Funkce Z. - Z function - Wikipedia

v matematika, Funkce Z. je funkce používá se ke studiu Funkce Riemann zeta podél kritická linie kde argument je poloviční. Nazývá se také funkce Riemann – Siegel Z, funkce Riemann – Siegel zeta, Hardy funkce Hardy Z a funkce Hardy zeta funkce. Lze jej definovat z hlediska Funkce Riemann – Siegel theta a Riemannova zeta funkce podle

${ displaystyle Z (t) = e ^ {i theta (t)} zeta left ({ frac {1} {2}} + it right).}$

Z funkční rovnice Riemannovy zeta funkce vyplývá, že funkce Z je reálná pro skutečné hodnoty t. Je to sudá funkce a skutečné analytické pro skutečné hodnoty. Vyplývá to ze skutečnosti, že funkce Riemann-Siegel theta a funkce Riemann zeta jsou v kritickém pásu, kde imaginární část t je mezi −1/2 a 1/2, že funkce Z je také holomorfní v kritickém pásu. Skutečné nuly navíc Z(t) jsou přesně nuly funkce zeta podél kritické linie a komplexní nuly v kritickém proužku funkce Z odpovídají nulám mimo kritickou linii funkce Riemann zeta v jejím kritickém proužku.

Funkce Z v komplexní rovině

${ displaystyle -5 < Re (t) <5}$	${ displaystyle -40 < Re (t) <40}$

Vzorec Riemann – Siegel

Výpočet hodnoty Z(t) opravdu t, a tedy funkce zeta podél kritické linie, je velmi urychlena Riemann – Siegelův vzorec. Tento vzorec nám říká

${ displaystyle Z (t) = 2 součet _ {n ^ {2}$

kde chybový termín R(t) má z hlediska funkce komplexní asymptotický výraz

${ displaystyle Psi (z) = { frac { cos 2 pi (z ^ {2} -z-1/16)} { cos 2 pi z}}}$

a jeho deriváty. Li ${ displaystyle u = left ({ frac {t} {2 pi}} right) ^ {1/4}}$, ${ displaystyle N = lfloor u ^ {2} rfloor}$ a ${ displaystyle p = u ^ {2} -N}$ pak

${ displaystyle R (t) sim (-1) ^ {N-1} left ( Psi (p) u ^ {- 1} - { frac {1} {96 pi ^ {2}}} Psi ^ {(3)} (p) u ^ {- 3} + cdots right)}$

kde elipsa naznačuje, že můžeme pokračovat ve vyšších a stále složitějších podmínkách.

Jsou známy další účinné řady pro Z (t), zejména několik, které používají neúplná funkce gama. Li

${ displaystyle Q (a, z) = { frac { Gamma (a, z)} { Gamma (a)}} = { frac {1} { Gamma (a)}} int _ {z } ^ { infty} u ^ {a-1} e ^ {- u} , du}$

pak je obzvláště pěkný příklad

${ displaystyle Z (t) = 2 Re left (e ^ {i theta (t)} left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} Q left ({ frac {s} {2}}, pi in ^ {2} right) - { frac { pi ^ {s / 2} e ^ { pi is / 4}} {s Gamma left ({ frac {s } {2}} doprava)}} doprava) doprava)}$

Chování funkce Z.

Z věta o kritické linii, z toho vyplývá, že hustota skutečných nul funkce Z je

${ displaystyle { frac {c} {2 pi}} log { frac {t} {2 pi}}}$

pro nějakou konstantu C > 2/5. Proto počet nul v intervalu dané velikosti pomalu roste. Pokud Riemannova hypotéza je pravda, všechny nuly v kritickém proužku jsou skutečné nuly a konstanta C je jedna. Rovněž se předpokládá, že všechny tyto nuly jsou jednoduché nuly.

