Lindelöfova hypotéza - Lindelöf hypothesis

v matematika, Lindelöfova hypotéza je dohad finského matematika Ernst Leonard Lindelöf (vidět Lindelöf (1908) ) o rychlosti růstu Funkce Riemann zeta na kritické linii. Tuto hypotézu implikuje Riemannova hypotéza. Říká se, že pro všechny ε > 0,

${ displaystyle zeta left ({ frac {1} {2}} + it right) = O (t ^ { varepsilon}),}$

tak jako t má sklon k nekonečnu (viz O notace ). Od té doby ε lze nahradit menší hodnotou, můžeme také napsat domněnku jako, pro jakékoli kladné ε,

${ displaystyle zeta left ({ frac {1} {2}} + it right) = o (t ^ { varepsilon}).}$

Funkce μ

Pokud je σ skutečné, pak μ (σ) je definováno jako infimum všech reálných čísel A takhle ζ(σ + to) = O (T ^A). Je triviální to kontrolovat μ(σ) = 0 pro σ > 1 a funkční rovnice funkce zeta znamená, že μ (σ) = μ(1 − σ) − σ + 1/2. The Phragmén – Lindelöfova věta znamená, že μ je a konvexní funkce. Lindelöfova hypotéza uvádí μ (1/2) = 0, které spolu s výše uvedenými vlastnostmi μ to naznačuje μ(σ) je 0 pro σ ≥ 1/2 a 1/2 - σ pro σ ≤ 1/2.

Výsledek konvexity Lindelöf spolu s μ(1) = 0 a μ(0) = 1/2 znamená, že 0 ≤μ(1/2) ≤ 1/4. Horní mez 1/4 byla snížena o Hardy a Littlewood na 1/6 aplikací Weyl metoda odhadu exponenciální součty do přibližná funkční rovnice. Od té doby bylo sníženo na něco méně než 1/6 několika autory používajícími dlouhé a technické důkazy, jak je uvedeno v následující tabulce:

Vztah k Riemannově hypotéze

Backlund chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFBacklund (Pomoc) (1918–1919) ukázal, že Lindelöfova hypotéza je ekvivalentní následujícímu tvrzení o nulách funkce zeta: pro každou ε > 0, počet nul se skutečnou částí alespoň 1/2 +ε a imaginární část mezi T a T +1 je o (log (T)) tak jako T inklinuje k nekonečnu. Riemannova hypotéza naznačuje, že v této oblasti nejsou vůbec žádné nuly, a proto implikuje Lindelöfovu hypotézu. Počet nul s imaginární částí mezi T a T + 1 je známo jako O (log (T)), takže Lindelöfova hypotéza se zdá být jen o málo silnější než to, co již bylo prokázáno, ale přesto odolala všem pokusům to dokázat.

Prostředky síly (nebo momenty) funkce zeta

Lindelöfova hypotéza je ekvivalentní tvrzení, že

${ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} | zeta (1/2 + it) | ^ {2k} , dt = O (T ^ { varepsilon} )}$

pro všechna kladná celá čísla k a všechna kladná reálná čísla ε. To bylo prokázáno pro k = 1 nebo 2, ale případ k = 3 se zdá být mnohem těžší a stále představuje otevřený problém.

O asymptotickém chování integrálu existuje mnohem přesnější domněnka: předpokládá se, že

${ displaystyle int _ {0} ^ {T} | zeta (1/2 + it) | ^ {2k} , dt = T suma _ {j = 0} ^ {k ^ {2}} c_ {k, j} log (T) ^ {k ^ {2} -j} + o (T)}$

pro některé konstanty C_k,j. To prokázal Littlewood pro k = 1 a podle Heath-Brown (1979) pro k = 2 (rozšíření výsledku o Ingham (1926) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFIngham1926 (Pomoc) kdo našel hlavní termín).

Conrey & Ghosh (1998) navrhl hodnotu

${ displaystyle { frac {42} {9!}} prod _ {p} left ((1-p ^ {- 1}) ^ {4} (1 + 4p ^ {- 1} + p ^ { -2}) vpravo)}$

pro vedoucí koeficient, když k je 6 a Keating & Snaith (2000) použitý teorie náhodných matic navrhnout nějaké dohady pro hodnoty koeficientů pro vyššík. Předpokládáme, že hlavní koeficienty jsou součinem elementárního faktoru, určitého součinu v prvočíslech a počtu n podle n Mladé obrazy dané posloupností

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020,… (sekvence A039622 v OEIS ).

