Funkce Lambert W. - Lambert W function

Graf y = Ž(X) opravdu X < 6 a y > −4. Horní větev (modrá) s y ≥ −1 je graf funkce Ž₀ (hlavní větev), spodní větev (purpurová) s y ≤ −1 je graf funkce Ž₋₁. Minimální hodnota X je na {−1 /E,−1}

v matematika, Lambert Ž funkce, také nazývaný funkce omega nebo logaritmus produktu, je funkce s více hodnotami, jmenovitě větve z inverzní vztah funkce F(w) = my^w, kde w je jakýkoli komplexní číslo a E^w je exponenciální funkce.

Pro každé celé číslo k existuje jedna větev označená Ž_k(z), což je komplexní funkce jednoho komplexního argumentu. Ž₀ je známý jako hlavní větev. Tyto funkce mají následující vlastnost: if z a w jsou tedy libovolná komplexní čísla

${ displaystyle we ^ {w} = z}$

platí právě tehdy

${ displaystyle w = W_ {k} (z) { text {pro celé číslo}} k.}$

Když se jedná pouze o reálná čísla, obě větve Ž₀ a Ž₋₁ stačí: pro reálná čísla X a y rovnice

${ displaystyle ye ^ {y} = x}$

lze vyřešit pro y jen když X ≥ −1/E; dostaneme y = Ž₀(X) -li X ≥ 0 a dvě hodnoty y = Ž₀(X) a y = Ž₋₁(X) -li −1/E ≤ X < 0.

Lambert Ž vztah nelze vyjádřit pomocí základní funkce.^[1] Je to užitečné v kombinatorika například ve výčtu stromy. Může být použit k řešení různých rovnic zahrnujících exponenciály (např. Maxima Planck, Bose – Einstein, a Fermi – Dirac distribuce) a vyskytuje se také při řešení zpožďovací diferenciální rovnice, jako y′(t) = A y(t − 1). v biochemie, a zejména kinetika enzymů, otevřené řešení pro analýzu kinetiky časových kurzů Kinetika Michaelis – Menten je popsán v pojmech Lamberta Ž funkce.

Hlavní větev Lambert Ž funkce v komplexní rovině. Všimněte si větev řez podél záporné reálné osy končící na −1/E. Na tomto obrázku odstín bodu z je určeno argument z Ž(z)a jas podle absolutní hodnota z Ž(z).

Modul hlavní větve Lamberta Ž funkce, barevná podle arg Ž(z)

Terminologie

Lambert Ž funkce je pojmenována po Johann Heinrich Lambert. Hlavní větev Ž₀ je označen Wp v Digitální knihovna matematických funkcí a větev Ž₋₁ je označen Wm tam.

Zde zvolená konvence zápisu (s Ž₀ a Ž₋₁) následuje kanonický odkaz na Lambert Ž funkce Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey a Knuth.^[2]

Název "logaritmus produktu" lze chápat takto: Protože inverzní funkce z F(w) = E^w se nazývá logaritmus, má smysl volat inverzní funkci produkt my^w jako „logaritmus produktu“. Souvisí to s Omega konstanta, což se rovná Ž₀(1).

Dějiny

Lambert nejprve zvážil související Lambertova transcendentální rovnice v roce 1758,^[3] což vedlo k článku od Leonhard Euler v roce 1783^[4] který pojednával o zvláštním případu my^w.

Funkce, kterou Lambert považoval, byla

${ displaystyle x = x ^ {m} + q.}$

Euler transformoval tuto rovnici do formy

${ displaystyle x ^ {a} -x ^ {b} = (a-b) cx ^ {a + b}.}$

Oba autoři odvodili pro své rovnice sériové řešení.

Jakmile Euler tuto rovnici vyřešil, zvážil případ A = b. Když vzal limity, odvodil rovnici

${ displaystyle ln x = cx ^ {a}.}$

Pak dal A = 1 a získal řešení konvergentní řady pro výslednou rovnici, vyjadřující X ve smyslu C.

Po převzetí derivátů s ohledem na X a nějaká manipulace, získá se standardní forma Lambertovy funkce.

V roce 1993, kdy bylo oznámeno, že Lambert Ž funkce poskytuje přesné řešení kvantově-mechanické dvojitý dobře fungující model Dirac delta za stejné poplatky - základní problém ve fyzice - Corless a vývojáři Javor počítačový algebraický systém prohledal knihovnu a zjistil, že tato funkce je v přírodě všudypřítomná.^[2][5]

Další příklad, kde se tato funkce nachází, je v Kinetika Michaelis – Menten.

I když to bylo folklórní poznání, že Lambert Ž funkci nelze vyjádřit pomocí elementárních (Liouvillianových) funkcí, první publikovaný důkaz se objevil až v roce 2008.^[6]

Základní vlastnosti, větve a rozsah

Rozsah Ž funkce zobrazující všechny větve. Černé křivky (včetně skutečné osy) tvoří obraz skutečné osy, oranžové křivky jsou obrazem imaginární osy. Fialová křivka je obraz malého kruhu kolem bodu z = 0; červené křivky jsou obrazem malého kruhu kolem bodu z = −1/E.

Graf imaginární části W [n, x + i y] pro větve n = -2, -1,0,1,2. Děj je podobný jako u vícehodnotového komplexní logaritmus funkce kromě toho, že mezery mezi listy nejsou konstantní a připojení hlavního listu je jiné

Existuje nespočet poboček Ž funkce, označená Ž_k(z), pro celé číslo k; Ž₀(z) být hlavní (nebo hlavní) pobočkou. Ž₀(z) je definována pro všechna komplexní čísla z zatímco Ž_k(z) s k ≠ 0 je definován pro všechny nenulové z. My máme Ž₀(0) = 0 a limz→0 Ž_k(z) = −∞ pro všechny k ≠ 0.

Bod větve hlavní větve je na z = −1/E, s větvením, které sahá až k −∞ podél záporné reálné osy. Tento řez větve odděluje hlavní větev od dvou větví Ž₋₁ a Ž₁. Ve všech odvětvích Ž_k s k ≠ 0, je odbočka na z = 0 a odbočka podél celé záporné reálné osy.

Funkce Ž_k(z), k ∈ Z všichni jsou injekční a jejich rozsahy jsou disjunktní. Rozsah celé funkce s více hodnotami Ž je komplexní rovina. Obraz skutečné osy je spojení skutečné osy a quadratrix Hippias, parametrická křivka w = −t dětská postýlka t + to.

Inverzní

Oblasti komplexní roviny, pro které ${ displaystyle W (n, ze ^ {z}) = z}$. Tmavší hranice určité oblasti jsou zahrnuty do světlejší oblasti stejné barvy. Bod v {-1,0} je zahrnut v obou ${ displaystyle n = -1}$ (modrý) region a ${ displaystyle n = 0}$ (šedá) oblast. Vodorovné mřížky jsou v násobcích π.

Výše uvedený graf rozsahu také vymezuje oblasti v komplexní rovině, kde jednoduchý inverzní vztah '${ displaystyle W (n, ze ^ {z}) = z}$ je pravda. F=ze^z znamená, že existuje n takhle ${ displaystyle z = W (n, f) = W (n, ze ^ {z})}$, kde n bude záviset na hodnotě z. Hodnota celého čísla n se náhle změní, když ze^z je na větvi ${ displaystyle W (n, ze ^ {z})}$ což to bude znamenat ze^z ≤ 0, až na ${ displaystyle n = 0}$ kde to bude ze^z ≤ -1/E.

Definovat ${ displaystyle z = x + iy}$ kde X a y jsou skutečné. Vyjadřování E^z v polárních souřadnicích je vidět, že:

${ displaystyle { begin {zarovnané} ze ^ {z} & = (x + iy) e ^ {x} ( cos (y) + i sin (y)) & = e ^ {x} ( x cos (y) -y sin (y)) + tj. ^ {x} (x sin (y) + y cos (y)) end {zarovnáno}}}$

Pro ${ displaystyle n neq 0}$, větev řez pro ${ displaystyle W [n, ze ^ {z}]}$ bude pozitivní pozitivní osa, takže:

${ Displaystyle x sin (y) + y cos (y) = 0 Rightarrow x = -y / tan (y)}$

a

${ displaystyle (x cos (y) -y sin (y)) e ^ {x} leq 0}$

Pro ${ displaystyle n = 0}$, větev řez pro ${ displaystyle W [n, ze ^ {z}]}$ bude skutečná osa s ${ displaystyle - infty$ aby se nerovnost stala:

${ displaystyle (x cos (y) -y sin (y)) e ^ {x} leq -1 / e}$

Uvnitř regionů ohraničených výše nebudou v systému žádné diskontinuální změny ${ displaystyle W (n, ze ^ {z})}$ a tyto regiony určí, kde Ž funkce je jednoduše invertibilní: tj. ${ displaystyle W (n, ze ^ {z}) = z}$.

Počet

Derivát

Podle implicitní diferenciace, lze ukázat, že všechny větve Ž uspokojit diferenciální rovnice

${ displaystyle z (1 + W) { frac {dW} {dz}} = W quad { text {for}} z neq - { frac {1} {e}}.}$

(Ž není rozlišitelný pro z = −1/E.) V důsledku toho získáme následující vzorec pro derivaci Ž:

${ displaystyle { frac {dW} {dz}} = { frac {W (z)} {z (1 + W (z))}} quad { text {pro}} z ne v left {0, - { frac {1} {e}} right }.}$

Používání identity E^Ž(z) = z/Ž(z), dostaneme následující ekvivalentní vzorec:

${ displaystyle { frac {dW} {dz}} = { frac {1} {z + e ^ {W (z)}}} quad { text {for}} z neq - { frac { 1} {e}}.}$

Na počátku máme

${ displaystyle W '_ {0} (0) = 1.}$

Antiderivativní

Funkce Ž(X)a mnoho výrazů zahrnujících Ž(X), může být integrovaný za použití substituce w = Ž(X), tj. X = my^w:

${ displaystyle { začátek {zarovnáno} int W (x) , dx & = xW (x) -x + e ^ {W (x)} + C & = x doleva (W (x) -1 + { frac {1} {W (x)}} right) + C. end {zarovnáno}}}$

(Poslední rovnice je v literatuře běžnější, ale nedrží se X = 0). Jedním z důsledků toho (s využitím skutečnosti, že Ž₀(E) = 1) je identita

${ displaystyle int _ {0} ^ {e} W_ {0} (x) , dx = e-1.}$

Asymptotické expanze

The Taylor série z Ž₀ kolem 0 lze najít pomocí Lagrangeova věta o inverzi a je dán

${ displaystyle W_ {0} (x) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-n) ^ {n-1}} {n!}} x ^ {n} = xx ^ {2} + { tfrac {3} {2}} x ^ {3} - { tfrac {8} {3}} x ^ {4} + { tfrac {125} {24}} x ^ {5} - cdots.}$

The poloměr konvergence je 1/E, jak je patrné z poměrový test. Funkci definovanou touto řadou lze rozšířit na a holomorfní funkce definované na všech komplexních číslech pomocí a větev řez podél interval (−∞, −1/E]; tato holomorfní funkce definuje hlavní větev Lambert Ž funkce.

Pro velké hodnoty X, Ž₀ je asymptotický vůči

${ displaystyle { begin {aligned} W_ {0} (x) & = L_ {1} -L_ {2} + { frac {L_ {2}} {L_ {1}}} + { frac {L_ {2} left (-2 + L_ {2} right)} {2L_ {1} ^ {2}}} + { frac {L_ {2} left (6-9L_ {2} + 2L_ {2 } ^ {2} right)} {6L_ {1} ^ {3}}} + { frac {L_ {2} left (-12 + 36L_ {2} -22L_ {2} ^ {2} + 3L_ {2} ^ {3} right)} {12L_ {1} ^ {4}}} + cdots [5pt] & = L_ {1} -L_ {2} + sum _ {l = 0} ^ { infty} sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {l} left [{ begin {smallmatrix} l + m l + 1 end { smallmatrix}} right]} {m!}} L_ {1} ^ {- lm} L_ {2} ^ {m}, end {zarovnáno}}}$

kde L₁ = ln X, L₂ = ln ln X, a [^{l + m}
_{l + 1}] je nezáporný Stirlingovo číslo prvního druhu.^[2] Ponecháme pouze první dva termíny expanze,

${ displaystyle W_ {0} (x) = ln x- ln ln x + o (1).}$

Druhá skutečná větev, Ž₋₁, definované v intervalu [−1/E, 0), má aproximaci stejného tvaru jako X se v tomto případě blíží nule L₁ = ln (-X) a L₂ = ln (−ln (-X)).^[2]

Je to zobrazeno^[7] že následující vazba platí (horní mez pouze pro X ≥ E):

${ Displaystyle ln x- ln ln x + { frac { ln ln x} {2 ln x}} leq W_ {0} (x) leq ln x- ln ln x + { frac {e} {e-1}} { frac { ln ln x} { ln x}}.}$

V roce 2013 se to prokázalo^[8] ta větev Ž₋₁ lze ohraničit následovně:

${ displaystyle -1 - { sqrt {2u}} - u 0.}$

Celé číslo a komplexní mocniny

Celočíselné síly Ž₀ také přiznat jednoduché Taylor (nebo Laurent ) rozšíření série na nulu:

${ displaystyle W_ {0} (x) ^ {2} = součet _ {n = 2} ^ { infty} { frac {-2 left (-n right) ^ {n-3}} { (n-2)!}} x ^ {n} = x ^ {2} -2x ^ {3} + 4x ^ {4} - { tfrac {25} {3}} x ^ {5} + 18x ^ {6} - cdots.}$

Obecněji pro r ∈ ℤ, Lagrangeův inverzní vzorec dává

${ displaystyle W_ {0} (x) ^ {r} = součet _ {n = r} ^ { infty} { frac {-r left (-n right) ^ {nr-1}} { (nr)!}} x ^ {n},}$

což je obecně Laurentova řada řádu r. Ekvivalentně lze toto napsat v podobě Taylorova rozšíření pravomocí Ž₀(X) / X:

${ displaystyle left ({ frac {W_ {0} (x)} {x}} right) ^ {r} = e ^ {- rW_ {0} (x)} = součet _ {n = 0 } ^ { infty} { frac {r levý (n + r pravý) ^ {n-1}} {n!}} levý (-x pravý) ^ {n},}$

který platí pro všechny r ∈ ℂ a |X| < 1/E.

Totožnosti

Spiknutí Ž_j(x e^X) kde modrá je pro j = 0 a červená je pro j = -1. Diagonální čára představuje intervaly, kde Ž_j(x e^X) = x

Z definice vyplývá několik identit:

${ displaystyle { begin {aligned} W_ {0} (xe ^ {x}) & = x & { text {for}} x & geq -1, W _ {- 1} (xe ^ {x}) & = x & { text {for}} x & leq -1. end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že, protože F(X) = xe^X není injekční, ne vždy to platí Ž(F(X)) = X, podobně jako u inverzní trigonometrické funkce. Pro pevné X < 0 a X ≠ −1, rovnice xe^X = vy^y má dvě řešení v y, z nichž jeden je samozřejmě y = X. Pak pro i = 0 a X < −1, stejně jako pro i = −1 a X ∈ (−1, 0), y = Ž_i(xe^X) je dalším řešením.

Některé další identity:^[9]

${ displaystyle { begin {aligned} & W (x) cdot e ^ {W (x)} = x, quad { text {proto:}} [5pt] & e ^ {W (x)} = { frac {x} {W (x)}}, qquad e ^ {- W (x)} = { frac {W (x)} {x}}, qquad e ^ {nW (x)} = left ({ frac {x} {W (x)}} right) ^ {n}. end {aligned}}}$

${ displaystyle ln W_ {0} (x) = ln x-W_ {0} (x) quad { text {pro}} x> 0.}$^[10]

${ displaystyle W_ {0} left (x ln x right) = ln x quad { text {a}} quad e ^ {W_ {0} left (x ln x right)} = x quad { text {for}} { frac {1} {e}} leq x.}$

${ displaystyle W _ {- 1} left (x ln x right) = ln x quad { text {and}} quad e ^ {W _ {- 1} left (x ln x right )} = x quad { text {for}} 0$

${ displaystyle { begin {aligned} & W (x) = ln { frac {x} {W (x)}} && { text {for}} x geq - { frac {1} {e} }, [5pt] & W left ({ frac {nx ^ {n}} {W left (x right) ^ {n-1}}} right) = nW (x) && { text {for}} n, x> 0 end {zarovnáno}}}$

(které lze rozšířit na další n a X pokud je zvolena správná větev).

${ displaystyle W (x) + W (y) = W vlevo (xy vlevo ({ frac {1} {W (x)}} + { frac {1} {W (y)}}) ) right) quad { text {for}} x, y> 0.}$

Střídání -Ln X v definici:

${ displaystyle { begin {aligned} W_ {0} left (- { frac { ln x} {x}} right) & = - ln x & { text {for}} 0 & e. end {zarovnaný}}}$

S Eulerovou iterovanou exponenciálností h(X):

${ displaystyle { begin {zarovnáno} h (x) & = e ^ {- W (- ln x)} & = { frac {W (- ln x)} {- ln x}} quad { text {pro}} x neq 1. end {zarovnáno}}}$

Speciální hodnoty

Pro nenulovou hodnotu algebraické číslo X, Ž(X) je transcendentní číslo. Opravdu, pokud Ž(X) je tedy nula X musí být také nula, a pokud Ž(X) je nenulová a algebraická, pak pomocí Lindemann – Weierstrassova věta, E^Ž(X) musí být transcendentální, z čehož vyplývá, že X = Ž(X)E^Ž(X) musí být také transcendentální.

Toto jsou speciální hodnoty hlavní větve:

${ displaystyle W left (- { frac { pi} {2}} right) = { frac {i pi} {2}}.}$

${ displaystyle W left (- { frac {1} {e}} right) = - 1.}$

${ displaystyle W left (- {{frac { ln a} {a}} right) = - ln a quad left ({ frac {1} {e}} leq a leq e že jo).}$

${ displaystyle W left (2 ln 2 right) = ln 2.}$

${ displaystyle W (0) = 0.}$

${ displaystyle W (1) = Omega = left ( int _ {- infty} ^ { infty} { frac {dt} { left (e ^ {t} -t right) ^ {2 } + pi ^ {2}}} vpravo) ^ {- 1} -1 přibližně 0,56714329 ldots}$ (dále jen Omega konstanta ).

${ displaystyle W (1) = e ^ {- W (1)} = ln vlevo ({ frac {1} {W (1)}} vpravo) = - ln W (1).}$

${ displaystyle W (e) = 1.}$

${ displaystyle W left (e ^ {1 + e} right) = e.}$

${ displaystyle W (-1) přibližně -0,31813 + 1,33723i.}$

Zastoupení

Hlavní větev Lambertovy funkce může být reprezentována správným integrálem, kvůli Poissonovi:^[11]

${ displaystyle - { frac { pi} {2}} W (-x) = int _ {0} ^ { pi} { frac { sin left ({ tfrac {3} {2} } t right) -xe ^ { cos t} sin left ({ tfrac {5} {2}} t- sin t right)} {1-2xe ^ { cos t} cos ( t- sin t) + x ^ {2} e ^ {2 cos t}}} sin left ({ tfrac {1} {2}} t right) , dt quad { text { for}} | x | <{ frac {1} {e}}.}$

V širší doméně −1/E ≤ X ≤ E, Mező najde podstatně jednodušší reprezentaci:^[12]

${ displaystyle W (x) = { frac {1} { pi}} operatorname {Re} int _ {0} ^ { pi} ln left ({ frac {e ^ {e ^ { it}} - xe ^ {- it}} {e ^ {e ^ {it}} - xe ^ {it}}} vpravo) , dt.}$

Následující pokračující zlomek zastoupení platí také pro hlavní větev:^[13]

${ displaystyle W (x) = { cfrac {x} {1 + { cfrac {x} {1 + { cfrac {x} {2 + { cfrac {5x} {3 + { cfrac {17x} {10 + { cfrac {133x} {17 + { cfrac {1927x} {190 + { cfrac {13582711x} {94423+ ddots}}}}}}}}}}}}}}}$

Také pokud |Ž(z)| < 1:^[14]

${ displaystyle W (x) = { cfrac {x} { exp { cfrac {x} { exp { cfrac {x} { ddots}}}}}}}$

Na druhé straně, pokud |Ž(z)| > e, pak

${ displaystyle W (x) = ln { cfrac {x} { ln { cfrac {x} { ln { cfrac {x} { ddots}}}}}}}$

Jiné vzorce

Určité integrály

Existuje několik užitečných definitivních integrálních vzorců zahrnujících hlavní větev Ž funkce, včetně následujících:

${ displaystyle { begin {aligned} & int _ {0} ^ { pi} W left (2 cot ^ {2} x right) sec ^ {2} x , dx = 4 { sqrt { pi}}. [5pt] & int _ {0} ^ { infty} { frac {W (x)} {x { sqrt {x}}}} , dx = 2 { sqrt {2 pi}}. [5pt] & int _ {0} ^ { infty} W left ({ frac {1} {x ^ {2}}} right) , dx = { sqrt {2 pi}}. end {zarovnáno}}}$

První identitu lze zjistit napsáním Gaussův integrál v polární souřadnice.

Druhou identitu lze odvodit provedením substituce u = Ž(X), což dává

${ displaystyle { begin {aligned} x & = ue ^ {u}, [5pt] { frac {dx} {du}} & = (u + 1) e ^ {u}. end {align} }}$

Tím pádem

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ { infty} { frac {W (x)} {x { sqrt {x}}}} , dx & = int _ {0} ^ { infty} { frac {u} {ue ^ {u} { sqrt {ue ^ {u}}}}} (u + 1) e ^ {u} , du [5pt] & = int _ {0} ^ { infty} { frac {u + 1} { sqrt {ue ^ {u}}}} du [5pt] & = int _ {0} ^ { infty} { frac {u + 1} { sqrt {u}}} { frac {1} { sqrt {e ^ {u}}}} du [5pt] & = int _ {0} ^ { infty} u ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- { frac {u} {2}}} du + int _ {0} ^ { infty} u ^ {- { tfrac { 1} {2}}} e ^ {- { frac {u} {2}}} du [5pt] & = 2 int _ {0} ^ { infty} (2 t) ^ { tfrac { 1} {2}} e ^ {- w} , dw + 2 int _ {0} ^ { infty} (2 t) ^ {- { tfrac {1} {2}}} e ^ {- w } , dw && quad (u = 2w) [5pt] & = 2 { sqrt {2}} int _ {0} ^ { infty} w ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- w} , dw + { sqrt {2}} int _ {0} ^ { infty} w ^ {- { tfrac {1} {2}}} e ^ {- w} , dw [5pt] & = 2 { sqrt {2}} cdot Gamma left ({ tfrac {3} {2}} right) + { sqrt {2}} cdot Gamma left ( { tfrac {1} {2}} right) [5pt] & = 2 { sqrt {2}} left ({ tfrac {1} {2}} { sqrt { pi}} right) + { sqrt {2}} left ({ sqrt { pi}} right) [5pt] & = 2 { sqrt {2 pi}}. end {aligned}}}$

Třetí identitu lze odvodit od druhé provedením substituce u = X⁻² a první lze také odvodit od třetího substitucí z = 1/√2 opálení X.

Až na z podél řezu větve (−∞, −1/E] (kde integrál nekonverguje), hlavní větev Lamberta Ž funkci lze vypočítat následujícím integrálem:^[15]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} W (z) & = { frac {z} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} { frac { vlevo (1- nu cot nu right) ^ {2} + nu ^ {2}} {z + nu csc nu e ^ {- nu cot nu}}} , d nu [5 bodů ] & = { frac {z} { pi}} int _ {0} ^ { pi} { frac { vlevo (1- nu cot nu right) ^ {2} + nu ^ {2}} {z + nu csc nu e ^ {- nu cot nu}}} , d nu, end {zarovnáno}}}$

kde dva integrální výrazy jsou ekvivalentní kvůli symetrii integrand.

Neomezené integrály

${ displaystyle { begin {aligned} & int { frac {W (x)} {x}} dx = { tfrac {1} {2}} { bigl (} 1 + W (x) { bigr)} ^ {2} + C. [5pt] & int W left (Ae ^ {Bx} right) dx = { frac {1} {2B}} { bigl (} 1 + W left (Ae ^ {Bx} right) { bigr)} ^ {2} + C. end {zarovnáno}}}$

Aplikace

Řešení rovnic

Lambert Ž Funkce se používá k řešení rovnic, ve kterých se neznámá veličina vyskytuje jak v základně, tak v exponentu, nebo uvnitř i vně logaritmu. Strategií je převést takovou rovnici do jedné z forem ze^z = w a poté vyřešit pro z. za použití Ž funkce.

Například rovnice

${ displaystyle 3 ^ {x} = 2x + 2}$

(kde X je neznámé reálné číslo) lze vyřešit přepsáním na

${ displaystyle { begin {aligned} & (x + 1) 3 ^ {- x} = { frac {1} {2}} Leftrightarrow & (- x-1) 3 ^ {- x-1} = - { frac {1} {6}} Leftrightarrow & ( ln 3) (- x-1) e ^ {( ln 3) (- x-1)} = - { frac { ln 3} {6}} end {zarovnáno}}}$

Tato poslední rovnice má požadovaný tvar a řešení pro reálné x jsou:

${ displaystyle ( ln 3) (- x-1) = W_ {0} left ({ frac {- ln 3} {6}} right) { textrm {or}} ( ln 3) (- x-1) = W _ {- 1} vlevo ({ frac {- ln 3} {6}} vpravo)}$

a tudíž:

${ displaystyle x = -1 - { frac {W_ {0} vlevo (- { frac { ln 3} {6}} vpravo)} { ln 3}} = - 0,79011 ... { textrm {or}} x = -1 - { frac {W _ {- 1} left (- { frac { ln 3} {6}} right)} { ln 3}} = 1,44456 ...}$

Obecně platí, že řešení

${ displaystyle x = a + b , e ^ {cx}}$

je:

${ displaystyle x = a - { frac {1} {c}} W (-bc , e ^ {ac})}$

kde A, b, a C jsou komplexní konstanty, s b a C nerovná se nule a Ž funkce je libovolného celočíselného řádu.

