Stieltjesovy konstanty - Stieltjes constants

Oblast modré oblasti konverguje k Euler – Mascheroniho konstanta, což je 0. konstanta Stieltjes.

v matematika, Stieltjesovy konstanty jsou čísla ${ displaystyle gamma _ {k}}$ které se vyskytují v Laurentova řada rozšíření Funkce Riemann zeta:

${ displaystyle zeta (s) = { frac {1} {s-1}} + sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n !}} gamma _ {n} (s-1) ^ {n}.}$

Konstanta ${ displaystyle gamma _ {0} = gamma = 0,577 tečky}$ je známý jako Euler – Mascheroniho konstanta.

Zastoupení

Stieltjesovy konstanty jsou dány omezit

${ displaystyle gamma _ {n} = lim _ {m rightarrow infty} { left { sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {( ln k) ^ {n} } {k}} - { frac {( ln m) ^ {n + 1}} {n + 1}} doprava }}.}$

(V případě n = 0, první součet vyžaduje vyhodnocení 0⁰, který je považován za 1.)

Cauchyho diferenciační vzorec vede k integrální reprezentaci

${ displaystyle gamma _ {n} = { frac {(-1) ^ {n} n!} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {- nix} zeta left (e ^ {ix} +1 right) dx.}$

Různá reprezentace, pokud jde o integrály a nekonečné řady, jsou uvedena v pracích Jensen, Franel, Poustevník, Hardy, Ramanujan, Ainsworth, Howell, Coppo, Connon, Coffey, Choi, Blagouchine a někteří další autoři.^{[1][2][3][4][5][6]} Zejména integrální vzorec Jensen-Franel, často mylně připisovaný Ainsworthovi a Howellovi, uvádí, že

${ displaystyle gamma _ {n} = { frac {1} {2}} delta _ {n, 0} + { frac {1} {i}} int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {e ^ {2 pi x} -1}} vlevo {{ frac {( ln (1-ix)) ^ {n}} {1-ix}} - { frac {( ln (1 + ix)) ^ {n}} {1 + ix}} doprava } ,, qquad quad n = 0,1,2, ldots}$

kde δ_{n, k} je Symbol Kronecker (delta Kronecker).^[5][6] Mezi jinými vzorci najdeme

${ displaystyle gamma _ {n} = - { frac { pi} {2 (n + 1)}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { vlevo ( ln left ({ frac {1} {2}} pm ix right) right) ^ {n + 1}} { cosh ^ {2} pi x}} , dx qquad qquad qquad qquad qquad qquad n = 0,1,2, ldots}$

${ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle gamma _ {1} = - left [ gamma - { frac { ln 2} {2}} right] ln 2 + i int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {e ^ { pi x} +1}} left {{ frac { ln (1-ix)} {1-ix}} - { frac { ln (1 + ix)} {1 + ix}} doprava } [6 mm] displaystyle gamma _ {1} = - gamma ^ {2} - int _ {0} ^ { infty} left [{ frac {1} {1-e ^ {- x}}} - { frac {1} {x}} right] e ^ {- x} ln x , dx end {pole}}}$

vidět.^[1][5][7]

Pokud jde o reprezentace sérií, byla dána slavná řada implikující celočíselnou část logaritmu Hardy v roce 1912^[8]

${ displaystyle gamma _ {1} = { frac { ln 2} {2}} součet _ {k = 2} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k }} lfloor log _ {2} {k} rfloor cdot left (2 log _ {2} {k} - lfloor log _ {2} {2k} rfloor right)}$

Israilov^[9] dal semi-konvergentní řady, pokud jde o Bernoulliho čísla ${ displaystyle B_ {2k}}$

${ displaystyle gamma _ {m} = součet _ {k = 1} ^ {n} { frac {( ln k) ^ {m}} {k}} - { frac {( ln n) ^ {m + 1}} {m + 1}} - { frac {( ln n) ^ {m}} {2n}} - sum _ {k = 1} ^ {N-1} { frac {B_ {2k}} {(2k)!}} Left [{ frac {( ln x) ^ {m}} {x}} right] _ {x = n} ^ {(2k-1) } - theta cdot { frac {B_ {2N}} {(2N)!}} vlevo [{ frac {( ln x) ^ {m}} {x}} doprava] _ {x = n} ^ {(2N-1)} ,, qquad 0 < theta <1}$

Connone,^[10] Blagouchine^[6][11] a Coppo^[1] dal několik sérií s binomické koeficienty

${ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle gamma _ {m} = - { frac {1} {m + 1}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n + 1}} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} ( ln (k + 1)) ^ { m + 1} [7 mm] displaystyle gamma _ {m} = - { frac {1} {m + 1}} součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n + 2}} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} { frac {( ln (k + 1)) ^ {m + 1}} {k + 1}} [7 mm] displaystyle gamma _ {m} = - { frac {1} {m + 1}} součet _ {n = 0} ^ { infty} H_ {n + 1} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} ( ln (k + 2)) ^ {m +1} [7 mm] displaystyle gamma _ {m} = součet _ {n = 0} ^ { infty} doleva | G_ {n + 1} doprava | součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} { frac {( ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}} end {pole }}}$

kde G_n jsou Gregoryho koeficienty, také známý jako vzájemná logaritmická čísla (G₁=+1/2, G₂=−1/12, G₃=+1/24, G₄= −19 / 720, ...). Obecnější řady stejné povahy zahrnují tyto příklady^[11]

${ displaystyle gamma _ {m} = - { frac {( ln (1 + a)) ^ {m + 1}} {m + 1}} + suma _ {n = 0} ^ { infty } (- 1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} { frac {( ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}}, quad Re (a)> - 1}$

a

${ displaystyle gamma _ {m} = - { frac {1} {r (m + 1)}} součet _ {l = 0} ^ {r-1} ( ln (1 + a + l) ) ^ {m + 1} + { frac {1} {r}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} N_ {n + 1, r} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} { frac {( ln (k + 1)) ^ {m}} {k +1}}, quad Re (a)> - 1, ; r = 1,2,3, ldots}$

nebo

${ displaystyle gamma _ {m} = - { frac {1} {{ tfrac {1} {2}} + a}} left {{ frac {(-1) ^ {m}} { m + 1}} , zeta ^ {(m + 1)} (0,1 + a) - (- 1) ^ {m} zeta ^ {(m)} (0) - součet _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} psi _ {n + 2} (a) sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} { frac {( ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}} doprava }, quad Re (a)> - 1}$

kde ψ_n(A) jsou Bernoulliho polynomy druhého druhu a N_{n, r}(A) jsou polynomy dané generující rovnicí

${ displaystyle { frac {(1 + z) ^ {a + m} - (1 + z) ^ {a}} { ln (1 + z)}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} N_ {n, m} (a) z ^ {n}, qquad | z | <1,}$

respektive (všimněte si toho N_{n, 1}(A) = ψ_n(A)).^[12]Oloa a Tauraso^[13] ukázal tu sérii s harmonická čísla může vést ke Stieltjesovým konstantám

${ displaystyle { begin {pole} {l} displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} - ( gamma + ln n)} {n}} = - gamma _ {1} - { frac {1} {2}} gamma ^ {2} + { frac {1} {12}} pi ^ {2} [6 mm] displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {2} - ( gamma + ln n) ^ {2}} {n}} = - gamma _ {2} - 2 gamma gamma _ {1} - { frac {2} {3}} gamma ^ {3} + { frac {5} {3}} zeta (3) end {pole}}}$

Blagouchine^[6] získané pomalu konvergentní řady zahrnující nepodepsané Stirlingova čísla prvního druhu${ displaystyle left [{ cdot na vrcholu cdot} vpravo]}$

${ displaystyle gamma _ {m} = { frac {1} {2}} delta _ {m, 0} + { frac {(-1) ^ {m} m!} { pi}} součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n cdot n!}} sum _ {k = 0} ^ { lfloor n / 2 rfloor} { frac {(- 1) ^ {k} cdot left [{2k + 2 atop m + 1} right] cdot left [{n atop 2k + 1} right]} {(2 pi) ^ {2k +1}}} ,, qquad m = 0,1,2, ...,}$

stejně jako semi-konvergentní řady pouze s racionálními pojmy

${ displaystyle gamma _ {m} = { frac {1} {2}} delta _ {m, 0} + (- 1) ^ {m} m! cdot sum _ {k = 1} ^ {N} { frac { left [{2k na vrcholu m + 1} right] cdot B_ {2k}} {(2k)!}} + Theta cdot { frac {(-1) ^ { m} m! cdot left [{2N + 2 na vrcholu m + 1} right] cdot B_ {2N + 2}} {(2N + 2)!}}, qquad 0 < theta <1, }$

kde m= 0,1,2, ... Zejména řada pro první Stieltjesovu konstantu má překvapivě jednoduchou formu

