. 27, s. 305–328, 2012
- ^ OEIS: A269330
- ^ OEIS: A270857
- ^ OEIS: A270859
- ^ A b N. Nörlund. Vorlesungen über Differenzenrechnung. Springer, Berlín, 1924.
- ^ Ia.V. Blagouchine. Expanze zobecněných Eulerových konstant do řady polynomů v π−2 a do formální obálkové řady pouze s racionálními koeficienty J. Teorie čísel, sv. 158, s. 365–396, 2016.
- ^ M. O. Rubinstein. Identity pro funkci Riemann zeta Ramanujan J., sv. 27, s. 29–42, 2012.
- ^ A b C Takao Komatsu. Na poly-Cauchyových číslech a polynomech, 2012.
- ^ Ia.V. Blagouchine. Tři poznámky k reprezentacím Sera a Hasse pro funkce Zeta Integers (Electronic Journal of Combinatorial Number Theory), sv. 18A, článek # A3, s. 1–45, 2018. arXiv: 1606.02044