Stirlingova čísla prvního druhu - Stirling numbers of the first kind

v matematika, speciálně v kombinatorika, Stirlingova čísla prvního druhu vznikají při studiu permutací. Zejména se počítají Stirlingova čísla prvního druhu obměny podle jejich počtu cykly (počítání pevných bodů jako cyklů délky jedna).

(Stirlingova čísla prvního a druhý druh lze chápat jako vzájemné inverze při pohledu jako trojúhelníkové matice. Tento článek je věnován specifikům Stirlingových čísel prvního druhu. Identity spojující tyto dva druhy se objevují v článku Stirlingova čísla obecně.)

Definice

Původní definice Stirlingových čísel prvního druhu byla algebraická:^{[Citace je zapotřebí ]} jsou to koeficienty s(n, k) při rozšiřování klesající faktoriál

${ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) cdots (x-n + 1)}$

do mocnin proměnné X:

${ displaystyle (x) _ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} s (n, k) x ^ {k},}$

Například, ${ displaystyle (x) _ {3} = x (x-1) (x-2) = 1 cdot x ^ {3} -3 cdot x ^ {2} +2 cdot x}$, což vede k hodnotám ${ displaystyle s (3,3) = 1}$, ${ displaystyle s (3,2) = - 3}$, a ${ displaystyle s (3,1) = 2}$.

Následně bylo zjištěno, že absolutní hodnoty |s(n, k) | z těchto čísel se rovná počtu obměny určitých druhů. Tyto absolutní hodnoty, které jsou známé jako nepodepsaná Stirlingova čísla prvního druhu, jsou často označovány ${ displaystyle c (n, k)}$ nebo ${ displaystyle left [{n nahoře k} right]}$. Mohou být přímo definovány jako počet obměny z n prvky s k disjunktní cykly. Například z ${ displaystyle 3! = 6}$ permutace tří prvků, existuje jedna permutace se třemi cykly ( permutace identity, uvedeny v jednorázová notace podle ${ displaystyle 123}$ nebo v cyklická notace podle ${ displaystyle (1) (2) (3)}$), tři permutace se dvěma cykly (${ displaystyle 132 = (1) (23)}$, ${ displaystyle 213 = (12) (3)}$, a ${ displaystyle 321 = (13) (2)}$) a dvě permutace s jedním cyklem (${ displaystyle 312 = (132)}$ a ${ displaystyle 231 = (123)}$). Tím pádem, ${ displaystyle left [{3 na vrcholu 3} right] = 1}$, ${ displaystyle left [{3 na vrcholu 2} right] = 3}$ a ${ displaystyle left [{3 na vrcholu 1} right] = 2}$. Je vidět, že souhlasí s předchozím výpočtem ${ displaystyle s (n, k)}$ pro ${ displaystyle n = 3}$.

Nepodepsaná Stirlingova čísla mohou být také definována algebraicky jako koeficienty rostoucí faktoriál:

${ displaystyle x ^ { overline {n}} = x (x + 1) cdots (x + n-1) = sum _ {k = 0} ^ {n} left [{n na vrcholu k} right] x ^ {k}}$.

Zápisy používané na této stránce pro Stirlingova čísla nejsou univerzální a mohou být v rozporu s poznámkami v jiných zdrojích. (Notace hranatých závorek ${ displaystyle left [{n na vrcholu k} right]}$ je také běžná notace pro Gaussovy koeficienty.)

Další příklad

s (4,2) = 11

Obrázek vpravo to ukazuje ${ displaystyle left [{4 na vrcholu 2} right] = 11}$: symetrická skupina na 4 objektech má 3 permutace formuláře

${ displaystyle ( bullet bullet) ( bullet bullet)}$ (mající 2 oběžné dráhy, každá o velikosti 2),

a 8 permutací formuláře

${ displaystyle ( bullet bullet bullet) ( bullet)}$ (s 1 oběžnou dráhou velikosti 3 a 1 oběžnou dráhou velikosti 1).

Znamení

Znaky (podepsaných) Stirlingových čísel prvního druhu jsou předvídatelné a závisí na paritě n − k. Zejména,

${ displaystyle s (n, k) = (- 1) ^ {n-k} vlevo [{n nahoře k} vpravo].}$

Vztah opakování

Nepodepsaná Stirlingova čísla prvního druhu lze vypočítat podle relace opakování

${ displaystyle left [{n + 1 nahoře k} doprava] = n doleva [{n nahoře k} doprava] + doleva [{n nahoře k-1} doprava]}$

pro ${ displaystyle k> 0}$s původními podmínkami

${ displaystyle left [{0 atop 0} right] = 1 quad { mbox {and}} quad left [{n atop 0} right] = left [{0 atop n} right] = 0}$

pro n > 0.

Z toho okamžitě vyplývá, že (podepsaná) Stirlingova čísla prvního druhu uspokojují opakování

${ displaystyle s (n + 1, k) = - n cdot s (n, k) + s (n, k-1)}$.

Tabulka hodnot

Níže je a trojúhelníkové pole nepodepsaných hodnot pro Stirlingova čísla prvního druhu, podobné ve formě Pascalův trojúhelník. Tyto hodnoty lze snadno generovat pomocí relace opakování v předchozí části.

Vlastnosti

Jednoduché identity

Všimněte si, že ačkoli

${ displaystyle left [{0 na vrcholu 0} right] = 1}$, my máme ${ displaystyle left [{n na vrcholu 0} right] = 0}$ -li n > 0

a

${ displaystyle left [{0 atop k} right] = 0}$ -li k > 0 nebo obecněji ${ displaystyle left [{n atop k} right] = 0}$ -li k > n.

Taky

${ displaystyle left [{n atop 1} right] = (n-1)!, quad left [{n atop n} right] = 1, quad left [{n atop n -1} right] = {n vyberte 2},}$

a

${ displaystyle left [{n atop n-2} right] = { frac {1} {4}} (3n-1) {n vyberte 3} quad { mbox {a}} quad left [{n atop n-3} right] = {n select 2} {n choose 4}.}$

Podobné vztahy zahrnující Stirlingova čísla platí i pro Bernoulliho polynomy. Mnoho vztahů pro Stirlingova čísla zastíní podobné vztahy na binomické koeficienty. Studium těchto „stínových vztahů“ se nazývá pupeční kalkul a vrcholí teorií Shefferovy sekvence. Zobecnění Stirlingova čísla obou druhů na libovolné komplexně oceněné vstupy lze rozšířit prostřednictvím vztahů těchto trojúhelníků k Stirlingovy konvoluční polynomy.^[1]

Další vztahy

Rozšíření pro pevné k

Protože Stirlingova čísla jsou koeficienty polynomu s kořeny 0, 1, ..., n − 1, jeden má Vietiny vzorce že

$${ displaystyle left [{ begin {matrix} n nk end {matrix}} right] = sum _ {0 leq i_ {1}$$

Jinými slovy, Stirlingova čísla prvního druhu jsou dána vztahem elementární symetrické polynomy hodnoceno na 0, 1, ..., n − 1.^[2] V této formě mají formu výše uvedené jednoduché identity

$${ displaystyle left [{ begin {matrix} n n-1 end {matrix}} right] = součet _ {i = 0} ^ {n-1} i = { binom {n} {2}},}$$

$${ displaystyle left [{ begin {matrix} n n-2 end {matrix}} right] = součet _ {i = 0} ^ {n-1} součet _ {j = 0} ^ {i-1} ij = { frac {3n-1} {4}} { binom {n} {3}},}$$

$${ displaystyle left [{ begin {matrix} n n-3 end {matrix}} right] = součet _ {i = 0} ^ {n-1} součet _ {j = 0} ^ {i-1} sum _ {k = 0} ^ {j-1} ijk = { binom {n} {2}} { binom {n} {4}},}$$

Lze vytvořit alternativní formy pro Stirlingova čísla prvního druhu s podobným přístupem, kterému předchází nějaká algebraická manipulace: od

${ displaystyle (x + 1) (x + 2) cdots (x + n-1) = (n-1)! cdot (x + 1) left ({ frac {x} {2}} + 1 right) cdots left ({ frac {x} {n-1}} + 1 right),}$

vyplývá z Newtonovy vzorce že jeden může rozšířit Stirlingova čísla prvního druhu, pokud jde o zobecněné harmonické čísla. Tím se získají identity jako

${ displaystyle left [{n na vrcholu 2} right] = (n-1)! ; H_ {n-1},}$

${ displaystyle left [{n na vrcholu 3} right] = { frac {1} {2}} (n-1)! left [(H_ {n-1}) ^ {2} -H_ { n-1} ^ {(2)} vpravo]}$

${ displaystyle left [{n na vrcholu 4} right] = { frac {1} {3!}} (n-1)! left [(H_ {n-1}) ^ {3} -3H_ {n-1} H_ {n-1} ^ {(2)} + 2H_ {n-1} ^ {(3)} right],}$

kde H_n je harmonické číslo ${ displaystyle H_ {n} = { frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + ldots + { frac {1} {n}}}$ a H_n^(m) je zobecněné harmonické číslo

$${ displaystyle H_ {n} ^ {(m)} = { frac {1} {1 ^ {m}}} + { frac {1} {2 ^ {m}}} + ldots + { frac {1} {n ^ {m}}}.}$$

Tyto vztahy lze zobecnit

${ displaystyle { frac {1} {(n-1)!}} left [{ begin {matrix} n k + 1 end {matrix}} right] = sum _ {i_ {1 } = 1} ^ {n-1} sum _ {i_ {2} = i_ {1} +1} ^ {n-1} cdots sum _ {i_ {k} = i_ {k-1} + 1} ^ {n-1} { frac {1} {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {k}}} = { frac {w (n, k)} {k!}}}$

kde w(n, m) je definován rekurzivně, pokud jde o zobecněné harmonické čísla pomocí

${ displaystyle w (n, m) = delta _ {m, 0} + součet _ {k = 0} ^ {m-1} (1-m) _ {k} H_ {n-1} ^ { (k + 1)} w (n, m-1-k).}$

(Tady δ je Funkce Kronecker delta a ${ displaystyle (m) _ {k}}$ je Pochhammer symbol.)^[3]

Pro pevné ${ displaystyle n geq 0}$ tato rozšíření váženého harmonického čísla jsou generována generující funkcí

${ displaystyle { frac {1} {n!}} vlevo [{ begin {matrix} n + 1 k end {matrix}} right] = [x ^ {k}] exp left ( sum _ {m geq 1} { frac {(-1) ^ {m-1} H_ {n} ^ {(m)}} {m}} x ^ {m} vpravo),}$

kde notace ${ displaystyle [x ^ {k}]}$ znamená extrakci koeficientu ${ displaystyle x ^ {k}}$ z následujícího formální mocenské řady (viz neexponenciální Polynomy zvonu a část 3 ^[4]).

Obecněji lze součty týkající se těchto vážených rozšíření harmonických čísel Stirlingových čísel prvního druhu definovat prostřednictvím zobecněné řady zeta transformace generujících funkcí.^[5][6]

Lze také „invertovat“ vztahy pro tato Stirlingova čísla dané z hlediska ${ displaystyle k}$- objednejte harmonická čísla k zápisu zobecněných harmonických čísel celočíselného řádu, pokud jde o vážené součty termínů zahrnujících Stirlingova čísla prvního druhu. Například když ${ displaystyle k = 2,3}$ harmonická čísla druhého a třetího řádu jsou dána vztahem

${ displaystyle (n!) ^ {2} cdot H_ {n} ^ {(2)} = left [{ begin {matrix} n + 1 2 end {matrix}} right] ^ { 2} -2 left [{ begin {matrix} n + 1 1 end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} n + 1 3 end {matrix}} že jo]}$

${ displaystyle (n!) ^ {3} cdot H_ {n} ^ {(3)} = left [{ begin {matrix} n + 1 2 end {matrix}} right] ^ { 3} -3 left [{ begin {matrix} n + 1 1 end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} n + 1 2 end {matrix}} vpravo] vlevo [{ begin {matrix} n + 1 3 end {matrix}} right] +3 left [{ begin {matrix} n + 1 1 end {matrix}} right] ^ {2} left [{ begin {matrix} n + 1 4 end {matrix}} right].}$

Obecněji lze převrátit Polynom zvonů generující funkce pro Stirlingova čísla rozšířená z hlediska ${ displaystyle m}$-objednat harmonická čísla získat to pro celá čísla ${ displaystyle m geq 2}$

${ displaystyle H_ {n} ^ {(m)} = - m krát [x ^ {m}] log left (1+ sum _ {k geq 1} left [{ begin {matrix} n + 1 k + 1 end {matrix}} right] { frac {(-x) ^ {k}} {n!}} right).}$

Faktoriální částky

Pro všechna kladná čísla m a n, jeden má

$${ displaystyle (n + m)! = součet _ {k = 0} ^ {n} součet _ {j = 0} ^ {m} m ^ { overline {nk}} left [{m na vrcholu j} right] { binom {n} {k}} k !,}$$

kde ${ displaystyle a ^ { overline {b}} = a (a + 1) cdots (a + b-1)}$ je rostoucí faktoriál.^[7] Tento vzorec je dvojí Spiveyho výsledek pro Čísla zvonků.^[7]

Další související vzorce zahrnující klesající faktoriály, Stirlingova čísla prvního druhu a v některých případech Stirlingova čísla druhého druhu zahrnout následující:^[8]

$${ displaystyle { begin {zarovnáno} n ^ { podtržítko {nm}} & = sum _ {k} left [{ begin {matrix} n + 1 k + 1 end {matrix}} right] left {{ start {matrix} k m end {matrix}} right } (- 1) ^ {mk} { binom {n} {m}} (n-1 ) ^ { underline {nm}} & = sum _ {k} left [{ begin {matrix} n k end {matrix}} right] left {{ begin {matrix} k m end {matrix}} right } { binom {n} {m}} & = sum _ {k} left {{ begin {matrix} n + 1 k + 1 end {matrix}} right } left [{ begin {matrix} k m end {matrix}} right] (- 1) ^ {mk} left [{ begin { matrix} n + 1 m + 1 end {matrix}} right] & = sum _ {0 leq k leq n} left [{ begin {matrix} k m end {matrix }} right] n ^ { podtržítko {nk}}. end {zarovnáno}}}$$

Inverzní vztahy a Stirlingova transformace

Pro jakoukoli dvojici sekvencí ${ displaystyle {f_ {n} }}$ a ${ displaystyle {g_ {n} }}$, související konečným součtem Vzorec Stirlingova čísla daný

${ displaystyle g_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} vlevo {{ začátek {matice} n k konec {matice}} doprava } f_ {k},}$

pro všechna celá čísla ${ displaystyle n geq 0}$, máme odpovídající inverzní vzorec pro ${ displaystyle f_ {n}}$ dána

${ displaystyle f_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} left [{ begin {matrix} n k end {matrix}} right] (- 1) ^ {nk} g_ {k}.}$

Tyto inverzní vztahy mezi dvěma sekvencemi se překládají do funkčních rovnic mezi sekvencí exponenciální generující funkce dané Stirlingova (generující funkce) transformace tak jako

${ displaystyle { widehat {G}} (z) = { widehat {F}} vlevo (e ^ {z} -1 vpravo)}$

a

${ displaystyle { widehat {F}} (z) = { widehat {G}} left ( log (1 + z) right).}$

The diferenciální operátory ${ displaystyle D = d / dx}$ a ${ displaystyle vartheta = zD}$ souvisí s následujícími vzorci pro všechna celá čísla ${ displaystyle n geq 0}$:^[9]

${ displaystyle vartheta ^ {n} = součet _ {k} S (n, k) z ^ {k} D ^ {k}}$

${ displaystyle z ^ {n} D ^ {n} = součet _ {k} s (n, k) vartheta ^ {k}}$

Další pár „inverze"vztahy týkající se Stirlingova čísla se týkají vpřed rozdíly a obyčejný ${ displaystyle n ^ {th}}$ deriváty funkce, ${ displaystyle f (x)}$, který je analytický pro všechny ${ displaystyle x}$ podle vzorců^[10]

${ displaystyle { frac {1} {k!}} { frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} f (x) = součet _ {n = k} ^ { infty} { frac {s (n, k)} {n!}} Delta ^ {n} f (x)}$

${ displaystyle { frac {1} {k!}} Delta ^ {k} f (x) = součet _ {n = k} ^ { infty} { frac {S (n, k)} { n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} f (x).}$

Shody

Následující shodnost identity může být prokázána prostřednictvím generující funkce přístup založený na:^[11]

${ displaystyle { begin {zarovnaný} left [{ begin {matrix} n m end {matrix}} right] & equiv { binom { lfloor n / 2 rfloor} {m- lceil n / 2 rceil}} = [x ^ {m}] vlevo (x ^ { lceil n / 2 rceil} (x + 1) ^ { lfloor n / 2 rfloor} vpravo) && { pmod {2}}, end {zarovnáno}}}$