${ displaystyle gamma _ {1} = - { frac {1} {2}} sum _ {k = 1} ^ {N} { frac {B_ {2k} cdot H_ {2k-1}} {k}} + theta cdot { frac {B_ {2N + 2} cdot H_ {2N + 1}} {2N + 2}}, qquad 0 < theta <1,}$

kde H_n je nth harmonické číslo.^[6]Složitější série pro Stieltjesovy konstanty jsou uvedeny v pracích Lehmera, Lianga, Todda, Lavrika, Israilova, Stankuse, Keipera, Nan-You, Williamse, Coffeyho.^[2][3][6]

Hranice a asymptotický růst

Stieltjesovy konstanty uspokojují vázané

${ displaystyle | gamma _ {n} | leq { begin {cases} displaystyle { frac {2 (n-1)!} { pi ^ {n}}} ,, qquad & n = 1 , 3,5, ldots [3mm] displaystyle { frac {4 (n-1)!} { Pi ^ {n}}} ,, qquad & n = 2,4,6, ldots end {případy}}}$

daný Berndtem v roce 1972.^[14] Lepší hranice, pokud jde o elementární funkce, získal Lavrik^[15]

${ displaystyle | gamma _ {n} | leq { frac {n!} {2 ^ {n + 1}}}, qquad n = 1,2,3, ldots}$

od Israilova^[9]

${ displaystyle | gamma _ {n} | leq { frac {n! C (k)} {(2k) ^ {n}}}, qquad n = 1,2,3, ldots}$

s k= 1,2, ... a C(1)=1/2, C(2) = 7/12, ..., Nan-You a Williams^[16]

${ displaystyle | gamma _ {n} | leq { begin {cases} displaystyle { frac {2 (2n)!} {n ^ {n + 1} (2 pi) ^ {n}}} ,, qquad & n = 1,3,5, ldots [4mm] displaystyle { frac {4 (2n)!} {n ^ {n + 1} (2 pi) ^ {n}} } ,, qquad & n = 2,4,6, ldots end {cases}}}$

Blagouchine^[6]

${ displaystyle { begin {array} {ll} displaystyle - { frac {{ big |} {B} _ {m + 1} { big |}} {m + 1}} < gamma _ { m} <{ frac {(3m + 8) cdot { big |} {B} _ {m + 3} { big |}} {24}} - { frac {{ big |} {B } _ {m + 1} { big |}} {m + 1}}, & m = 1,5,9, ldots [12pt] displaystyle { frac {{ big |} B_ {m + 1} { big |}} {m + 1}} - { frac {(3m + 8) cdot { big |} B_ {m + 3} { big |}} {24}} < gamma _ {m} <{ frac {{ big |} {B} _ {m + 1} { big |}} {m + 1}}, & m = 3,7,11, ldots [12 bodů ] displaystyle - { frac {{ big |} {B} _ {m + 2} { big |}} {2}} < gamma _ {m} <{ frac {(m + 3) ( m + 4) cdot { big |} {B} _ {m + 4} { big |}} {48}} - { frac {{ big |} B_ {m + 2} { big | }} {2}}, qquad & m = 2,6,10, ldots [12pt] displaystyle { frac {{ big |} {B} _ {m + 2} { big |}} {2}} - { frac {(m + 3) (m + 4) cdot { big |} {B} _ {m + 4} { big |}} {48}} < gamma _ { m} <{ frac {{ big |} {B} _ {m + 2} { big |}} {2}}, a m = 4,8,12, ldots end {pole}} }$

kde B_n jsou Bernoulliho čísla a Matsuoka^[17][18]

${ displaystyle | gamma _ {n} | <10 ^ {- 4} e ^ {n ln ln n} ,, qquad n = 5,6,7, ldots}$

Pokud jde o odhady využívající neelementární funkce a řešení, Knessl, Coffey^[19] a Fekih-Ahmed^[20] získal docela přesné výsledky. Například Knessl a Coffey dávají následující vzorec, který relativně dobře přibližuje Stieltjesovy konstanty pro velké n.^[19] Li proti je jedinečné řešení

${ displaystyle 2 pi exp (v tan v) = n { frac { cos (v)} {v}}}$

s ${ displaystyle 0$, a pokud ${ displaystyle u = v tan v}$, pak

${ displaystyle gamma _ {n} sim { frac {B} { sqrt {n}}} e ^ {nA} cos (an + b)}$

kde

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} ln (u ^ {2} + v ^ {2}) - { frac {u} {u ^ {2} + v ^ {2}} }}$

${ displaystyle B = { frac {2 { sqrt {2 pi}} { sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}} {[(u + 1) ^ {2} + v ^ {2}] ^ {1/4}}}}$

${ displaystyle a = tan ^ {- 1} left ({ frac {v} {u}} right) + { frac {v} {u ^ {2} + v ^ {2}}}}$

