Shrnutí Ramanujan je technika vynalezená matematikem Srinivasa Ramanujan pro přiřazení hodnoty odlišnýnekonečná řada. Ačkoli Ramanujanův součet divergentní řady není součtem v tradičním smyslu, má vlastnosti, díky nimž je matematicky užitečný při studiu divergentní řady nekonečná řada, pro které není konvenční součet definován.
Shrnutí Ramanujan je v podstatě vlastnost částečných součtů, spíše než vlastnost celého součtu, protože neexistuje. Vezmeme-li Souhrnný vzorec Euler – Maclaurin společně s použitím opravného pravidla Bernoulliho čísla, vidíme, že:
Ramanujan[1] napsal to pro případ p jít do nekonečna:
kde C je konstanta specifická pro řadu a její analytické pokračování a limity integrálu nebyly specifikovány Ramanujanem, ale pravděpodobně byly, jak je uvedeno výše. Porovnání obou vzorců a za předpokladu, že R má tendenci k 0 jako X inklinuje k nekonečnu, vidíme, že v obecném případě pro funkce F(X) bez rozdílu v X = 0:
kde předpokládal Ramanujan Tím, že normálně získáme obvyklý součet pro konvergentní řady. Pro funkce F(X) bez rozdílu v X = 1, získáme:
CPoté bylo navrženo (0) použít jako součet divergentní sekvence. Je to jako most mezi součtem a integrací.
Konvergentní verze součtu pro funkce s vhodnou podmínkou růstu je pak:
V následujícím textu označuje „součet Ramanujan“. Tento vzorec se původně objevil v jednom z notebooků Ramanujanu, bez jakéhokoli zápisu, který by naznačoval, že je příkladem nové metody sčítání.
Ramanujan vypočítal „součty“ známých odlišných řad. Je důležité zmínit, že součty Ramanujan nejsou součty série v obvyklém smyslu,[2][3] tj. dílčí součty nekonvergují k této hodnotě, která je označena symbolem Zejména součet 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ byla vypočtena jako:
Rozšíření na pozitivní sudé síly, to dalo:
a u zvláštních schopností přístup naznačoval vztah s Bernoulliho čísla:
Bylo navrženo použít C(1) spíše než C(0) jako výsledek Ramanujanova součtu, od té doby lze zajistit, že jedna série připouští jediný Ramanujanův součet, definovaný jako hodnota v 1 jediného řešení rozdílové rovnice který ověřuje stav .[4]
Tato definice součtu Ramanujan (označen jako ) se neshoduje s dříve definovaným součtem Ramanujan, C(0), ani se součtem konvergentních řad, ale má zajímavé vlastnosti, například: If R(X) má sklon ke konečnému limitu, když X → 1, pak série je konvergentní a my máme