Funkce Z. - Z function - Wikipedia
v matematika, Funkce Z. je funkce používá se ke studiu Funkce Riemann zeta podél kritická linie kde argument je poloviční. Nazývá se také funkce Riemann – Siegel Z, funkce Riemann – Siegel zeta, Hardy funkce Hardy Z a funkce Hardy zeta funkce. Lze jej definovat z hlediska Funkce Riemann – Siegel theta a Riemannova zeta funkce podle
Z funkční rovnice Riemannovy zeta funkce vyplývá, že funkce Z je reálná pro skutečné hodnoty t. Je to sudá funkce a skutečné analytické pro skutečné hodnoty. Vyplývá to ze skutečnosti, že funkce Riemann-Siegel theta a funkce Riemann zeta jsou v kritickém pásu, kde imaginární část t je mezi −1/2 a 1/2, že funkce Z je také holomorfní v kritickém pásu. Skutečné nuly navíc Z(t) jsou přesně nuly funkce zeta podél kritické linie a komplexní nuly v kritickém proužku funkce Z odpovídají nulám mimo kritickou linii funkce Riemann zeta v jejím kritickém proužku.
![]() | ![]() |
Vzorec Riemann – Siegel
Výpočet hodnoty Z(t) opravdu t, a tedy funkce zeta podél kritické linie, je velmi urychlena Riemann – Siegelův vzorec. Tento vzorec nám říká
kde chybový termín R(t) má z hlediska funkce komplexní asymptotický výraz
a jeho deriváty. Li , a pak
kde elipsa naznačuje, že můžeme pokračovat ve vyšších a stále složitějších podmínkách.
Jsou známy další účinné řady pro Z (t), zejména několik, které používají neúplná funkce gama. Li
pak je obzvláště pěkný příklad
Chování funkce Z.
Z věta o kritické linii, z toho vyplývá, že hustota skutečných nul funkce Z je
pro nějakou konstantu C > 2/5. Proto počet nul v intervalu dané velikosti pomalu roste. Pokud Riemannova hypotéza je pravda, všechny nuly v kritickém proužku jsou skutečné nuly a konstanta C je jedna. Rovněž se předpokládá, že všechny tyto nuly jsou jednoduché nuly.
Věta Omega
Kvůli nulám funkce Z vykazuje oscilační chování. Pomalu také roste jak v průměru, tak ve špičkové hodnotě. Například, i bez Riemannovy hypotézy máme Omega věta že
kde notace to znamená děleno funkcí uvnitř Ω nemá tendenci se zvyšováním zvyšovatt.
Průměrný růst
Průměrný růst funkce Z byl také hodně studován. Můžeme najít střední kvadratická (zkráceně RMS) průměr z
nebo
které nám říkají, že RMS velikost Z(t) roste jako .
Tento odhad lze vylepšit na
Pokud exponent zvětšíme, dostaneme průměrnou hodnotu, která závisí více na špičkových hodnotáchZ. Čtvrtou mocností máme
z čehož můžeme usoudit, že čtvrtý kořen střední čtvrté moci roste jako
Lindelöfova hypotéza
Vyšší rovnoměrné síly byly hodně studovány, ale o odpovídající průměrné hodnotě je známo méně. Domnívá se, že to vyplývá z Riemannovy hypotézy
za každé kladné ε. Tady malá notace „o“ znamená, že levá strana je rozdělena na pravou stranu dělá konvergovat k nule; jinými slovy malé o je negace Ω. Tato domněnka se nazývá Lindelöf hypotéza a je slabší než Riemannova hypotéza. Obvykle je uvedeno v důležité ekvivalentní formě, což je
v obou formách nám říká, že tempo růstu špičkových hodnot nemůže být příliš vysoké. Nejznámější vazba na tuto rychlost růstu není silná a říká nám, že nějaká je vhodný. Bylo by úžasné zjistit, že funkce Z rostla téměř všude tak rychle. Littlewood dokázal, že na Riemannově hypotéze
a zdá se to mnohem pravděpodobnější.
Reference
- Edwards, H.M. (1974). Riemannova funkce zeta. Čistá a aplikovaná matematika. 58. New York-Londýn: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0. Zbl 0315.10035.
- Ivić, Aleksandar (2013). Hardyho teorie Z-funkce. Cambridge Tracts v matematice. 196. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02883-8. Zbl 1269.11075.
- Paris, R. B .; Kaminski, D. (2001). Asymptotika a Mellin-Barnesovy integrály. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79001-8. Zbl 0983.41019.
- Ramachandra, K. Přednášky o střední hodnotě a Omega věty pro Riemannovu funkci Zeta. Přednášky z matematiky a fyziky. Matematika. Tata Institute of Fundamental Research. 85. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58437-4. Zbl 0845.11003.
- Titchmarsh, E. C. (1986) [1951]. Heath-Brown, D.R. (vyd.). Teorie Riemannovy Zeta-funkce (druhé přepracované vydání). Oxford University Press.
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Funkce Riemann – Siegel“. MathWorld.
- Wolfram Research - Riemann-Siegelova funkce Z (zahrnuje vykreslování a hodnocení funkcí)