${ displaystyle b = tan ^ {- 1} left ({ frac {v} {u}} right) - { frac {1} {2}} left ({ frac {v} {u +1}} vpravo).}$

Až n = 100 000 Knessl-Coffeyova aproximace správně předpovídá znaménko γ_n s jedinou výjimkou n = 137.^[19]

Číselné hodnoty

Prvních několik hodnot je:

n	přibližná hodnota γn	OEIS
0	+0.5772156649015328606065120900824024310421593359	A001620
1	−0.0728158454836767248605863758749013191377363383	A082633
2	−0.0096903631928723184845303860352125293590658061	A086279
3	+0.0020538344203033458661600465427533842857158044	A086280
4	+0.0023253700654673000574681701775260680009044694	A086281
5	+0.0007933238173010627017533348774444448307315394	A086282
6	−0.0002387693454301996098724218419080042777837151	A183141
7	−0.0005272895670577510460740975054788582819962534	A183167
8	−0.0003521233538030395096020521650012087417291805	A183206
9	−0.0000343947744180880481779146237982273906207895	A184853
10	+0.0002053328149090647946837222892370653029598537	A184854
100	−4.2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000	−1.5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000	−2.2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000	+1.9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432

Pro velké n, Stieltjesovy konstanty rychle rostou v absolutní hodnotě a mění znaménka ve složitém vzoru.

Další informace týkající se numerického vyhodnocení Stieltjesových konstant lze nalézt v dílech Keipera,^[21] Kreminski,^[22] Plouffe,^[23] Johansson^[24][25] a Blagouchine.^[25] Nejprve Johansson poskytl hodnoty Stieltjesových konstant až do n = 100000, s přesností na více než 10 000 číslic (číselné hodnoty lze načíst z LMFDB [1]. Později Johansson a Blagouchine vymysleli obzvláště efektivní algoritmus pro výpočet zobecněných Stieltjesových konstant pro velké (viz níže) n a komplexní A, které lze také použít pro běžné Stieltjesovy konstanty.^[25] Zejména umožňuje výpočet y_n až 1000 číslic za minutu pro libovolné n až do n=10¹⁰⁰.

Zobecněné Stieltjesovy konstanty

Obecná informace

Obecněji lze definovat Stieltjesovy konstanty γ_na) které se vyskytují v EU; Laurentova řada rozšíření Funkce Hurwitz zeta:

${ displaystyle zeta (s, a) = { frac {1} {s-1}} + součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n!}} gamma _ {n} (a) (s-1) ^ {n}.}$

Tady A je komplexní číslo s Re (A)> 0. Protože Hurwitzova zeta funkce je zobecněním Riemannovy zeta funkce, máme γ_n(1) = γ_n Nultá konstanta je jednoduše funkce digamma y₀(a) = - Ψ (a),^[26] zatímco o jiných konstantách není známo, že by byly redukovatelné na jakoukoli elementární nebo klasickou analytickou funkci. Přesto pro ně existuje řada zastoupení. Například existuje následující asymptotická reprezentace

${ displaystyle gamma _ {n} (a) = lim _ {m až infty} vlevo { součet _ {k = 0} ^ {m} { frac {( ln (k + a )) ^ {n}} {k + a}} - { frac {( ln (m + a)) ^ {n + 1}} {n + 1}} doprava }, qquad { začátek {pole} {l} n = 0,1,2, ldots [1 mm] a neq 0, -1, -2, ldots end {pole}}}$

kvůli Berndtovi a Wiltonovi. Analogem Jensen-Franelova vzorce pro zobecněnou Stieltjesovu konstantu je Poustevník vzorec^[5]

${ displaystyle gamma _ {n} (a) = left [{ frac {1} {2a}} - { frac { ln {a}} {n + 1}} right] ( ln a ) ^ {n} -i int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {e ^ {2 pi x} -1}} left {{ frac {( ln (a -ix)) ^ {n}} {a-ix}} - { frac {( ln (a + ix)) ^ {n}} {a + ix}} doprava }, qquad { začátek {pole} {l} n = 0,1,2, ldots [1mm] Re (a)> 0 end {pole}}}$

Podobné reprezentace jsou dány následujícími vzorci:^[25]

${ displaystyle gamma _ {n} (a) = - { frac {{ big (} ln (a - { frac {1} {2}}) { big)} ^ {n + 1} } {n + 1}} + i int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {e ^ {2 pi x} +1}} left {{ frac {{ big (} ln (a - { frac {1} {2}} - ix) { big)} ^ {n}} {a - { frac {1} {2}} - ix}} - { frac {{ big (} ln (a - { frac {1} {2}} + ix) { big)} ^ {n}} {a - { frac {1} {2}} + ix }} right }, qquad { begin {pole} {l} n = 0,1,2, ldots [1mm] Re (a)> { frac {1} {2}} konec {pole}}}$

a

${ displaystyle gamma _ {n} (a) = - { frac { pi} {2 (n + 1)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {{ big (} ln (a - { frac {1} {2}} - ix) { big)} ^ {n + 1} + { big (} ln (a - { frac {1} {2}} + ix) { big)} ^ {n + 1}} {{ big (} cosh ( pi x) { big)} ^ {2}}} , dx, qquad { begin {pole } {l} n = 0,1,2, ldots [1mm] Re (a)> { frac {1} {2}} end {pole}}}$

Zobecněné konstanty Stieltjes splňují následující relaci opakování

${ displaystyle gamma _ {n} (a + 1) = gamma _ {n} (a) - { frac {( ln a) ^ {n}} {a}} ,, qquad { začátek {pole} {l} n = 0,1,2, ldots [1 mm] a neq 0, -1, -2, ldots end {pole}}}$

stejně jako věta o násobení

${ displaystyle sum _ {l = 0} ^ {n-1} gamma _ {p} left (a + { frac {l} {n}} right) = (- 1) ^ {p} n left [{ frac { ln n} {p + 1}} - Psi (an) right] ( ln n) ^ {p} + n sum _ {r = 0} ^ {p-1 } (- 1) ^ {r} { binom {p} {r}} gamma _ {pr} (an) cdot ( ln n) ^ {r} ,, qquad qquad n = 2, 3,4, ldots}$

kde ${ displaystyle { binom {p} {r}}}$ označuje binomický koeficient (vidět^[27] a,^[28] 101–102).

První zobecněná Stieltjesova konstanta

První zobecněná Stieltjesova konstanta má řadu pozoruhodných vlastností.

• Malmstenova identita (odrazový vzorec pro první zobecněné Stieltjesovy konstanty): odrazový vzorec pro první zobecněnou Stieltjesovu konstantu má následující podobu

${ displaystyle gamma _ {1} { biggl (} { frac {m} {n}} { biggr)} - gamma _ {1} { biggl (} 1 - { frac {m} { n}} { biggr)} = 2 pi sum _ {l = 1} ^ {n-1} sin { frac {2 pi ml} {n}} cdot ln Gamma { biggl (} { frac {l} {n}} { biggr)} - pi ( gamma + ln 2 pi n) cot { frac {m pi} {n}}}$

kde m a n jsou kladná celá čísla taková, že m<nTento vzorec byl dlouho přičítán Almkvistovi a Meurmanovi, kteří jej odvodili v 90. letech.^[29] Nedávno však bylo oznámeno, že tuto identitu, i když v poněkud odlišné podobě, získal nejprve Carl Malmsten v roce 1846.^[5][30]

• Věta o racionálních argumentech: první zobecněná Stieltjesova konstanta při racionálním argumentu může být hodnocena v kvazi-uzavřené formě pomocí následujícího vzorce

${ displaystyle { begin {array} {ll} displaystyle gamma _ {1} { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr)} = & displaystyle gamma _ {1} + gamma ^ {2} + gamma ln 2 pi m + ln 2 pi cdot ln {m} + { frac {1} {2}} ( ln m) ^ {2} + ( gamma + ln 2 pi m) cdot Psi left ({ frac {r} {m}} right) [5mm] displaystyle & displaystyle qquad + pi sum _ {l = 1} ^ {m-1} sin { frac {2 pi rl} {m}} cdot ln Gamma { biggl (} { frac {l} {m}} { biggr)} + sum _ {l = 1} ^ {m-1} cos { frac {2 pi rl} {m}} cdot zeta '' left (0, { frac {l} {m} } right) end {array}} ,, qquad quad r = 1,2,3, ldots, m-1 ,.}$

viz Blagouchine.^[5][26] Alternativní důkaz později navrhl Coffey^[31] a několik dalších autorů.

