Univerzálnost funkce Zeta - Zeta function universality

Jakákoli nemizející holomorfní funkce F definované na proužku lze aproximovat funkcí ζ.

v matematika, univerzálnost z funkce zeta je pozoruhodná schopnost Riemannova zeta funkce a další podobné funkce (například Dirichletovy funkce L. ) k aproximaci libovolného nezmizení holomorfní funkce libovolně dobře.

Univerzálnost funkce Riemann zeta byla poprvé prokázána Sergej Michajlovič Voronin v roce 1975^[1] a je někdy známá jako Voroninova věta o univerzálnosti.

Funkce Riemannova zeta na proužku 1/2 s) <1; 103 s) < 109.

Formální prohlášení

Matematicky přesné vyjádření univerzality pro Riemannovu zeta funkci-(s) následuje.

Nechat U být kompaktní podmnožina proužku

${ displaystyle {s v mathbb {C} střední 1/2 <{ mbox {Re}} s <1 }}$

takové, že doplněk z U je připojeno. Nechat F : U → C být spojitá funkce na U který je holomorfní na interiér z U a nemá v něm žádné nuly U. Pak pro všechny ε > 0 existuje a t ≥ 0 takhle

${ displaystyle left | zeta (s + it) -f (s) right | < varepsilon}$

(1)

pro všechny ${ displaystyle s v U}$.

Ještě více: nižší hustota sady hodnot t které dělají práci, je pozitivní, jak je vyjádřeno následující nerovností o a limit horší.

${ displaystyle 0 < liminf _ {T to infty} { frac {1} {T}} , lambda ! left ( left {t in [0, T] ; { bigg |} ; max _ {s in U} left | zeta (s + it) -f (s) right | < varepsilon right } right),}$

kde λ označuje Lebesgueovo opatření na reálná čísla.

Diskuse

Podmínka, že doplněk U být v zásadě znamená, že U neobsahuje žádné otvory.

Intuitivní význam prvního tvrzení je následující: je možné se hýbat U některými vertikální posunutí to takže funkce F na U je aproximován funkcí zeta na posunuté kopii souboru U, s přesností ε.

Funkce F nemá povoleno mít žádné nuly U. Toto je důležité omezení; pokud začnete s holomorfní funkcí s izolovanou nulou, pak bude mít jakákoli „blízká“ holomorfní funkce také nulu. Podle Riemannova hypotéza, funkce Riemannova zeta nemá v uvažovaném pruhu žádné nuly, a tak by ji nemohla aproximovat. Funkce F(s) = 0 který je shodně nulový U lze aproximovat pomocí ζ: můžeme nejprve vybrat funkci „poblíž“ G(s) = ε/2 (který je holomorfní a nemá nuly) a najděte vertikální posunutí takové ζ přibližný G k přesnosti ε/ 2, a proto F k přesnosti ε.

Doprovodný obrázek ukazuje funkci zeta na reprezentativní části příslušného proužku. Barva bodu s kóduje hodnotu ζ(s) takto: odstín představuje argument ζ(s), přičemž červená označuje kladné skutečné hodnoty, a poté proti směru hodinových ručiček přes žlutou, zelenou azurovou, modrou a fialovou. Silné barvy označují hodnoty blízké 0 (černá = 0), slabé barvy označují hodnoty daleko od 0 (bílá = ∞). Obrázek ukazuje přibližně tři nuly funkce zeta 1/2 + 103.7i, 1/2 + 105.5i a 1/2 + 107.2i. Voroninova věta v podstatě uvádí, že tento proužek obsahuje všechny možné „analytické“ barevné vzory, které nepoužívají černou ani bílou.

Hrubý význam tvrzení o nižší hustotě je následující: pokud je funkce F a ε > 0 je kladná pravděpodobnost, že náhodně zvolený svislý posun to přinese aproximaci F k přesnosti ε.

Interiér U mohou být prázdné, v takovém případě není požadavek na F být holomorfní. Například pokud vezmeme U být úsečkou, pak spojitou funkcí F : U → Cnení nic jiného než křivka v komplexní rovině a vidíme, že funkce zeta kóduje každou možnou křivku (tj. jakýkoli obrázek, který lze nakreslit bez zvednutí tužky) s libovolnou přesností na uvažovaném pásu.

