Konkrétní hodnoty funkce Riemann zeta - Particular values of the Riemann zeta function

Tento článek uvádí některé konkrétní hodnoty Funkce Riemann zeta, včetně hodnot u celočíselných argumentů a některých řad, které je zahrnují.

Funkce Riemannova zeta na 0 a 1

Na nula, jeden má

${ displaystyle zeta (0) = {B_ {1} ^ {-}} = - {B_ {1} ^ {+}} = - { tfrac {1} {2}} !}$

V 1 je a pól, tak ζ(1) není konečný, ale levý a pravý limit jsou:

${ displaystyle lim _ { varepsilon až 0 ^ { pm}} zeta (1+ varepsilon) = pm infty}$

Jelikož se jedná o pól prvního řádu, jeho hlavní hodnota existuje a rovná se Euler – Mascheroniho konstanta γ = 0,57721 56649+.

Kladná celá čísla

I pozitivní celá čísla

U sudých kladných celých čísel má jeden vztah k Bernoulliho čísla:

${ displaystyle zeta (2n) = (- 1) ^ {n + 1} { frac {(2 pi) ^ {2n} B_ {2n}} {2 (2n)!}} !}$

pro ${ displaystyle n in mathbb {N}}$. Prvních několik hodnot je dáno vztahem:

${ displaystyle zeta (2) = 1 + { frac {1} {2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + cdots = { frac { pi ^ {2}} {6}} = 1,6449 tečky !}$ (OEIS: A013661)

(demonstrace této rovnosti je známá jako Basilejský problém )

${ displaystyle zeta (4) = 1 + { frac {1} {2 ^ {4}}} + { frac {1} {3 ^ {4}}} + cdots = { frac { pi ^ {4}} {90}} = 1,0823 tečky !}$ (OEIS: A013662)

(dále jen Stefan – Boltzmannův zákon a Vídeňská aproximace ve fyzice)

${ displaystyle zeta (6) = 1 + { frac {1} {2 ^ {6}}} + { frac {1} {3 ^ {6}}} + cdots = { frac { pi ^ {6}} {945}} = 1,0173 tečky !}$ (OEIS: A013664)

${ displaystyle zeta (8) = 1 + { frac {1} {2 ^ {8}}} + { frac {1} {3 ^ {8}}} + cdots = { frac { pi ^ {8}} {9450}} = 1,00407 tečky !}$ (OEIS: A013666)

${ displaystyle zeta (10) = 1 + { frac {1} {2 ^ {10}}} + { frac {1} {3 ^ {10}}} + cdots = { frac { pi ^ {10}} {93555}} = 1 000994 tečky !}$ (OEIS: A013668)

${ displaystyle zeta (12) = 1 + { frac {1} {2 ^ {12}}} + { frac {1} {3 ^ {12}}} + cdots = { frac {691 pi ^ {12}} {638512875}} = 1 000246 tečky !}$ (OEIS: A013670)

${ displaystyle zeta (14) = 1 + { frac {1} {2 ^ {14}}} + { frac {1} {3 ^ {14}}} + cdots = { frac {2 pi ^ {14}} {18243225}} = 1,0000612 tečky !}$ (OEIS: A013672).

Vezmeme-li limit ${ displaystyle n rightarrow infty}$, jeden získá ${ displaystyle zeta ( infty) = 1}$.

Vztah mezi zeta v kladných sudých celých číslech a Bernoulliho čísly lze zapsat jako

${ displaystyle A_ {n} zeta (2n) = pi ^ {2n} B_ {n}}$

kde ${ displaystyle A_ {n}}$ a ${ displaystyle B_ {n}}$ jsou celá čísla pro všechna sudá ${ displaystyle n}$. Ty jsou dány celočíselnými sekvencemi OEIS: A002432 a OEIS: A046988v uvedeném pořadí OEIS. Některé z těchto hodnot jsou uvedeny níže:

Pokud to necháme ${ displaystyle eta _ {n} = B_ {n} / A_ {n}}$ být koeficientem ${ displaystyle pi ^ {2n}}$ jak je uvedeno výše,

${ displaystyle zeta (2n) = součet _ { ell = 1} ^ { infty} { frac {1} { ell ^ {2n}}} = eta _ {n} pi ^ {2n }}$

pak najdeme rekurzivně,

${ displaystyle { begin {seřazeno} eta _ {1} & = 1/6 eta _ {n} & = sum _ { ell = 1} ^ {n-1} (- 1) ^ { ell -1} { frac { eta _ {n- ell}} {(2 ell +1)!}} + (- 1) ^ {n + 1} { frac {n} {( 2n + 1)!}} End {zarovnáno}}}$

Tento vztah opakování lze odvodit od vztahu pro Bernoulliho čísla.

Existuje také další opakování:

${ displaystyle zeta (2n) = { frac {1} {n + { frac {1} {2}}}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} zeta (2k) zeta (2n-2k) quad { text {pro}} quad n> 1}$

což lze pomocí toho dokázat ${ displaystyle { frac {d} {dx}} cot (x) = - 1- cot ^ {2} (x)}$

Hodnoty funkce zeta na nezáporných sudých celých číslech mají generující funkce:

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} zeta (2n) x ^ {2n} = - { frac { pi x} {2}} cot ( pi x) = - { frac {1} {2}} + { frac { pi ^ {2}} {6}} x ^ {2} + { frac { pi ^ {4}} {90}} x ^ {4 } + { frac { pi ^ {6}} {945}} x ^ {6} + cdots}$

Od té doby

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} zeta (2n) = 1}$

Vzorec také ukazuje, že pro ${ displaystyle n in mathbb {N}, n rightarrow infty}$,

${ displaystyle left | B_ {2n} right | sim { frac {(2n)! , 2} {; ~ (2 pi) ^ {2n} ,}}}$

Zvláštní kladná celá čísla

Pro prvních pár lichých přirozených čísel jeden má

${ displaystyle zeta (1) = 1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + cdots = infty !}$

(dále jen harmonická řada );

${ displaystyle zeta (3) = 1 + { frac {1} {2 ^ {3}}} + { frac {1} {3 ^ {3}}} + cdots = 1,20205 dots !}$ (OEIS: A02117)

(Volala Apéryho konstanta a hraje roli v gyromagnetickém poměru elektronu)

${ displaystyle zeta (5) = 1 + { frac {1} {2 ^ {5}}} + { frac {1} {3 ^ {5}}} + cdots = 1,03692 dots !}$ (OEIS: A013663)

(Objeví se v Planckův zákon )

${ displaystyle zeta (7) = 1 + { frac {1} {2 ^ {7}}} + { frac {1} {3 ^ {7}}} + cdots = 1,00834 dots !}$ (OEIS: A013665)

${ displaystyle zeta (9) = 1 + { frac {1} {2 ^ {9}}} + { frac {1} {3 ^ {9}}} + cdots = 1,002008 dots !}$ (OEIS: A013667)

Je známo že ζ(3) je iracionální (Apéryho věta ) a to nekonečně mnoho čísel ζ(2n + 1) : n ∈ ℕ , jsou iracionální.^[1] Existují také výsledky o iracionalitě hodnot funkce Riemannova zeta u prvků určitých podmnožin kladných lichých celých čísel; například alespoň jeden z ζ(5), ζ(7), ζ(9) nebo ζ(11) je iracionální.^[2]

Kladná lichá celá čísla funkce zeta se objevují konkrétně ve fyzice korelační funkce antiferromagnetic XXX rotační řetěz.^[3]

Většinu níže uvedených identit poskytuje Simon Plouffe. Jsou pozoruhodné v tom, že konvergují poměrně rychle, přičemž na jednu iteraci dávají téměř tři číslice přesnosti, a jsou tedy užitečné pro vysoce přesné výpočty.

ζ(5)

Plouffe uvádí následující identity

${ displaystyle { begin {aligned} zeta (5) & = { frac {1} {294}} pi ^ {5} - { frac {72} {35}} sum _ {n = 1 } ^ { infty} { frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 pi n} -1)}} - { frac {2} {35}} sum _ {n = 1 } ^ { infty} { frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 pi n} +1)}} zeta (5) & = 12 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {5} sinh ( pi n)}} - { frac {39} {20}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 pi n} -1)}} - { frac {1} {20}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {5} (e ^ {2 pi n} +1)}} end {zarovnáno}}}$

ζ(7)

${ displaystyle zeta (7) = { frac {19} {56700}} pi ^ {7} -2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ { 7} (e ^ {2 pi n} -1)}} !}$

Součet má formu a Lambertova řada.

ζ(2n + 1)

Definováním množství

${ displaystyle S _ { pm} (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s} (e ^ {2 pi n} pm 1) }}}$

ve formě lze uvést řadu vztahů

${ displaystyle 0 = A_ {n} zeta (n) -B_ {n} pi ^ {n} + C_ {n} S _ {-} (n) + D_ {n} S _ {+} (n) ,}$

kde A_n, B_n, C_n a D_n jsou kladná celá čísla. Plouffe dává tabulku hodnot:

Tyto celočíselné konstanty mohou být vyjádřeny jako součty nad Bernoulliho čísly, jak je uvedeno v (Vepstas, 2006) níže.

Rychlý algoritmus pro výpočet Riemannovy funkce zeta pro jakýkoli celočíselný argument uvádí E. A. Karatsuba.^[4][5][6]

Záporná celá čísla

Obecně platí, že pro záporná celá čísla (a také nulu) má jeden

${ displaystyle zeta (-n) = (- 1) ^ {n} { frac {B_ {n + 1}} {n + 1}}}$

Takzvané „triviální nuly“ se vyskytují u záporných sudých celých čísel:

${ displaystyle zeta (-2n) = 0 ,}$ (Shrnutí Ramanujan )

Prvních několik hodnot pro záporná lichá celá čísla jsou

${ displaystyle { begin {zarovnáno} zeta (-1) & = - { frac {1} {12}} zeta (-3) & = { frac {1} {120}} zeta (-5) & = - { frac {1} {252}} zeta (-7) & = { frac {1} {240}} zeta (-9) & = - { frac {1} {132}} zeta (-11) & = { frac {691} {32760}} zeta (-13) & = - { frac {1} {12} } end {zarovnáno}}}$

Stejně jako Bernoulliho čísla, tyto nezůstávají malé pro stále záporné liché hodnoty. Podrobnosti o první hodnotě viz 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·.

Tak ζ(m) lze použít jako definici všech (včetně těch pro index 0 a 1) Bernoulliho čísel.

Deriváty

Derivát funkce zeta na záporných sudých celých číslech je dán vztahem

${ displaystyle zeta ^ { prime} (- 2n) = (- 1) ^ {n} { frac {(2n)!} {2 (2 pi) ^ {2n}}} zeta (2n + 1)}$

Prvních několik hodnot, které jsou

${ displaystyle { begin {zarovnáno} zeta ^ { prime} (- 2) & = - { frac { zeta (3)} {4 pi ^ {2}}} [6pt] zeta ^ { prime} (- 4) & = { frac {3} {4 pi ^ {4}}} zeta (5) [6pt] zeta ^ { prime} (- 6) & = - { frac {45} {8 pi ^ {6}}} zeta (7) [6pt] zeta ^ { prime} (- 8) & = { frac {315} {4 pi ^ {8}}} zeta (9) end {zarovnáno}}}$

Jeden také má

${ displaystyle zeta ^ { prime} (0) = - { frac {1} {2}} ln (2 pi) přibližně -0,918938533 ldots}$ (OEIS: A075700),

${ displaystyle zeta ^ { prime} (- 1) = { frac {1} {12}} - ln A přibližně -0,1654211437 ldots}$ (OEIS: A084448)

a

${ displaystyle zeta ^ { prime} (2) = { frac {1} {6}} pi ^ {2} ( gamma + ln 2-12 ln A + ln pi) cca - 0,93754825 ldots}$ (OEIS: A073002)

kde A je Konstanta Glaisher – Kinkelin.

Série zahrnující ζ(n)

Z generující funkce lze odvodit následující součty:

${ displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} zeta (k) x ^ {k-1} = - psi _ {0} (1-x) - gamma}$

kde ψ₀ je funkce digamma.

${ displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} ( zeta (k) -1) = 1}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} ( zeta (2k) -1) = { frac {3} {4}}}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} ( zeta (2k + 1) -1) = { frac {1} {4}}}$

${ displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} ( zeta (k) -1) = { frac {1} {2}}}$

Série související s Euler – Mascheroniho konstanta (označeno y) jsou

${ displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { zeta (k)} {k}} = gamma}$

${ displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} { frac { zeta (k) -1} {k}} = 1- gamma}$

${ displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { zeta (k) -1} {k}} = ln 2+ gamma -1}$

a pomocí hodnoty jistiny

${ displaystyle zeta (k) = lim _ { varepsilon až 0} { frac { zeta (k + varepsilon) + zeta (k- varepsilon)} {2}}}$

což samozřejmě ovlivňuje pouze hodnotu 1, lze tyto vzorce vyjádřit jako

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { zeta (k)} {k}} = 0}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { zeta (k) -1} {k}} = 0}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { zeta (k) -1} {k}} = ln 2}$

a ukázat, že závisí na hlavní hodnotě ζ(1) = y .

Netriviální nuly

Nuly Riemannovy zety s výjimkou záporných sudých celých čísel se nazývají „netriviální nuly“. Vidět Andrew Odlyzko webové stránky s jejich tabulkami a bibliografiemi.

Reference

Další čtení

• Ciaurri, Óscar; Navas, Luis M .; Ruiz, Francisco J .; Varona, Juan L. (květen 2015). "Jednoduchý výpočet ζ(2k)". Americký matematický měsíčník. 122 (5): 444–451. doi:10,4169 / amer.math.monthly.122.5.444. JSTOR  10,4169 / amer.math.monthly.122.5.444.
• Simon Plouffe, "Identity inspirované notebooky Ramanujan ", (1998).
• Simon Plouffe, "Identity inspirované notebooky Ramanujan část 2 PDF " (2006).
• Vepstas, Linas (2006). „Na Plouffe's Ramanujan Identities“ (PDF). arXiv:math.NT / 0609775.
• Zudilin, Wadim (2001). „Jedno z čísel ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) Je iracionální “. Ruské matematické průzkumy. 56: 774–776. Bibcode:2001RuMaS..56..774Z. doi:10.1070 / RM2001v056n04ABEH000427. PAN  1861452. PDF PDF rusky PS rusky
• Nontrival nulové reference od Andrew Odlyzko:
  • Bibliografie
  • Tabulky