• Konečné shrnutí: existuje řada součtových vzorců pro první zobecněné Stieltjesovy konstanty. Například,

${ displaystyle { begin {array} {ll} displaystyle sum _ {r = 0} ^ {m-1} gamma _ {1} left (a + { frac {r} {m}} right ) = m ln {m} cdot Psi (am) - { frac {m} {2}} ( ln m) ^ {2} + m gamma _ {1} (am) ,, qquad a in mathbb {C} [6mm] displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} gamma _ {1} left ({ frac {r} {m}} vpravo) = (m-1) gamma _ {1} -m gamma ln {m} - { frac {m} {2}} ( ln m) ^ {2} [6 mm] displaystyle sum _ {r = 1} ^ {2m-1} (- 1) ^ {r} gamma _ {1} { biggl (} { frac {r} {2m}} { biggr)} = - gamma _ {1} + m (2 gamma + ln 2 + 2 ln m) ln 2 [6mm] displaystyle sum _ {r = 0} ^ {2m-1} (- 1) ^ {r} gamma _ {1} { biggl (} { frac {2r + 1} {4m}} { biggr)} = m left {4 pi ln Gamma { biggl (} { frac {1} {4}} { biggr)} - pi { big (} 4 ln 2 + 3 ln pi + ln m + gamma { big)} vpravo } [6mm] displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} gamma _ {1} { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr)} cdot cos { dfrac {2 pi rk} {m}} = - gamma _ {1} + m ( gamma + ln 2 pi m) ln left (2 sin { frac {k pi} { m}} right) + { frac {m} {2}} left { zeta '' left (0, { frac {k} {m}} right) + zeta '' left (0,1 - { frac {k} {m}} doprava) doprava } ,, qquad k = 1,2, ld ots, m-1 [6mm] displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} gamma _ {1} { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr )} cdot sin { dfrac {2 pi rk} {m}} = { frac { pi} {2}} ( gamma + ln 2 pi m) (2k-m) - { frac { pi m} {2}} left { ln pi - ln sin { frac {k pi} {m}} right } + m pi ln Gamma { biggl (} { frac {k} {m}} { biggr)} ,, qquad k = 1,2, ldots, m-1 [6mm] displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} gamma _ {1} { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr)} cdot cot { frac { pi r} {m}} = displaystyle { frac { pi} {6}} { Big {} (1-m) (m-2) gamma +2 (m ^ {2} -1) ln 2 pi - (m ^ { 2} +2) ln {m} { Big }} - 2 pi sum _ {l = 1} ^ {m-1} l cdot ln Gamma left ({ frac {l} {m}} right) [6mm] displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} { frac {r} {m}} cdot gamma _ {1} { biggl ( } { frac {r} {m}} { biggr)} = { frac {1} {2}} left {(m-1) gamma _ {1} -m gamma ln {m } - { frac {m} {2}} ( ln m) ^ {2} right } - { frac { pi} {2m}} ( gamma + ln 2 pi m) součet _ {l = 1} ^ {m-1} l cdot cot { frac { pi l} {m}} - { frac { pi} {2}} sum _ {l = 1} ^ {m-1} cot { frac { pi l} {m}} cdot ln Gamma { biggl (} { frac {l} {m}} { biggr)} end {pole} }}$

Další podrobnosti a další součtové vzorce viz.^[5][28]

• Některé konkrétní hodnoty: některé konkrétní hodnoty první zobecněné Stieltjesovy konstanty při racionálních argumentech lze snížit na funkce gama, první Stieltjesovy konstantní a elementární funkce. Například,

${ displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {1} {2}} right) = - 2 gamma ln 2 - ( ln 2) ^ {2} + gamma _ {1} = -1,353459680 ldots}$

V bodech 1/4, 3/4 a 1/3 Connon nezávisle získal hodnoty prvních zobecněných Stieltjesových konstant^[32] a Blagouchine^[28]

${ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {1} {4}} right) = 2 pi ln gamma left ({ frac {1} {4}} vpravo) - { frac {3 pi} {2}} ln pi - { frac {7} {2}} ( ln 2) ^ {2} - (3 gamma +2 pi) ln 2 - { frac { gamma pi} {2}} + gamma _ {1} = - 5,518076350 ldots [6 mm] displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {3} {4}} right) = - 2 pi ln Gamma left ({ frac {1} {4}} right) + { frac {3 pi} { 2}} ln pi - { frac {7} {2}} ( ln 2) ^ {2} - (3 gamma -2 pi) ln 2 + { frac { gamma pi} {2}} + gamma _ {1} = - 0,3912989024 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {1} {3}} right) = - { frac {3 gamma} {2}} ln 3 - { frac {3} {4}} ( ln 3) ^ {2} + { frac { pi} {4 { sqrt {3}}} } left { ln 3-8 ln 2 pi -2 gamma +12 ln Gamma left ({ frac {1} {3}} right) right } + gamma _ { 1} = - 3,259557515 ldots end {pole}}}$