Uvedená věta platí pouze pro regiony U které jsou obsaženy v proužku. Pokud však povolíme překlady a změnu měřítka, můžeme také najít v kódovaných funkcích zeta přibližné verze všech nemizejících holomorfních funkcí definovaných v jiných oblastech. Zejména proto, že samotná funkce zeta je holomorfní, jsou v ní zakódovány její verze v různých měřítcích, což je charakteristický znak fraktální.^[2]

Překvapivou povahu věty lze shrnout takto: Riemannova zeta funkce obsahuje „všechna možná chování“, a je tedy v jistém smyslu „chaotická“, přesto se jedná o dokonale hladkou analytickou funkci s poměrně jednoduchou, přímočarou definice.

Důkazní skica

Náčrt důkazu předloženého v (Voronin a Karatsuba, 1992)^[3] Zvažujeme pouze případ, kdy U je disk se středem 3/4:

${ displaystyle U = {s v mathbb {C}: | s-3/4 |$

a budeme tvrdit, že každá nenulová holomorfní funkce definovaná na U lze aproximovat pomocí ζ- funkce na svislý překlad této sady.

Přihrávka do logaritmus, to stačí ukázat pro každou holomorfní funkci G : U → C a každý ε > 0 existuje skutečné číslo t takhle

${ displaystyle left | ln zeta (s + it) -g (s) right | < varepsilon quad { text {pro všechny}} quad s v U.}$

Nejprve si přiblížíme G(s) s logaritmem určitých konečných produktů připomínajících produkt Euler pro ζ-funkce:

${ displaystyle zeta (s) = prod _ {p in mathbb {P}} vlevo (1 - { frac {1} {p ^ {s}}} vpravo) ^ {- 1}, }$

kde P označuje množinu všech prvočísel.

Li ${ displaystyle theta = ( theta _ {p}) _ {p in mathbb {P}}}$ je posloupnost reálných čísel, jedno pro každé prvočíslo p, a M je konečná sada prvočísel, nastavili jsme

${ displaystyle zeta _ {M} (s, theta) = prod _ {p in M} vlevo (1 - { frac {e ^ {- 2 pi i theta _ {p}}} {p ^ {s}}} right) ^ {- 1}.}$

Zvažujeme konkrétní sekvenci

${ displaystyle { hat { theta}} = left ({ frac {1} {4}}, { frac {2} {4}}, { frac {3} {4}}, { frac {4} {4}}, { frac {5} {4}}, ldots right)}$

a tvrdí to G(s) lze aproximovat funkcí formuláře ${ displaystyle ln ( zeta _ {M} (s, { hat { theta}}))}$ pro vhodnou sadu M prvočísel. Důkaz o tomto nároku využívá Bergmanův prostor, falešně pojmenovaný Hardy prostor v (Voronin a Karatsuba, 1992),^[3] v H holomorfních funkcí definovaných na U, a Hilbertův prostor. Jsme si stanovili

${ displaystyle u_ {k} (s) = ln left (1 - { frac {e ^ {- pi ik / 2}} {p_ {k} ^ {s}}} right)}$

kde p_k označuje k-té prvočíslo. Potom lze ukázat, že série

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} u_ {k}}$

je podmíněně konvergentní v H, tj. pro každý prvek proti z H existuje přeskupení řady, do které se sbíhá H na proti. Tento argument používá teorém, který zobecňuje Věta o Riemannově řadě do prostředí Hilberta. Kvůli vztahu mezi normou v H a maximální absolutní hodnota funkce, můžeme aproximovat naši danou funkci G(s) s počátečním segmentem této přeskupené série, podle potřeby.

Podle verze Kroneckerova věta, aplikovaná na reálná čísla ${ displaystyle { frac { ln 2} {2 pi}}, { frac { ln 3} {2 pi}}, { frac { ln 5} {2 pi}}, ldots , { frac { ln p_ {N}} {2 pi}}}$ (což jsou lineárně nezávislé nad racionály) můžeme najít skutečné hodnoty t aby ${ displaystyle ln ( zeta _ {M} (s, { hat { theta}}))}$ je aproximován ${ displaystyle ln ( zeta _ {M} (s + it, 0))}$. Dále pro některé z těchto hodnot t, ${ displaystyle ln ( zeta _ {M} (s + it, 0))}$ přibližný ${ displaystyle ln ( zeta (s + it))}$, dokončení důkazu.

Věta je uvedena bez důkazu v § 11.11 (Titchmarsh and Heath-Brown, 1986),^[4]druhé vydání monografie Titchmarsh z roku 1951; a slabší výsledek je uveden v Thm. 11.9. Ačkoli tam Voroninova věta není prokázána, jsou z ní odvozeny dva důsledky:

1) Nechte ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} < sigma <1}$ být opraven. Pak křivka

${ displaystyle gamma (t) = ( zeta ( sigma + it), zeta '( sigma + it), tečky, zeta ^ {(n-1)} ( sigma + it))}$

je hustá v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$

2) Nechte ${ displaystyle Phi}$ být jakákoli spojitá funkce, a ať ${ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, tečky, h_ {n}}$ být skutečné konstanty.