Věta Omega

Kvůli nulám funkce Z vykazuje oscilační chování. Pomalu také roste jak v průměru, tak ve špičkové hodnotě. Například, i bez Riemannovy hypotézy máme Omega věta že

${ displaystyle Z (t) = Omega left ( exp left ({ frac {3} {4}} { sqrt { frac { log t} { log log t}}}} vpravo )že jo),}$

kde notace to znamená ${ displaystyle Z (t)}$ děleno funkcí uvnitř Ω nemá tendenci se zvyšováním zvyšovatt.

Průměrný růst

Průměrný růst funkce Z byl také hodně studován. Můžeme najít střední kvadratická (zkráceně RMS) průměr z

${ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {2} dt sim log T}$

nebo

${ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {T} ^ {2T} Z (t) ^ {2} dt sim log T}$

které nám říkají, že RMS velikost Z(t) roste jako ${ displaystyle { sqrt { log t}}}$.

Tento odhad lze vylepšit na

${ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {2} dt = log T + (2 gamma -2 log (2 pi) - 1) + O (T ^ {- 15/22})}$

Pokud exponent zvětšíme, dostaneme průměrnou hodnotu, která závisí více na špičkových hodnotáchZ. Čtvrtou mocností máme

${ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {4} dt sim { frac {1} {2 pi ^ {2}}} ( log T) ^ {4}}$

z čehož můžeme usoudit, že čtvrtý kořen střední čtvrté moci roste jako ${ displaystyle { frac {1} {2 ^ {1/4} { sqrt { pi}}}} log t.}$

Lindelöfova hypotéza

Vyšší rovnoměrné síly byly hodně studovány, ale o odpovídající průměrné hodnotě je známo méně. Domnívá se, že to vyplývá z Riemannovy hypotézy

${ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} Z (t) ^ {2k} , dt = o (T ^ { varepsilon})}$

za každé kladné ε. Tady malá notace „o“ znamená, že levá strana je rozdělena na pravou stranu dělá konvergovat k nule; jinými slovy malé o je negace Ω. Tato domněnka se nazývá Lindelöf hypotéza a je slabší než Riemannova hypotéza. Obvykle je uvedeno v důležité ekvivalentní formě, což je

${ displaystyle Z (t) = o (t ^ { varepsilon});}$

v obou formách nám říká, že tempo růstu špičkových hodnot nemůže být příliš vysoké. Nejznámější vazba na tuto rychlost růstu není silná a říká nám, že nějaká ${ displaystyle epsilon> { frac {89} {570}} přibližně 0,156}$ je vhodný. Bylo by úžasné zjistit, že funkce Z rostla téměř všude tak rychle. Littlewood dokázal, že na Riemannově hypotéze

${ displaystyle Z (t) = o left ( exp left ({ frac {10 log t} { log log t}} right) right),}$

a zdá se to mnohem pravděpodobnější.

Reference

• Edwards, H.M. (1974). Riemannova funkce zeta. Čistá a aplikovaná matematika. 58. New York-Londýn: Academic Press. ISBN  0-12-232750-0. Zbl  0315.10035.
• Ivić, Aleksandar (2013). Hardyho teorie Z-funkce. Cambridge Tracts v matematice. 196. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  978-1-107-02883-8. Zbl  1269.11075.
• Paris, R. B .; Kaminski, D. (2001). Asymptotika a Mellin-Barnesovy integrály. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-79001-8. Zbl  0983.41019.
• Ramachandra, K. Přednášky o střední hodnotě a Omega věty pro Riemannovu funkci Zeta. Přednášky z matematiky a fyziky. Matematika. Tata Institute of Fundamental Research. 85. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-58437-4. Zbl  0845.11003.
• Titchmarsh, E. C. (1986) [1951]. Heath-Brown, D.R. (vyd.). Teorie Riemannovy Zeta-funkce (druhé přepracované vydání). Oxford University Press.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Funkce Riemann – Siegel“. MathWorld.
• Wolfram Research - Riemann-Siegelova funkce Z (zahrnuje vykreslování a hodnocení funkcí)