Viskózní toky

Čelní plochy a usazeniny granulovaného a trosek a čela viskózních tekutin při přírodních událostech a při laboratorních experimentech lze popsat pomocí funkce Lambert – Euler omega takto:

${ displaystyle H (x) = 1 + W left ((H (0) -1) e ^ {(H (0) -1) - { frac {x} {L}}} right),}$

kde H(X) je výška toku trosek, X je poloha kanálu po proudu, L je jednotný parametr modelu skládající se z několika fyzikálních a geometrických parametrů průtoku, výšky průtoku a gradientu hydraulického tlaku.

v průtok potrubí, funkce Lamberta W je součástí explicitní formulace Colebrookova rovnice pro nalezení Darcyho třecí faktor. Tento faktor se používá k určení poklesu tlaku přímým vedením potrubí, když je průtok turbulentní.^[16]

Neuroimaging

Lambert Ž Funkce byla použita v oblasti neuroimagingu pro propojení změn průtoku krve mozkem a změn spotřeby kyslíku v mozkovém voxelu s odpovídajícím signálem závislým na úrovni okysličení krve (BOLD).^[17]

Chemické inženýrství

Lambert Ž funkce byla použita v oblasti chemického inženýrství pro modelování tloušťky filmu porézní elektrody v a skelný uhlík na základě superkondenzátor pro elektrochemické skladování energie. Lambert Ž Ukázalo se, že tato funkce je přesným řešením procesu tepelné aktivace v plynné fázi, kdy růst uhlíkového filmu a spalování stejného filmu navzájem konkurují.^[18][19]

Věda o materiálech

Lambert Ž funkce byla zaměstnána v oblasti růst epitaxního filmu pro stanovení kritického dislokace počáteční tloušťka filmu. Toto je vypočítaná tloušťka epitaxního filmu, kde díky termodynamickým principům bude film vyvíjet krystalografické dislokace, aby se minimalizovala elastická energie uložená ve filmech. Před aplikací Lamberta Ž pro tento problém musela být kritická tloušťka stanovena řešením implicitní rovnice. Lambert Ž promění to v explicitní rovnici pro snadné analytické zpracování.^[20]

Porézní média

Lambert Ž funkce byla použita v oblasti proudění tekutin v porézních médiích k modelování náklonu rozhraní oddělujícího dvě gravitačně oddělené tekutiny v homogenním nakloněném porézním loži konstantního ponoru a tloušťky, kde těžší tekutina vstřikovaná na spodní konec vytlačuje zapalovač tekutina, která se vyrábí stejnou rychlostí z horního konce. Hlavní větev řešení odpovídá stabilním posunům, zatímco větev -1 platí, pokud je posun nestabilní a těžší tekutina běží pod lehčí tekutinou.^[21]

Bernoulliho čísla a rod Todd

Rovnice (spojená s generujícími funkcemi) Bernoulliho čísla a Rod Todd ):

${ displaystyle Y = { frac {X} {1-e ^ {X}}}}$

lze vyřešit pomocí dvou skutečných větví Ž₀ a Ž₋₁:

${ displaystyle X (Y) = { begin {cases} W _ {- 1} left (Ye ^ {Y} right) -W_ {0} left (Ye ^ {Y} right) = Y-W_ {0} left (Ye ^ {Y} right) & { text {for}} Y <-1, W_ {0} left (Ye ^ {Y} right) -W _ {- 1} left (Ye ^ {Y} right) = Y-W _ {- 1} left (Ye ^ {Y} right) & { text {for}} - 1$

Tato aplikace ukazuje, že větvový rozdíl Ž lze použít k řešení dalších transcendentálních rovnic.^[22]

Statistika

Těžiště souboru histogramů definovaných s ohledem na symetrizovanou Kullback – Leiblerovu divergenci (nazývanou také Jeffreysova divergence ^[23]) má uzavřený tvar pomocí Lamberta Ž funkce.^[24]

Přesná řešení Schrödingerovy rovnice

Lambert Ž funkce se objevuje v kvantově-mechanickém potenciálu, který poskytuje pátý - vedle harmonického oscilátoru plus odstředivého, Coulombova plus inverzního čtverce, Morseovy a potenciál inverzní odmocniny - přesné řešení stacionární jednorozměrné Schrödingerovy rovnice z hlediska splývajících hypergeometrických funkcí. Potenciál je uveden jako

${ displaystyle V = { frac {V_ {0}} {1 + W vlevo (e ^ {- { frac {x} { sigma}}} vpravo)}}}$

Zvláštností řešení je, že každé ze dvou základních řešení, která tvoří obecné řešení Schrödingerovy rovnice, je dáno kombinací dvou splývajících hypergeometrických funkcí argumentu úměrného^[25]

${ displaystyle z = W left (e ^ {- { frac {x} { sigma}}} right).}$

Lambert Ž Funkce se také objeví v přesném řešení energie vázaného stavu jednorozměrné Schrödingerovy rovnice s a Dvojitý potenciál Delta.

Přesné řešení Einsteinových vakuových rovnic

V Schwarzschildova metrika řešení Einsteinových vakuových rovnic, Ž funkce je nutná k přechodu z Souřadnice Eddington – Finkelstein na Schwarzschildovy souřadnice. Z tohoto důvodu se také objevuje při konstrukci Kruskal – Szekeres souřadnice.

Rezonance potenciálu delta-shell

S-vlnové rezonance potenciálu delta-shellu lze psát přesně z hlediska Lamberta Ž funkce.^[26]

Termodynamická rovnováha

Pokud reakce zahrnuje reaktanty a produkty, které mají tepelné kapacity které jsou konstantní s teplotou, pak rovnovážná konstanta K. poslouchá

${ displaystyle ln K = { frac {a} {T}} + b + c ln T}$

pro některé konstanty A, b, a C. Když C (rovná ΔC_str/R) není nula, můžeme najít hodnotu nebo hodnoty T kde K. se rovná dané hodnotě následovně, kde použijeme L pro ln T.

${ displaystyle { begin {seřazeno} -a & = (b- ln K) T + cT ln T & = (b- ln K) e ^ {L} + cLe ^ {L} [ 5pt] - { frac {a} {c}} & = left ({ frac {b- ln K} {c}} + L right) e ^ {L} [5pt] - { frac {a} {c}} e ^ { frac {b- ln K} {c}} & = left (L + { frac {b- ln K} {c}} right) e ^ { L + { frac {b- ln K} {c}}} [5 bodů] L & = W vlevo (- { frac {a} {c}} e ^ { frac {b- ln K} {c}} right) + { frac { ln Kb} {c}} [5pt] T & = exp left (W left (- { frac {a} {c}} e ^ { frac {b- ln K} {c}} right) + { frac { ln Kb} {c}} right). end {zarovnáno}}}$

Li A a C mít stejné znaménko budou buď dvě řešení, nebo žádné (nebo jedno, pokud argument argumentu Ž je přesně −1/E). (Horní řešení nemusí být relevantní.) Pokud mají opačné znaky, bude jedno řešení.

Korespondence AdS / CFT

Klasické korekce konečné velikosti na disperzní vztahy obří magnoni, jednotlivé hroty a Řetězce GKP lze vyjádřit jako Lambert Ž funkce.^[27][28]

Epidemiologie

V t → ∞ limit Model SIR, podíl vnímavých a uzdravených jedinců má řešení, pokud jde o Lamberta Ž funkce.^[29]

Stanovení doby letu střely

Celková doba cesty střely, která zažívá odpor vzduchu úměrný jeho rychlosti lze určit v přesné formě pomocí Lamberta Ž funkce.

Zobecnění

Standardní Lambert Ž funkce vyjadřuje přesná řešení transcendentální algebraické rovnice (v X) formuláře:

${ displaystyle e ^ {- cx} = a_ {0} (x-r)}$

(1)

kde A₀, C a r jsou skutečné konstanty. Řešení je

${ displaystyle x = r + { frac {1} {c}} W vlevo ({ frac {c , e ^ {- cr}} {a_ {0}}} vpravo).}$

Zobecnění Lamberta Ž funkce^[30][31][32] zahrnout:

• Žádost do obecná relativita a kvantová mechanika (kvantová gravitace ) v nižších dimenzích, ve skutečnosti odkaz (neznámý před rokem 2007^[33]) mezi těmito dvěma oblastmi, kde je pravá strana (1) je nahrazen kvadratickým polynomem v X:

${ displaystyle e ^ {- cx} = a_ {0} left (x-r_ {1} right) left (x-r_ {2} right),}$

(2)

kde r₁ a r₂ jsou skutečné odlišné konstanty, kořeny kvadratického polynomu. Zde je řešením funkce, která má jediný argument X ale pojmy jako r_i a A₀ jsou parametry této funkce. V tomto ohledu se zobecnění podobá hypergeometrický funkce a Meijer G funkce ale patří to jinému třída funkcí. Když r₁ = r₂, obě strany (2) lze započítat a snížit na (1) a tím se řešení redukuje na řešení standardu Ž funkce. Rovnice (2) vyjadřuje rovnici řídící dilaton pole, od kterého je odvozena metrika R = T nebo přímý problém gravitace dvou těles v rozměrech 1 + 1 (jedna prostorová a jedna časová dimenze) pro případ nerovné klidové hmoty, stejně jako vlastní energie kvantově mechanické model s dvojitou studnou Dirac delta pro nerovné poplatky v jedné dimenzi.

• Analytická řešení vlastních energií zvláštního případu kvantové mechaniky problém se třemi těly, jmenovitě (trojrozměrný) iont molekuly vodíku.^[34] Zde je pravá strana (1) je nahrazen poměrem polynomů nekonečného řádu v X:

${ displaystyle e ^ {- cx} = a_ {0} { frac { displaystyle prod _ {i = 1} ^ { infty} (x-r_ {i})} { displaystyle prod _ {i = 1} ^ { infty} (x-s_ {i})}}}$

(3)

kde r_i a s_i jsou odlišné reálné konstanty a X je funkcí vlastní energie a mezijaderné vzdálenosti R. Rovnice (3) se svými specializovanými případy vyjádřenými v (1) a (2) souvisí s velkou třídou zpožďovací diferenciální rovnice. G. H. Hardy Pojem „falešný derivát“ poskytuje přesné více kořenů zvláštním případům (3).^[35]

Aplikace Lamberta Ž funkce v základních fyzikálních problémech nejsou vyčerpány ani pro standardní případ vyjádřený v (1), jak je nedávno vidět v oblasti atomová, molekulární a optická fyzika.^[36]

Pozemky

• Pozemky Lamberta Ž funkce na komplexní rovině
• 

  z = Re (Ž₀(X + iy))

• 

  z = Im (Ž₀(X + iy))

• 

  z = |Ž₀(X + iy)|

• 

  Překrývání předchozích tří grafů

Numerické hodnocení

The Ž funkce lze aproximovat pomocí Newtonova metoda, s postupnými aproximacemi na w = Ž(z) (tak z = my^w) bytost

${ displaystyle w_ {j + 1} = w_ {j} - { frac {w_ {j} e ^ {w_ {j}} - z} {e ^ {w_ {j}} + w_ {j} e ^ {w_ {j}}}}.}$

The Ž funkce lze také aproximovat pomocí Halleyova metoda,

${ displaystyle w_ {j + 1} = w_ {j} - { frac {w_ {j} e ^ {w_ {j}} - z} {e ^ {w_ {j}} vlevo (w_ {j} +1 right) - { dfrac { left (w_ {j} +2 right) left (w_ {j} e ^ {w_ {j}} - z right)} {2w_ {j} +2 }}}}}$

uvedené v Corless et al.^[2] počítat Ž.

Software

Lambert Ž funkce je implementována jakoLambertW v Maple, lambertw v GP (a glambertW v PARI ), lambertw v Matlab,^[37] taky lambertw v Oktáva s specfun balíček, as lambert_w v Maximě,^[38] tak jako ProductLog (s tichým aliasem Lambert W.) v Mathematica,^[39] tak jako lambertw v Pythonu scipy speciální balíček funkcí,^[40] tak jako Lambert W. v Perlu Teorie modul,^[41] a jako gsl_sf_lambert_W0, gsl_sf_lambert_Wm1 funkce v speciální funkce část Vědecká knihovna GNU (GSL). V Zvyšte knihovny C ++, hovory jsou lambert_w0, lambert_wm1, lambert_w0_prime, a lambert_wm1_prime. v R Lambert Ž funkce je implementována jako lambertW0 a lambertWm1 funkce v lamW balík.^[42]

C ++ kód pro všechny větve komplexu Lambert Ž funkce je k dispozici na domovské stránce Istvána Mező.^[43]

Viz také

• Funkce Wright Omega
• Lambertova trinomiální rovnice
• Lagrangeova věta o inverzi
• Experimentální matematika
• Holstein – sleďová metoda
• R = T Modelka
• Rossova π lemma

Poznámky

Reference

• Corless, R .; Gonnet, G .; Hare, D .; Jeffrey, D .; Knuth, Donald (1996). „Na Lambertovi Ž funkce" (PDF). Pokroky ve výpočetní matematice. 5: 329–359. doi:10.1007 / BF02124750. ISSN  1019-7168. S2CID  29028411. Archivovány od originál (PDF) dne 14.12.2010. Citováno 2007-03-10.
• Chapeau-Blondeau, F .; Monir, A. (2002). „Hodnocení Lamberta Ž Funkce a aplikace na generování generalizovaného Gaussova šumu s Exponent 1/2 " (PDF). IEEE Trans. Proces signálu. 50 (9). doi:10.1109 / TSP.2002.801912. Archivovány od originál (PDF) dne 2012-03-28. Citováno 2004-03-10.
• Francis; et al. (2000). "Kvantitativní obecná teorie pro periodické dýchání". Oběh. 102 (18): 2214–21. CiteSeerX  10.1.1.505.7194. doi:10.1161 / 01.cir.102.18.2214. PMID  11056095. S2CID  14410926. (Lambertova funkce se používá k řešení diferenciální dynamiky zpoždění u lidských onemocnění.)
• Hayes, B. (2005). "Proč Ž?" (PDF). Americký vědec. 93 (2): 104–108. doi:10.1511/2005.2.104.
• Roy, R .; Olver, F. W. J. (2010), „Lambert Ž funkce", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Stewart, Seán M. (2005). „Nová základní funkce pro naše osnovy?“ (PDF). Australský seniorský matematický deník. 19 (2): 8–26. ISSN  0819-4564. ERIC EJ720055. Shrnutí ležel.
• Veberic, D., „Bavíte se s Lambertem Ž(X) Funkce "arXiv: 1003.1628 (2010); Veberic, D. (2012). „Lambert Ž funkce pro aplikace ve fyzice ". Komunikace počítačové fyziky. 183 (12): 2622–2628. arXiv:1209.0735. Bibcode:2012CoPhC.183.2622V. doi:10.1016 / j.cpc.2012.07.008. S2CID  315088.
• Chatzigeorgiou, I. (2013). "Hranice funkce Lambert a jejich aplikace na analýzu výpadků spolupráce uživatelů". Komunikační dopisy IEEE. 17 (8): 1505–1508. arXiv:1601.04895. doi:10.1109 / LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.

externí odkazy

• Digitální institut Národního ústavu pro vědu a techniku ​​- Lambert Ž
• MathWorld - Lambert Ž-Funkce
• Výpočet Lambert Ž funkce
• Corless a kol. Poznámky o Lambertovi Ž výzkum
• GPL C ++ implementace s Halleyovou a Fritschovou iterací.
• Speciální funkce z Vědecká knihovna GNU - GSL