Pak ${ displaystyle zeta (s)}$ nemůže uspokojit diferenciální diferenciální rovnici

${ displaystyle Phi { zeta (s + h_ {1}), zeta '(s + h_ {1}), tečky, zeta ^ {(n_ {1})} (s + h_ {1 }), zeta (s + h_ {2}), zeta '(s + h_ {2}), dots, zeta ^ {(n_ {2})} (s + h_ {2}), tečky } = 0}$

ledaže ${ displaystyle Phi}$ zmizí stejně.

Efektivní univerzálnost

Některé nedávné práce se zaměřily na efektivní univerzalita. Za podmínek uvedených na začátku tohoto článku existují hodnoty t které uspokojují nerovnost (1). An efektivní věta o univerzálnosti umístí horní hranici na nejmenší takový t.

Například v roce 2003 Garunkštis dokázal, že pokud ${ displaystyle f (s)}$ je analytický v ${ displaystyle | s | leq .05}$ s${ displaystyle max _ { levý | s pravý | leq .05} levý | f (s) pravý | leq 1}$, pak pro libovolné ε v ${ displaystyle 0 < epsilon <1/2}$, existuje číslo ${ displaystyle t}$ v ${ displaystyle 0 leq t leq exp ({ exp ({10 / epsilon ^ {13}})})}}$ takhle

${ displaystyle max _ { left | s right | leq .0001} left | log zeta (s + { frac {3} {4}} + it) -f (s) right | < epsilon}$.

Například pokud ${ displaystyle epsilon = 1/10}$, pak směřující k t je ${ displaystyle t leq exp ({ exp ({10 / epsilon ^ {13}})}) = exp ({ exp ({10 ^ {14}})})}$.

Hranice lze také získat na základě jejich míry t hodnoty z hlediska ε:

${ displaystyle liminf _ {T to infty} { frac {1} {T}} , lambda ! left ( left {t in [0, T]: max _ { left | s right | leq .0001} left | log zeta (s + { frac {3} {4}} + it) -f (s) right | < epsilon right } right ) geq { frac {1} { exp ({ epsilon ^ {- 13}})}}}$.

Například pokud ${ displaystyle epsilon = 1/10}$, pak je pravá strana ${ displaystyle 1 / exp ({10 ^ {13}})}$.Vidět.^{[5]:str. 210}

Univerzálnost dalších funkcí zeta

Byla provedena práce ukazující, že univerzálnost sahá i do Selberg zeta funkce^[6]

The Dirichletovy funkce L. ukázat nejen univerzálnost, ale i určitý druh společná univerzálnost které umožňují aproximaci libovolné sady funkcí stejnou hodnotou (hodnotami) t v různých L-funkce, kde je každá funkce, která má být aproximována, spárována s jinou L-funkce.^{[7][8]:Část 4}

Podobná vlastnost univerzality byla prokázána pro Funkce Lerch zeta ${ displaystyle L ( lambda, alfa, s)}$, alespoň pokud je parametr α je transcendentní číslo.^{[8]:Část 5}Ukázalo se také, že části Lerchovy zeta-funkce mají formu společné univerzálnosti.^{[8]:Oddíl 6}

Reference

Další čtení

• Karatsuba, Anatoly A .; Voronin, S. M. (2011). Funkce Riemann Zeta. de Gruyter Expositions in Mathematics. Berlín: de Gruyter. ISBN  978-3110131703.
• Laurinčikas, Antanas (1996). Limitní věty pro Riemannovu funkci Zeta. Matematika a její aplikace. 352. Berlín: Springer. doi:10.1007/978-94-017-2091-5. ISBN  978-90-481-4647-5.
• Steuding, Jörn (2007). Rozdělení hodnot L-funkcí. Přednášky z matematiky. 1877. Berlín: Springer. str.19. arXiv:1711.06671. doi:10.1007/978-3-540-44822-8. ISBN  978-3-540-26526-9.
• Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986). Teorie funkce Riemanna Zeta (2. vyd.). Oxford: Oxford U. P. ISBN  0-19-853369-1.

externí odkazy

• Voroninova věta o univerzálnosti autor: Matthew R. Watkins
• Rentgen funkce Zeta Vizuálně zaměřené zkoumání toho, kde je zeta skutečná nebo čistě imaginární. Poskytuje určitou indikaci toho, jak je to v kritickém pruhu komplikované.