Dirichletova funkce L. - Dirichlet L-function

v matematika, a Dirichlet L-série je funkce formuláře

${ displaystyle L (s, chi) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi (n)} {n ^ {s}}}.}$

Tady χ je a Dirichletova postava a s A komplexní proměnná s skutečná část větší než 1. By analytické pokračování, tuto funkci lze rozšířit na a meromorfní funkce v celku složité letadlo, a poté se nazývá a Dirichlet L-funkce a také označeno L(s, χ).

Tyto funkce jsou pojmenovány po Peter Gustav Lejeune Dirichlet kdo je představil (Dirichlet 1837 ) k prokázání věta o prvočíslech v aritmetických postupech který také nese jeho jméno. V průběhu dokazování to ukazuje Dirichlet L(s, χ) je nenulová v s = 1. Navíc, pokud χ je hlavní, pak odpovídající Dirichlet L-funkce má a jednoduchá tyč v s = 1.

Nuly Dirichletových L-funkcí

Pokud je χ primitivní znak s χ (−1) = 1, pak jsou jediné nuly L(s, χ) s Re (s) <0 jsou na záporných sudých celých číslech. Pokud je χ primitivní znak s χ (−1) = −1, pak jediné nuly L(s, χ) s Re (s) <0 jsou na záporných lichých celých číslech.

Až do možné existence a Siegel nula, oblasti bez nuly včetně a za hranicí Re (s) = 1 je známo, že u všech Dirichlet existuje podobná funkce Riemannova zeta L-funkce: například pro χ nereálný charakter modulu q, my máme

${ displaystyle beta <1 - { frac {c} { log { big (} q (2+ | gamma |) { big)}}}}$

pro β + iγ nereálnou nulu.^[1]

Stejně jako se předpokládá, že Riemannova funkce zeta je v souladu s Riemannova hypotéza, takže Dirichlet L-funkce se domnívají, že se řídí zobecněná Riemannova hypotéza.

Produkt Euler

Protože Dirichletův znak χ je zcela multiplikativní, své L-funkce může být také zapsána jako Produkt Euler v polorovina z absolutní konvergence:

${ displaystyle L (s, chi) = prod _ {p} vlevo (1- chi (p) p ^ {- s} vpravo) ^ {- 1} { text {pro}} { text {Re}} (y)> 1,}$

kde je produkt nade vše prvočísla.^[2]

Funkční rovnice

Předpokládejme, že χ je primitivní znak modulu k. Definování

${ displaystyle Lambda (s, chi) = left ({ frac { pi} {k}} right) ^ {- (s + a) / 2} Gamma left ({ frac {s + a} {2}} vpravo) L (s, chi),}$

kde Γ označuje Funkce gama a symbol A je dána

${ displaystyle a = { begin {cases} 0; & { mbox {if}} chi (-1) = 1, 1; & { mbox {if}} chi (-1) = - 1, end {cases}}}$

jeden má funkční rovnice

${ displaystyle Lambda (1-s, { overline { chi}}) = { frac {i ^ {a} k ^ {1/2}} { tau ( chi)}} Lambda (s , chi),}$

kde τ (χ) je Gaussova suma

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {k} chi (n) exp (2 pi v / k).}$

Všimněte si, že | τ (χ) | = k^1/2.

Vztah k funkci zeta Hurwitz

Dirichlet L-funkce mohou být psány jako lineární kombinace Funkce zeta Hurwitz při racionálních hodnotách. Oprava celého čísla k ≥ 1, Dirichlet L-funkce pro znaky modulo k jsou lineární kombinace constant (s konstantními koeficienty)s,q) kde q = m/k a m = 1, 2, ..., k. To znamená, že Hurwitz zeta funguje racionálně q má analytické vlastnosti, které úzce souvisí s Dirichletem L-funkce. Konkrétně nechme χ být modulo znaku k. Pak můžeme napsat jeho Dirichlet L-funkce jako

${ displaystyle L (s, chi) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { chi (n)} {n ^ {s}}} = { frac {1} { k ^ {s}}} sum _ {m = 1} ^ {k} chi (m) ; zeta left (s, { frac {m} {k}} right).}$

Viz také

• Zobecněná Riemannova hypotéza
• Funkce L.
• Věta o modularitě
• Artin domněnka
• Speciální hodnoty L-funkcí

Poznámky

Reference

• Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001
• Apostol, T. M. (2010), "Dirichletova funkce L", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• H. Davenport (2000). Multiplikativní teorie čísel. Springer. ISBN  0-387-95097-4.
• Dirichlet, P. G. L. (1837). „Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält“. Abhand. Ak. Wiss. Berlín. 48.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• "Dirichlet-L-funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]