V bodech 2/3, 1/6 a 5/6

${ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {2} {3}} right) = - { frac {3 gamma} {2}} ln 3 - { frac {3} {4}} ( ln 3) ^ {2} - { frac { pi} {4 { sqrt {3}}}} vlevo { ln 3- 8 ln 2 pi -2 gamma +12 ln Gamma left ({ frac {1} {3}} right) right } + gamma _ {1} = - 0,5989062842 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {1} {6}} right) = - { frac {3 gamma} {2}} ln 3 - { frac {3 } {4}} ( ln 3) ^ {2} - ( ln 2) ^ {2} - (3 ln 3 + 2 gamma) ln 2 + { frac {3 pi { sqrt { 3}}} {2}} ln Gamma left ({ frac {1} {6}} right) [5mm] displaystyle qquad qquad quad - { frac { pi} { 2 { sqrt {3}}}} vlevo {3 ln 3 + 11 ln 2 + { frac {15} {2}} ln pi +3 gamma right } + gamma _ {1} = - 10,74258252 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {5} {6}} right) = - { frac {3 gamma} {2} } ln 3 - { frac {3} {4}} ( ln 3) ^ {2} - ( ln 2) ^ {2} - (3 ln 3 + 2 gamma) ln 2- { frac {3 pi { sqrt {3}}} {2}} ln Gamma left ({ frac {1} {6}} right) [6mm] displaystyle qquad qquad quad + { frac { pi} {2 { sqrt {3}}}} vlevo {3 ln 3 + 11 ln 2 + { frac {15} {2}} ln pi +3 gama right } + gamma _ {1} = - 0,2461690038 ldots end {pole}}}$

Tyto hodnoty vypočítal Blagouchine.^[28] Stejnému autorovi také patří

${ displaystyle { begin {array} {ll} displaystyle gamma _ {1} { biggl (} { frac {1} {5}} { biggr)} = & displaystyle gamma _ {1} + { frac { sqrt {5}} {2}} left { zeta '' left (0, { frac {1} {5}} right) + zeta '' left (0 , { frac {4} {5}} vpravo) vpravo } + { frac { pi { sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}}} {2}} ln Gamma { biggl (} { frac {1} {5}} { biggr)} [5 mm] & displaystyle + { frac { pi { sqrt {10-2 { sqrt {5}}} }} {2}} ln Gamma { biggl (} { frac {2} {5}} { biggr)} + ​​ left {{ frac { sqrt {5}} {2}} ln {2} - { frac { sqrt {5}} {2}} ln { big (} 1 + { sqrt {5}} { big)} - { frac {5} {4} } ln 5 - { frac { pi { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}}} {10}} right } cdot gamma [5 mm] & displaystyle - { frac { sqrt {5}} {2}} left { ln 2+ ln 5+ ln pi + { frac { pi { sqrt {25-10 { sqrt {5}} }}} {10}} doprava } cdot ln { big (} 1 + { sqrt {5}}) + { frac { sqrt {5}} {2}} ( ln 2) ^ {2} + { frac {{ sqrt {5}} { big (} 1 - { sqrt {5}} { big)}} {8}} ( ln 5) ^ {2} [5mm] & displaystyle + { frac {3 { sqrt {5}}} {4}} ln 2 cdot ln 5 + { frac { sqrt {5}} {2}} ln 2 cdot ln pi + { frac { sqrt {5}} {4}} ln 5 cdot ln pi - { frac { pi { big (} 2 { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} + 5 { sqrt {25 + 2 { sqrt {5}} }} { big)}} {20}} ln 2 [5mm] & displaystyle - { frac { pi { big (} 4 { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}} }} - 5 { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} { big)}} {40}} ln 5 - { frac { pi { big (} 5 { sqrt { 5 + 2 { sqrt {5}}}} + { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} { big)}} {10}} ln pi [5 mm] & displaystyle = -8.030205511 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} { biggl (} { frac {1} {8}} { biggr)} = & displaystyle gamma _ {1} + { sqrt {2}} left { zeta '' left (0, { frac {1} {8}} right) + zeta '' left (0, { frac {7} { 8}} right) right } + 2 pi { sqrt {2}} ln Gamma { biggl (} { frac {1} {8}} { biggr)} - pi { sqrt {2}} { big (} 1 - { sqrt {2}} { big)} ln Gamma { biggl (} { frac {1} {4}} { biggr)} [5mm] & displaystyle - left {{ frac {1 + { sqrt {2}}} {2}} pi +4 ln {2} + { sqrt {2}} ln { big (} 1 + { sqrt {2}} { big)} right } cdot gamma - { frac {1} { sqrt {2}}} { big (} pi +8 ln 2 + 2 ln pi { big)} cdot ln { big (} 1 + { sqrt {2}}) [5mm] & displaystyle - { frac {7 { big ( } 4 - { sqrt {2}} { big)}} {4}} ( ln 2) ^ {2} + { frac {1} { sqrt {2}}} ln 2 cdot ln pi - { frac { pi { big (} 10 + 11 { sqrt {2}} { big)}} {4}} ln 2 - { frac { pi { big (} 3 + 2 { sqrt {2}} { big)}} {2}} ln pi [5mm] & displaystyle = -16,64171976 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} { biggl (} { frac {1} {12}} { biggr)} = & displaystyle gamma _ {1} + { sqrt {3}} left { zeta '' left (0, { frac {1} {12}} right) + zeta '' left (0, { frac {11} {12}} right) right } + 4 pi ln Gamma { biggl (} { frac {1} {4}} { biggr)} + ​​3 pi { sqrt {3}} ln Gamma { biggl (} { frac {1} {3}} { biggr)} [5 mm] & displaystyle - left {{ frac { 2 + { sqrt {3}}} {2}} pi + { frac {3} {2}} ln 3 - { sqrt {3}} (1 - { sqrt {3}}) ln {2} +2 { sqrt {3}} ln { big (} 1 + { sqrt {3}} { big)} right } cdot gamma [5 mm] & displaystyle -2 { sqrt {3}} { big (} 3 ln 2+ ln 3+ ln pi { big)} cdot ln { big (} 1 + { sqrt {3}} ) - { frac {7-6 { sqrt {3}}} {2}} ( ln 2) ^ {2} - { frac {3} {4}} ( ln 3) ^ {2} [5mm] & displaystyle + { frac {3 { sqrt {3}} (1 - { sqrt {3}})} {2}} ln 3 cdot ln 2 + { sqrt { 3}} ln 2 cdot ln pi - { frac { pi { big (} 17 +8 { sqrt {3}} { big)}} {2 { sqrt {3}}}} ln 2 [5 mm] & displaystyle + { frac { pi { big (} 1 - { sqrt {3}} { big)} { sqrt {3}}} {4}} ln 3- pi { sqrt {3}} (2 + { sqrt {3}}) ln pi = -29,84287823 ldots end {pole}}}$

Druhá zobecněná Stieltjesova konstanta

Druhá zobecněná Stieltjesova konstanta je mnohem méně studovaná než první konstanta. Podobně jako u první zobecněné Stieltjesovy konstanty lze druhou zobecněnou Stieltjesovu konstantu při racionálním argumentu vyhodnotit pomocí následujícího vzorce

${ displaystyle { begin {array} {rl} displaystyle gamma _ {2} { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr)} = gamma _ {2} + { frac {2} {3}} sum _ {l = 1} ^ {m-1} cos { frac {2 pi rl} {m}} cdot zeta '' ' left (0, { frac {l} {m}} vpravo) -2 ( gamma + ln 2 pi m) sum _ {l = 1} ^ {m-1} cos { frac {2 pi rl} {m}} cdot zeta '' left (0, { frac {l} {m}} right) [6mm] displaystyle quad + pi sum _ {l = 1} ^ { m-1} sin { frac {2 pi rl} {m}} cdot zeta '' left (0, { frac {l} {m}} right) -2 pi ( gamma + ln 2 pi m) sum _ {l = 1} ^ {m-1} sin { frac {2 pi rl} {m}} cdot ln Gamma { biggl (} { frac {l} {m}} { biggr)} - 2 gamma _ {1} ln {m} [6 mm] displaystyle quad - gamma ^ {3} - vlevo [( gamma + ln 2 pi m) ^ {2} - { frac { pi ^ {2}} {12}} vpravo] cdot Psi { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr)} + ​​{ frac { pi ^ {3}} {12}} cot { frac { pi r} {m}} - gamma ^ {2} ln { big (} 4 pi ^ {2} m ^ {3} { big)} + { frac { pi ^ {2}} {12}} ( gamma + ln {m}) [6 mm] displaystyle quad - gamma { big (} ( ln 2 pi) ^ {2} +4 ln m cdot ln 2 pi +2 ( ln m) ^ {2} { big)} - vlevo {( ln 2 pi) ^ {2} +2 ln 2 pi cdot ln m + { frac { 2} {3}} ( ln m) ^ {2} vpravo } ln m end {pole}} ,, qquad quad r = 1,2,3, ldots, m-1. }$

viz Blagouchine.^[5]Ekvivalentní výsledek později získal Coffey jinou metodou.^[31]

Reference