Další důsledky

Označující str_n the n-té prvočíslo, výsledek o Albert Ingham ukazuje, že Lindelöfova hypotéza naznačuje, že pro všechny ε > 0,

${ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} ll p_ {n} ^ {1/2 + varepsilon} ,}$

-li n je dostatečně velký. Tento výsledek je však mnohem horší než u velkých hlavní mezera dohad.

Poznámky a odkazy

• Backlund, R. (1918–1919), „Über die Beziehung zwischen Anwachsen und Nullstellen der Zeta-Funktion“, Ofversigt Finska Vetensk. Soc., 61 (9)
• Bourgain, Jean (2017), „Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function“, Journal of the American Mathematical Society, 30 (1): 205–224, arXiv:1408.5794, doi:10.1090 / džemy / 860, PAN  3556291
• Conrey, J. B .; Farmer, D. W .; Keating, Jonathan P .; Rubinstein, M. O .; Snaith, N. C. (2005), "Integrální momenty L-funkcí", Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 91 (1): 33–104, arXiv:matematika / 0206018, doi:10.1112 / S0024611504015175, ISSN  0024-6115, PAN  2149530
• Conrey, J. B .; Farmer, D. W .; Keating, Jonathan P .; Rubinstein, M. O .; Snaith, N. C. (2008), „Termíny nižšího řádu v domněnce úplného okamžiku pro funkci Riemann zeta“, Žurnál teorie čísel, 128 (6): 1516–1554, arXiv:matematika / 0612843, doi:10.1016 / j.jnt.2007.05.013, ISSN  0022-314X, PAN  2419176
• Conrey, J. B .; Ghosh, A. (1998), „Domněnka o šestém silovém momentu Riemannovy zeta-funkce“, Oznámení o mezinárodním matematickém výzkumu, 1998 (15): 775–780, doi:10.1155 / S1073792898000476, ISSN  1073-7928, PAN  1639551
• Edwards, H. M. (1974), Riemannova funkce Zeta, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-41740-0, PAN  0466039
• Heath-Brown, D. R. (1979), „Čtvrtý mocenský moment funkce Riemann zeta“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 38 (3): 385–422, doi:10.1112 / plms / s3-38.3.385, ISSN  0024-6115, PAN  0532980
• Huxley, M. N. (2002), "Celočíselné body, exponenciální součty a Riemannova zeta funkce", Teorie čísel pro tisíciletí, II (Urbana, IL, 2000), K Peters, str. 275–290, PAN  1956254
• Huxley, M. N. (2005), "Exponenciální součty a Riemannova zeta funkce. V", Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 90 (1): 1–41, doi:10.1112 / S0024611504014959, ISSN  0024-6115, PAN  2107036
• Ingham, A. E. (1928), „Věty o střední hodnotě v teorii funkce Riemann Zeta“, Proc. London Math. Soc., s2-27 (1): 273–300, doi:10,1112 / plms / s2-27.1.273
• Ingham, A. E. (1940), „O odhadu N (σ, T)“, Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Druhá série, 11 (1): 291–292, Bibcode:1940QJMat..11..201I, doi:10.1093 / qmath / os-11.1.201, ISSN  0033-5606, PAN  0003649
• Karatsuba, Anatoly; Voronin, Sergei (1992), Riemannova zeta funkce, de Gruyter Expositions in Mathematics, 5, Berlín: Walter de Gruyter & Co., ISBN  978-3-11-013170-3, PAN  1183467
• Keating, Jonathan P .; Snaith, N. C. (2000), „Random matrix theory and ζ (1/2 + it)“, Komunikace v matematické fyzice, 214 (1): 57–89, Bibcode:2000CMaPh.214 ... 57K, CiteSeerX  10.1.1.15.8362, doi:10.1007 / s002200000261, ISSN  0010-3616, PAN  1794265
• Lindelöf, Ernst (1908), „Quelques remarques sur la croissance de la fonction ζ (s)“, Býk. Sci. Matematika., 32: 341–356
• Motohashi, Yõichi (1995), „Vztah mezi Riemannovou zeta-funkcí a hyperbolickým Laplacianem“, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Série IV, 22 (2): 299–313, ISSN  0391-173X, PAN  1354909
• Motohashi, Yõichi (1995), „Riemannova zeta-funkce a neeuklidovský Laplacian“, Expozice Sugaku, 8 (1): 59–87, ISSN  0898-9583, PAN  1335956
• Titchmarsh, Edward Charles (1986), Teorie Riemannovy zeta funkce (2. vyd.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853369-6, PAN  0882550
• Voronin, S.M. (2001) [1994], „Lindelöfova hypotéza“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS