Basilejský problém - Basel problem - Wikipedia

The Basilejský problém je problém v matematická analýza s významem pro teorie čísel, nejprve představoval Pietro Mengoli v roce 1650 a vyřešen Leonhard Euler v roce 1734,^[1] a četl dne 5. prosince 1735 v Petrohradská akademie věd.^[2] Vzhledem k tomu, že problém odolal útokům vůdců matematici dne mu Eulerovo řešení přineslo okamžitou slávu, když mu bylo dvacet osm. Euler problém značně zobecnil a jeho myšlenky převzal po letech Bernhard Riemann ve své klíčové práci z roku 1859 “O počtu prvočísel menších než daná velikost ", ve kterém definoval své funkce zeta a prokázal své základní vlastnosti. Problém je pojmenován po Basilej, rodné město Euler i Bernoulliho rodina který neúspěšně zaútočil na problém.

Basilejský problém požaduje přesnost součet z reciproční z čtverce z přirozená čísla, tj. přesný součet nekonečná řada:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac { 1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + cdots.}$

Součet řady se přibližně rovná 1,644934.^[3] Basilejský problém žádá o přesný součet této řady (v uzavřená forma ), stejně jako a důkaz že tato částka je správná. Euler zjistil přesnou částku π²/6 a oznámil tento objev v roce 1735. Jeho argumenty byly založeny na manipulacích, které nebyly v té době oprávněné, i když se později ukázalo, že jsou správné, a až v roce 1741 byl schopen předložit skutečně přísný důkaz.

Eulerův přístup

Eulerovo původní odvození hodnoty π²/6 v podstatě rozšířená pozorování o konečném polynomy a předpokládal, že tyto stejné vlastnosti platí pro nekonečné řady.

Eulerovo původní uvažování samozřejmě vyžaduje ospravedlnění (o 100 let později, Karl Weierstrass prokázal, že Eulerovo vyjádření sinusové funkce jako nekonečného produktu je platné Weierstrassova faktorizační věta ), ale i bez ospravedlnění, jednoduchým získáním správné hodnoty, byl schopen ji numericky ověřit proti dílčím součtům řady. Dohoda, kterou pozoroval, mu poskytla dostatečnou důvěru, aby oznámil svůj výsledek matematické komunitě.

Chcete-li sledovat Eulerovu argumentaci, připomeňte si Taylor série rozšíření sinusová funkce

${ displaystyle sin x = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + Cdots}$

Dělení na X, my máme

${ displaystyle { frac { sin x} {x}} = 1 - { frac {x ^ {2}} {3!}} + { frac {x ^ {4}} {5!}} - { frac {x ^ {6}} {7!}} + cdots}$

Za použití Weierstrassova faktorizační věta, lze také ukázat, že levá strana je součinem lineárních faktorů daných jejími kořeny, stejně jako u konečných polynomů (které Euler předpokládal jako heuristický pro rozšíření nekonečného stupně polynomiální pokud jde o jeho kořeny, ale ve skutečnosti to vždy neplatí obecně ${ displaystyle P (x)}$):^[4]

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { sin x} {x}} & = left (1 - { frac {x} { pi}} right) left (1 + { frac {x} { pi}} vpravo) vlevo (1 - { frac {x} {2 pi}} vpravo) vlevo (1 + { frac {x} {2 pi}} vpravo ) left (1 - { frac {x} {3 pi}} right) left (1 + { frac {x} {3 pi}} right) cdots & = left ( 1 - { frac {x ^ {2}} { pi ^ {2}}} vpravo) vlevo (1 - { frac {x ^ {2}} {4 pi ^ {2}}} vpravo) vlevo (1 - { frac {x ^ {2}} {9 pi ^ {2}}} vpravo) cdots end {zarovnáno}}}$

Pokud tento produkt formálně vynásobíme a shromáždíme všechny X² podmínky (je nám to dovoleno z důvodu Newtonovy identity ), indukcí vidíme, že X² koeficient hřích X/X je ^[5]

${ displaystyle - left ({ frac {1} { pi ^ {2}}} + { frac {1} {4 pi ^ {2}}} + { frac {1} {9 pi ^ {2}}} + cdots right) = - { frac {1} { pi ^ {2}}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}}.}$

Ale z původního nekonečného rozšiřování série o hřích X/Xkoeficient, X² je −1/3! = −1/6. Tyto dva koeficienty musí být stejné; tím pádem,

${ displaystyle - { frac {1} {6}} = - { frac {1} { pi ^ {2}}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}}.}$

Vynásobení obou stran této rovnice -π² udává součet převrácených čísel celých kladných čtverců.

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac { pi ^ {2}} {6}}.}$

Tato metoda výpočtu ${ displaystyle zeta (2)}$ je podrobně vysvětlen výkladem, zejména v Havilově Gama kniha, která podrobně popisuje mnoho funkce zeta a logaritmus související řady a integrály, stejně jako historická perspektiva, související s Eulerova gama konstanta.^[6]

Zevšeobecnění Eulerovy metody pomocí elementárních symetrických polynomů

Pomocí vzorců získaných z elementární symetrické polynomy,^[7] tento stejný přístup lze použít k výčtu vzorců pro sudý index dokonce i zeta konstanty které mají následující známý vzorec rozšířený o Bernoulliho čísla:

${ displaystyle zeta (2n) = { frac {(-1) ^ {n-1} (2 pi) ^ {2n}} {2 cdot (2n)!}} B_ {2n}.}$

Například nechte dílčí produkt pro ${ displaystyle sin (x)}$ rozšířeno, jak je uvedeno výše, bude definováno ${ displaystyle { frac {S_ {n} (x)} {x}}: = prod limity _ {k = 1} ^ {n} vlevo (1 - { frac {x ^ {2}} {k ^ {2} cdot pi ^ {2}}} vpravo)}$. Pak pomocí známých vzorce pro elementární symetrické polynomy (a.k.a., Newtonovy vzorce se rozšířily, pokud jde o součet výkonu identity), můžeme vidět (například), že

${ displaystyle { begin {aligned} left [x ^ {4} right] { frac {S_ {n} (x)} {x}} & = { frac {1} {2 pi ^ { 4}}} left ( left (H_ {n} ^ {(2)} right) ^ {2} -H_ {n} ^ {(4)} right) qquad { xrightarrow {n rightarrow infty}} qquad { frac {1} {2}} left ( zeta (2) ^ {2} - zeta (4) right) & qquad implicitně zeta (4) = { frac { pi ^ {4}} {90}} = - 2 pi ^ {2} cdot [x ^ {4}] { frac { sin (x)} {x}} + { frac { pi ^ {4}} {36}} vlevo [x ^ {6} vpravo] { frac {S_ {n} (x)} {x}} & = - { frac {1 } {6 pi ^ {6}}} left ( left (H_ {n} ^ {(2)} right) ^ {3} -2H_ {n} ^ {(2)} H_ {n} ^ {(4)} + 2H_ {n} ^ {(6)} vpravo) qquad { xrightarrow {n rightarrow infty}} qquad { frac {1} {6}} vlevo ( zeta ( 2) ^ {3} -3 zeta (2) zeta (4) +2 zeta (6) doprava) & qquad implikuje zeta (6) = { frac { pi ^ {6 }} {945}} = - 3 cdot pi ^ {6} [x ^ {6}] { frac { sin (x)} {x}} - { frac {2} {3}} { frac { pi ^ {2}} {6}} { frac { pi ^ {4}} {90}} + { frac { pi ^ {6}} {216}}, end {zarovnáno }}}$

a tak dále pro následující koeficienty ${ displaystyle [x ^ {2k}] { frac {S_ {n} (x)} {x}}}$. Existují jiné formy Newtonových identit vyjádření (konečných) výkonových součtů ${ displaystyle H_ {n} ^ {(2k)}}$ z hlediska elementární symetrické polynomy, ${ displaystyle e_ {i} equiv e_ {i} left (- { frac { pi ^ {2}} {1 ^ {2}}}, - { frac { pi ^ {2}} { 2 ^ {2}}}, - { frac { pi ^ {2}} {3 ^ {2}}}, - { frac { pi ^ {2}} {4 ^ {2}}}, cdots right),}$ ale můžeme jít přímější cestou k vyjádření nerekurzivních vzorců pro ${ displaystyle zeta (2k)}$ pomocí metody elementární symetrické polynomy. Konkrétně máme relaci opakování mezi elementární symetrické polynomy a polynomy součtového výkonu uveden jako na tato stránka podle

${ displaystyle (-1) ^ {k} ke_ {k} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = součet _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {kj- 1} p_ {j} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) e_ {kj} (x_ {1}, ldots, x_ {n}),}$

což se v naší situaci rovná limitní relaci opakování (nebo generující funkce konvoluce, nebo produkt ) rozšířen jako

${ displaystyle { frac { pi ^ {2k}} {2}} cdot { frac {(2k) cdot (-1) ^ {k}} {(2k + 1)!}} = - [ x ^ {2k}] { frac { sin ( pi x)} { pi x}} times sum _ {i geq 1} zeta (2i) x ^ {i}.}$

Pak to získáme diferenciací a přeskupením termínů v předchozí rovnici

${ displaystyle zeta (2k) = [x ^ {2k}] { frac {1} {2}} vlevo (1- pi x cot ( pi x) vpravo).}$

Důsledky Eulerova důkazu

Eulerovým důkazem pro ${ displaystyle zeta (2)}$ vysvětleno výše a rozšíření jeho metody o elementární symetrické polynomy v předchozí podkapitole, můžeme to uzavřít ${ displaystyle zeta (2k)}$ je vždy A Racionální násobek ${ displaystyle pi ^ {2k}}$. Ve srovnání s relativně neznámými, nebo alespoň dosud neprozkoumanými, vlastnostmi lichého indexu konstanty zeta, počítaje v to Apéryho konstanta ${ displaystyle zeta (3)}$, můžeme uzavřít mnohem více o této třídě konstanty zeta. Zejména proto, že ${ displaystyle pi}$ a celočíselné síly jsou transcendentální, můžeme v tomto bodě dojít k závěru, že ${ displaystyle zeta (2k)}$ je iracionální a přesněji transcendentální pro všechny ${ displaystyle k geq 1}$.

Funkce Riemann zeta

The Funkce Riemann zeta ζ(s) je jednou z nejvýznamnějších funkcí v matematice kvůli jejímu vztahu k distribuci prvočísla. Funkce zeta je definována pro všechny komplexní číslo s se skutečnou částí větší než 1 podle následujícího vzorce:

${ displaystyle zeta (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}}.}$

Brát s = 2, vidíme to ζ(2) se rovná součtu převrácených čísel druhých mocnin všech kladných celých čísel:

${ displaystyle zeta (2) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac {1} {1 ^ {2}} } + { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + { frac {1} {4 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {6}} přibližně 1,644934.}$

Konvergenci lze prokázat integrální test, nebo následující nerovností:

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {1} {n ^ {2}}} & <1+ sum _ {n = 2} ^ {N } { frac {1} {n (n-1)}} & = 1+ sum _ {n = 2} ^ {N} left ({ frac {1} {n-1}} - { frac {1} {n}} right) & = 1 + 1 - { frac {1} {N}} ; { stackrel {N to infty} { longrightarrow}} ; 2. end {zarovnáno}}}$

To nám dává horní hranice 2, a protože nekonečný součet neobsahuje žádné záporné členy, musí konvergovat na hodnotu striktně mezi 0 a 2. Lze ukázat, že ζ(s) má jednoduchý výraz ve smyslu Bernoulliho čísla kdykoli s je kladné sudé celé číslo. S s = 2n:^[8]

${ displaystyle zeta (2n) = { frac {(2 pi) ^ {2n} (- 1) ^ {n + 1} B_ {2n}} {2 cdot (2n)!}}.}$

Důsledný důkaz využívající Eulerův vzorec a pravidlo L'Hôpital

The Funkce Sinc ${ displaystyle { text {sinc}} (x) = { frac { sin ( pi x)} { pi x}}}$ má Weierstrassova faktorizace reprezentace jako nekonečný produkt:

${ displaystyle { frac { sin ( pi x)} { pi x}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {x ^ {2}} {n ^ {2}}} vpravo).}$

Nekonečný produkt je analytický, takže při přirozený logaritmus obou stran a diferenciace výnosů

${ displaystyle { frac { pi cos ( pi x)} { sin ( pi x)}} - { frac {1} {x}} = - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2x} {n ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

Po dělení rovnice ${ displaystyle 2x}$ a přeskupení se dostane

${ displaystyle { frac {1} {2x ^ {2}}} - { frac { pi cot ( pi x)} {2x}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

Provádíme změnu proměnných (${ displaystyle x = -it}$):

${ displaystyle - { frac {1} {2t ^ {2}}} + { frac { pi cot (- pi it)} {2it}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2} + t ^ {2}}}.}$

Eulerův vzorec lze z toho odvodit

${ displaystyle { frac { pi cot (- pi it)} {2it}} = { frac { pi} {2it}} { frac {i left (e ^ {2 pi t} +1 right)} {e ^ {2 pi t} -1}} = { frac { pi} {2t}} + { frac { pi} {t left (e ^ {2 pi t} -1 vpravo)}}.}$

nebo pomocí hyperbolická funkce:

${ displaystyle { frac { pi cot (- pi it)} {2it}} = { frac { pi} {2t}} {i cot ( pi it)} = { frac { pi} {2t}} coth ( pi t).}$

Pak

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2} + t ^ {2}}} = { frac { pi left (te ^ {2 pi t} + t right) -e ^ {2 pi t} +1} {2 left (t ^ {2} e ^ {2 pi t} -t ^ {2} right)}} = - { frac {1} {2t ^ {2}}} + { frac { pi} {2t}} coth ( pi t).}$

Nyní vezmeme omezit tak jako ${ displaystyle t}$ se blíží nule a použití Pravidlo L'Hôpital třikrát:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = lim _ {t až 0} { frac { pi} {4} } { frac {2 pi te ^ {2 pi t} -e ^ {2 pi t} +1} { pi t ^ {2} e ^ {2 pi t} + te ^ {2 pi t} -t}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = lim _ {t až 0} { frac { pi ^ {3} te ^ {2 pi t}} {2 pi left ( pi t ^ {2} e ^ {2 pi t} + 2te ^ {2 pi t} right) + e ^ {2 pi t} -1}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = lim _ {t až 0} { frac { pi ^ {2} (2 pi t + 1)} {4 pi ^ {2} t ^ {2} +12 pi t + 6}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac { pi ^ {2}} {6}}.}$

Důsledný důkaz pomocí Fourierovy řady

Použití Parsevalova identita (aplikováno na funkci F(X) = X) získat

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {2} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} x ^ {2} , dx,}$

kde

${ displaystyle { begin {align}} c_ {n} & = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} xe ^ {- inx} , dx [4pt] & = { frac {n pi cos (n pi) - sin (n pi)} { pi n ^ {2}}} i [4pt] & = { frac { cos (n pi)} {n}} i [4pt] & = { frac {(-1) ^ {n}} {n}} i end {zarovnáno}}}$

pro n ≠ 0, a C₀ = 0. Tím pádem,

${ displaystyle | c_ {n} | ^ {2} = { begin {cases} { dfrac {1} {n ^ {2}}}, & { text {for}} n neq 0, 0, & { text {for}} n = 0, end {cases}}}$

a

${ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {2} = 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} { n ^ {2}}} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} x ^ {2} , dx.}$

Proto,

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} = { frac {1} {4 pi}} int _ {- pi } ^ { pi} x ^ {2} , dx = { frac { pi ^ {2}} {6}}}$

podle potřeby.

Další přísný důkaz využívající Parsevalovu identitu

Vzhledem k tomu, kompletní ortonormální základ v prostoru ${ displaystyle L _ { operatorname {per}} ^ {2} (0,1)}$ z L2 periodické funkce přes ${ displaystyle (0,1)}$ (tj. podprostor čtvercově integrovatelné funkce které jsou také periodicky ), označeno ${ displaystyle {e_ {i} } _ {i = - infty} ^ { infty}}$, Parsevalova identita říká nám to

${ displaystyle | x | ^ {2} = součet _ {i = - infty} ^ { infty} | langle e_ {i}, x rangle | ^ {2},}$

kde ${ displaystyle | x |: = { sqrt { langle x, x rangle}}}$ je definována z hlediska vnitřní produkt Na toto Hilbertův prostor dána

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {0} ^ {1} f (x) { overline {g (x)}} , dx, f, g v L _ { operatorname { za}} ^ {2} (0,1).}$

Můžeme zvážit ortonormální základ v tomto prostoru definovaném ${ displaystyle e_ {k} equiv e_ {k} ( vartheta): = exp (2 pi imath k vartheta)}$ takhle ${ displaystyle langle e_ {k}, e_ {j} rangle = int _ {0} ^ {1} e ^ {2 pi imath (kj) vartheta} , d vartheta = delta _ {k, j}}$. Pak pokud vezmeme ${ displaystyle f ( vartheta): = vartheta}$, můžeme to spočítat

${ displaystyle { begin {zarovnáno} | f | ^ {2} & = int _ {0} ^ {1} vartheta ^ {2} , d vartheta = { frac {1} {3 }} langle f, e_ {k} rangle & = int _ {0} ^ {1} vartheta e ^ {- 2 pi imath k vartheta} , d vartheta = { Biggl {} { begin {array} {ll} { frac {1} {2}}, & k = 0 - { frac {1} {2 pi imath k}} & k neq 0, konec {pole}} konec {zarovnáno}}}$

podle elementární počet a integrace po částech, resp. Nakonec tím Parsevalova identita uvedené ve výše uvedené formě, získáme to

${ displaystyle { begin {zarovnáno} | f | ^ {2} = { frac {1} {3}} & = sum _ { stackrel {k = - infty} {k neq 0} } ^ { infty} { frac {1} {(2 pi k) ^ {2}}} + { frac {1} {4}} = 2 součet _ {k = 1} ^ { infty } { frac {1} {(2 pi k) ^ {2}}} + { frac {1} {4}} & implikuje { frac { pi ^ {2}} {6} } = { frac {2 pi ^ {2}} {3}} - { frac { pi ^ {2}} {2}} = zeta (2). end {zarovnáno}}}$

Zobecnění a opakovací vztahy

Všimněte si, že zvážením sil vyššího řádu ${ displaystyle f_ {j} ( vartheta): = vartheta ^ {j} v L _ { operatorname {per}} ^ {2} (0,1)}$ můžeme použít integrace po částech rozšířit tuto metodu na výčet vzorců pro ${ displaystyle zeta (2j)}$ když ${ displaystyle j> 1}$. Především předpokládejme, že to necháme

${ displaystyle I_ {j, k}: = int _ {0} ^ {1} vartheta ^ {j} e ^ {- 2 pi imath k vartheta} , d vartheta,}$

aby integrace po částech výnosy relace opakování že

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {j, k} & = { Biggl {} { begin {pole} {ll} { frac {1} {j + 1}}, & k = 0; - { frac {1} {2 pi imath cdot k}} + { frac {j} {2 pi imath cdot k}} I_ {j-1, k}, k neq 0 end {array}} & = { Biggl {} { begin {pole} {ll} { frac {1} {j + 1}}, & k = 0; - sum limity _ {m = 1} ^ {j} { frac {j!} {(j + 1-m)!}} cdot { frac {1} {(2 pi imath cdot k) ^ {m} }}, & k neq 0 end {pole}}. end {zarovnáno}}}$

Poté přihlášením Parsevalova identita jak jsme to udělali pro první případ výše spolu s linearitou vnitřní produkt přináší to

${ displaystyle { begin {seřazeno} | f_ {j} | ^ {2} = { frac {1} {2j + 1}} & = 2 sum _ {k geq 1} I_ {j, k} { bar {I}} _ {j, k} + { frac {1} {(j + 1) ^ {2}}} & = 2 sum _ {m = 1} ^ {j } sum _ {r = 1} ^ {j} { frac {j! ^ {2}} {(j + 1-m)! (j + 1-r)!}} { frac {(-1 ) ^ {r}} { imath ^ {m + r}}} { frac { zeta (m + r)} {(2 pi) ^ {m + r}}} + { frac {1} {(j + 1) ^ {2}}}. end {zarovnáno}}}$

Cauchyho důkaz

Zatímco většina důkazů používá výsledky od pokročilých matematika, jako Fourierova analýza, komplexní analýza, a počet proměnných, následující ani nevyžaduje jednu proměnnou počet (do jednoho omezit je přijato na konci).

Pro důkaz pomocí věta o zbytku, viz propojený článek.

Historie tohoto důkazu

Důkazy sahají do Augustin Louis Cauchy (Cours d'Analyse, 1821, poznámka VIII). V roce 1954 se tento důkaz objevil v knize Akiva a Isaak Yaglom Msgstr "Neelementární problémy v základní expozici". Později, v roce 1982, se objevil v časopise Heuréka, přičítán Johnovi Scholesovi, ale Scholes tvrdí, že se důkaz naučil Peter Swinnerton-Dyer, a v každém případě tvrdí, že důkazem bylo „všeobecně známo v Cambridge na konci 60. let “.

Důkaz

Nerovnost
${ displaystyle { tfrac {1} {2}} r ^ {2} tan theta> { tfrac {1} {2}} r ^ {2} theta> { tfrac {1} {2} } r ^ {2} sin theta}$
je ukázáno. Brát reciproční a kvadratura dává
${ displaystyle cot ^ {2} theta <{ tfrac {1} { theta ^ {2}}} < csc ^ {2} theta}$.

Hlavní myšlenkou důkazu je svázat dílčí (konečné) součty

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {1} {k ^ {2}}} = { frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac {1 } {2 ^ {2}}} + cdots + { frac {1} {m ^ {2}}}}$

mezi dvěma výrazy, z nichž každý bude mít tendenci π²/6 tak jako m blíží se nekonečnu. Tyto dva výrazy jsou odvozeny z identit zahrnujících kotangens a kosekans funkce. Tyto identity jsou zase odvozeny od de Moivreův vzorec a nyní se obracíme ke stanovení těchto identit.

Nechat X být skutečné číslo s 0 < X < π/2a nechte n být kladné liché celé číslo. Pak z de Moivreova vzorce a definice kotangensové funkce máme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { cos (nx) + i sin (nx)} { sin ^ {n} x}} & = { frac {( cos x + i sin x) ^ {n}} { sin ^ {n} x}} [4pt] & = left ({ frac { cos x + i sin x} { sin x}} right) ^ {n} [4pt] & = ( cot x + i) ^ {n}. end {zarovnáno}}}$

Z binomická věta, my máme

${ displaystyle { begin {aligned} ( cot x + i) ^ {n} = & {n zvolit 0} cot ^ {n} x + {n vybrat 1} ( cot ^ {n-1} x) i + cdots + {n select {n-1}} ( cot x) i ^ {n-1} + {n choose n} i ^ {n} [6pt] = & { Bigg (} {n vyberte 0} cot ^ {n} x- {n vyberte 2} cot ^ {n-2} x pm cdots { Bigg)} ; + ; i { Bigg ( } {n vyberte 1} cot ^ {n-1} x- {n vyberte 3} cot ^ {n-3} x pm cdots { Bigg)}. end {zarovnáno}}}$

Kombinace dvou rovnic a rovnání imaginárních částí dává identitu

${ displaystyle { frac { sin (nx)} { sin ^ {n} x}} = { Bigg (} {n vybrat 1} cot ^ {n-1} x- {n zvolit 3 } cot ^ {n-3} x pm cdots { Bigg)}.}$

Vezmeme tuto identitu, opravíme kladné celé číslo m, nastavit n = 2m + 1a zvažte X_r = rπ/2m + 1 pro r = 1, 2, ..., m. Pak nx_r je násobkem π a proto hřích(nx_r) = 0. Tak,

${ displaystyle 0 = {{2m + 1} vybrat 1} postýlka ^ {2m} x_ {r} - {{2m + 1} vybrat 3} postýlka ^ {2m-2} x_ {r} pm cdots + (- 1) ^ {m} {{2m + 1} vyberte {2m + 1}}}$

pro každého r = 1, 2, ..., m. Hodnoty X_r = X₁, X₂, ..., X_m jsou různá čísla v intervalu 0 < X_r < π/2. Protože funkce dětská postýlka² X je jedna ku jedné v tomto intervalu čísla t_r = dětská postýlka² X_r jsou odlišné pro r = 1, 2, ..., m. Podle výše uvedené rovnice m čísla jsou kořeny mpolynom 5. stupně

${ displaystyle p (t) = {{2m + 1} vybrat 1} t ^ {m} - {{2m + 1} zvolit 3} t ^ {m-1} pm cdots + (- 1) ^ {m} {{2m + 1} vyberte {2m + 1}}.}$

Podle Vietiny vzorce můžeme vypočítat součet kořenů přímo zkoumáním prvních dvou koeficientů polynomu a toto srovnání ukazuje, že

${ displaystyle cot ^ {2} x_ {1} + cot ^ {2} x_ {2} + cdots + cot ^ {2} x_ {m} = { frac { binom {2m + 1} {3}} { binom {2m + 1} {1}}} = { frac {2m (2m-1)} {6}}.}$

Nahrazení identita csc² X = dětská postýlka² X + 1, my máme

${ displaystyle csc ^ {2} x_ {1} + csc ^ {2} x_ {2} + cdots + csc ^ {2} x_ {m} = { frac {2m (2m-1)} {6}} + m = { frac {2m (2m + 2)} {6}}.}$

Nyní zvažte nerovnost dětská postýlka² X < 1/X² 2 X (znázorněno geometricky výše). Pokud spočítáme všechny tyto nerovnosti pro každé z čísel X_r = rπ/2m + 1, a pokud použijeme dvě výše uvedené identity, dostaneme

${ displaystyle { frac {2m (2m-1)} {6}} < left ({ frac {2m + 1} { pi}} right) ^ {2} + left ({ frac { 2 m + 1} {2 pi}} vpravo) ^ {2} + cdots + vlevo ({ frac {2m + 1} {m pi}} vpravo) ^ {2} <{ frac { 2 m (2 m + 2)} {6}}.}$

Násobení (π/2m + 1)²
, toto se stává

${ displaystyle { frac { pi ^ {2}} {6}} vlevo ({ frac {2m} {2m + 1}} vpravo) vlevo ({ frac {2m-1} {2m + 1}} vpravo) <{ frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac {1} {2 ^ {2}}} + cdots + { frac {1} {m ^ { 2}}} <{ frac { pi ^ {2}} {6}} vlevo ({ frac {2m} {2m + 1}} vpravo) vlevo ({ frac {2m + 2} { 2 m + 1}} vpravo).}$

Tak jako m se blíží k nekonečnu, levá a pravá ruka vyjadřuje každý přístup π²/6, tak podle zmáčknout teorém,

${ displaystyle zeta (2) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {2}}} = lim _ {m do infty} vlevo ( { frac {1} {1 ^ {2}}} + { frac {1} {2 ^ {2}}} + cdots + { frac {1} {m ^ {2}}} vpravo) = { frac { pi ^ {2}} {6}}}$

a tím je doplněn důkaz.

Jiné identity

Viz speciální případy identit pro Funkce Riemann zeta když ${ displaystyle s = 2.}$ Další pozoruhodně speciální identity a reprezentace této konstanty se objevují v následujících částech.

Sériové reprezentace

Následuje řada reprezentací konstanty:^[9]

${ displaystyle { begin {aligned} zeta (2) & = 3 sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {2} { binom {2k} {k }}}} & = sum _ {i = 1} ^ { infty} sum _ {j = 1} ^ { infty} { frac {(i-1)! (j-1)! } {(i + j)!}}. end {zarovnáno}}}$

Jsou tu také Typ BBP série rozšíření pro ζ(2).^[9]

Integrální reprezentace

Následuje integrální reprezentace ${ displaystyle zeta (2) { text {:}}}$^[10][11][12]

${ displaystyle { begin {aligned} zeta (2) & = - int _ {0} ^ {1} { frac { log x} {1-x}} , dx [6pt] & = int _ {0} ^ { infty} { frac {x} {e ^ {x} -1}} , dx [6pt] & = int _ {0} ^ {1} { frac {( log x) ^ {2}} {(1 + x) ^ {2}}} , dx [6pt] & = 2 + 2 int _ {1} ^ { infty} { frac { lfloor x rfloor -x} {x ^ {3}}} , dx [6pt] & = exp left (2 int _ {2} ^ { infty} { frac { pi (x)} {x (x ^ {2} -1)}} , dx right) [6pt] & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1 } { frac {dx , dy} {1-xy}} [6pt] & = { frac {4} {3}} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {dx , dy} {1- (xy) ^ {2}}} [6pt] & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1 } { frac {1-x} {1-xy}} , dx , dy + { frac {2} {3}}. end {zarovnáno}}}$

Pokračující zlomky

V klasickém článku van der Poortena Apéryho důkaz iracionality ${ displaystyle zeta (3)}$,^[13] autor bere na vědomí několik paralel při dokazování iracionality ${ displaystyle zeta (2)}$ na Apéryho důkaz. Zejména dokumentuje relace opakování pro téměř celé číslo sekvence konvergující do konstanty a pokračující zlomky konstanty. Další pokračující zlomky pro tuto konstantu zahrnují^[14]

${ displaystyle { frac { zeta (2)} {2}} = { cfrac {1} {v_ {1} - { cfrac {1 ^ {4}} {v_ {2} - { cfrac { 2 ^ {4}} {v_ {3} - { cfrac {3 ^ {4}} {v_ {4} - ddots}}}}}}}}}}$

a^{[15][nespolehlivý zdroj? ]}

${ displaystyle { frac { zeta (2)} {5}} = { cfrac {1} {{ widetilde {v}} _ {1} - { cfrac {1 ^ {4}} {{ widetilde {v}} _ {2} - { cfrac {2 ^ {4}} {{ widetilde {v}} _ {3} - { cfrac {3 ^ {4}} {{ widetilde {v} } _ {4} - ddots}}}}}}}},}$

kde ${ displaystyle v_ {n} = 2n-1 mapsto {1,3,5,7,9, ldots }}$ a ${ displaystyle { widetilde {v}} _ {n} = 11n ^ {2} -11n + 3 mapsto {3,25,69,135, ldots }}$.

Viz také

• Funkce Riemann zeta
• Apéryho konstanta

Reference

• Weil, André (1983), Teorie čísel: Přístup v historii, Springer-Verlag, ISBN  0-8176-3141-0.
• Dunham, William (1999), Euler: Pán nás všech, Mathematical Association of America, ISBN  0-88385-328-0.
• Derbyshire, Johne (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann a největší nevyřešený problém v matematice, Joseph Henry Press, ISBN  0-309-08549-7.
• Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (1998), Důkazy z KNIHY, Berlín, New York: Springer-Verlag
• Edwards, Harold M. (2001), Riemannova funkce ZetaDover, ISBN  0-486-41740-9.

Poznámky

externí odkazy

• Nekonečná řada překvapení C. J. Sangwin
• Krok za krokem důkaz
• „Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques“ (PDF). (348 kB), Anglický překlad s poznámkami Eulerova článku od Lucase Willise a Thomase J. Oslera
• „Jak to Euler udělal?“ (PDF). (265 kB)
• „Nekonečná řada Eulera a Bernoulliho okořenila třídu počtu“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 18. 04. 2013. Citováno 2004-02-27. (106 kB)
• "Hodnocení ζ(2)" (PDF). (184 kB), Čtrnáct důkazů sestavených Robinem Chapmanem
• Vizualizace Eulerovy faktorizace sinusové funkce