Poskytování novějších výsledků Jacobiho typ J-frakce které generují jediná faktoriální funkce a zobecněné produkty související s faktoriály vést k dalším novým výsledkům shody pro Stirlingova čísla prvního druhu.^[12]Například pracovní modulo ${ displaystyle 2}$ můžeme to dokázat

${ displaystyle { begin {aligned} left [{ begin {matrix} n 1 end {matrix}} right] & equiv { frac {2 ^ {n}} {4}} [n geq 2] + [n = 1] && { pmod {2}} vlevo [{ begin {matrix} n 2 end {matrix}} right] & equiv { frac {3 cdot 2 ^ {n}} {16}} (n-1) [n geq 3] + [n = 2] && { pmod {2}} left [{ begin {matrix} n 3 end {matrix}} right] & equiv 2 ^ {n-7} (9n-20) (n-1) [n geq 4] + [n = 3] && { pmod {2} } left [{ begin {matrix} n 4 end {matrix}} right] & equiv 2 ^ {n-9} (3n-10) (3n-7) (n-1) [n geq 5] + [n = 4] && { pmod {2}} vlevo [{ begin {matrix} n 5 end {matrix}} right] & equiv 2 ^ { n-13} (27n ^ {3} -279n ^ {2} + 934n-1008) (n-1) [n geq 6] + [n = 5] && { pmod {2}} vlevo [{ begin {matrix} n 6 end {matrix}} right] & equiv { frac {2 ^ {n-15}} {5}} (9n ^ {2} -71n + 120) (3n-14) (3n-11) (n-1) [n geq 7] + [n = 6] && { pmod {2}}, end {zarovnáno}}}$

a pracuje modulo ${ displaystyle 3}$ můžeme to podobně dokázat

${ displaystyle { begin {aligned} left [{ begin {matrix} n 1 end {matrix}} right] & equiv sum limits _ {j = pm 1} { frac { 1} {36}} left (9-5j { sqrt {3}} right) times left (3 + j { sqrt {3}} right) ^ {n} [n geq 2] + [n = 1] && { pmod {3}} left [{ begin {matrix} n 2 end {matrix}} right] & equiv sum limits _ {j = pm 1} { frac {1} {216}} left ((44n-41) - (25n-24) cdot j { sqrt {3}} right) times left (3 + j { sqrt {3}} vpravo) ^ {n} [n geq 3] + [n = 2] && { pmod {3}} vlevo [{ begin {matrix} n 3 end { matrix}} right] & equiv sum limits _ {j = pm 1} { frac {1} {15552}} left ((1299n ^ {2} -3837n + 2412) - (745n ^ { 2} -2217n + 1418) cdot j { sqrt {3}} right) times left (3 + j { sqrt {3}} right) ^ {n} [n geq 4] + [ n = 3] && { pmod {3}} left [{ begin {matrix} n 4 end {matrix}} right] & equiv sum limits _ {j = pm 1 } { frac {1} {179936}} { bigl (} (6409n ^ {3} -383778n ^ {2} + 70901n-37092) - (3690n ^ {3} -22374n ^ {2} + 41088n-21708 ) cdot j { sqrt {3}} { bigr)} times left (3 + j { sqrt {3}} right) ^ {n} [n geq 5] + [n = 4] && { pmod {3}}. end {zarovnáno}}}$

Obecněji pro pevná celá čísla ${ displaystyle h geq 3}$ pokud definujeme uspořádané kořeny

${ displaystyle left ( omega _ {h, i} right) _ {i = 1} ^ {h-1}: = left { omega _ {j}: sum _ {i = 0} ^ {h-1} { binom {h-1} {i}} { frac {h!} {(i + 1)!}} (- omega _ {j}) ^ {i} = 0, 1 leq j$

pak můžeme rozšířit kongruence pro tato Stirlingova čísla definovaná jako koeficienty

${ displaystyle left [{ begin {matrix} n m end {matrix}} right] = [R ^ {m}] R (R + 1) cdots (R + n-1),}$

v následující formě, kde jsou funkce, ${ displaystyle p_ {h, i} ^ {[m]} (n)}$, označují pevné polynomy stupně ${ displaystyle m}$ v ${ displaystyle n}$ pro každého ${ displaystyle h}$, ${ displaystyle m}$, a ${ displaystyle i}$:

${ displaystyle left [{ begin {matrix} n m end {matrix}} right] = left ( sum _ {i = 0} ^ {h-1} p_ {h, i} ^ {[m]} (n) times omega _ {h, i} ^ {n} right) [n> m] + [n = m] qquad { pmod {h}},}$

Oddíl 6.2 výše citovaného odkazu poskytuje pro EU jasnější rozšíření související s těmito shodami ${ displaystyle r}$-objednat harmonická čísla a pro zobecněné faktoriální produkty, ${ Displaystyle p_ {n} ( alfa, R): = R (R + alfa) cdots (R + (n-1) alfa)}$. V předchozích příkladech notace ${ displaystyle [{ mathtt {cond}}]}$ označuje Iversonova konvence.

Generování funkcí

Různými identitami lze manipulovat generující funkce:

${ Displaystyle H (z, u) = (1 + z) ^ {u} = součet _ {n = 0} ^ { infty} {u vybrat n} z ^ {n} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} Sum _ {k = 0} ^ {n} s (n, k) u ^ {k} = sum _ {k = 0} ^ { infty} u ^ {k} sum _ {n = k} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} s (n, k). }$

Použití rovnosti

${ displaystyle (1 + z) ^ {u} = e ^ {u log (1 + z)} = součet _ {k = 0} ^ { infty} ( log (1 + z)) ^ { k} { frac {u ^ {k}} {k!}},}$

z toho vyplývá, že

${ displaystyle sum _ {n = k} ^ { infty} (- 1) ^ {nk} left [{n atop k} right] { frac {z ^ {n}} {n!} } = { frac { left ( log (1 + z) right) ^ {k}} {k!}}.}$

(Tato identita platí pro formální mocenské řady a součet konverguje v složité letadlo pro |z| <1.) Další identity vznikají záměnou pořadí součtu, odvozením derivací a nahrazením z nebo uNapříklad můžeme odvodit:^[13]

${ displaystyle (1-z) ^ {- u} = součet _ {k = 0} ^ { infty} u ^ {k} součet _ {n = k} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} left [{n atop k} right] = e ^ {u log (1 / (1-z))}}$

a

${ displaystyle { frac { log ^ {m} (1 + z)} {1 + z}} = m! součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {s (k + 1 , m + 1) , z ^ {k}} {k!}}, qquad m = 1,2,3, ldots quad | z | <1}$

nebo

${ displaystyle sum _ {n = i} ^ { infty} { frac { left [{n na vrcholu i} right]} {n , (n!)}} = zeta (i + 1 ), qquad i = 1,2,3, ldots}$

a

${ displaystyle sum _ {n = i} ^ { infty} { frac { left [{n na vrcholu i} right]} {n , (v) _ {n}}} = zeta ( i + 1, v), qquad i = 1,2,3, ldots quad Re (v)> 0}$

kde ${ displaystyle zeta (k)}$ a ${ displaystyle zeta (k, v)}$ jsou Funkce Riemann zeta a Funkce Hurwitz zeta respektive, a dokonce vyhodnotit tento integrál

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac { log ^ {z} (1-x)} {x ^ {k}}} dx = { frac {(-1) ^ {z} Gamma (z + 1)} {(k-1)!}} sum _ {r = 1} ^ {k-1} s (k-1, r) sum _ {m = 0} ^ {r} { binom {r} {m}} (k-2) ^ {rm} zeta (z + 1-m), qquad Re (z)> k-1, quad k = 3 , 4,5, ldots}$

kde ${ Displaystyle Gamma (z)}$ je Funkce gama. Existují také složitější výrazy pro funkce zeta zahrnující Stirlingova čísla. Jeden například má

${ displaystyle { frac {k!} {(sk) _ {k}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(n + k)!}} vlevo [{n + k atop n} right] sum _ {l = 0} ^ {n + k-1} ! (- 1) ^ {l} { binom {n + k-1} {l }} (l + v) ^ {ks} = zeta (s, v), quad k = 1,2,3, ldots}$

Tato série zobecňuje Hasseovu sérii pro Funkce zeta Hurwitz (Hasseovu sérii získáme nastavením k=1).^[14][15]

Asymptotika

Další odhad uvedený z hlediska Eulerova gama konstanta platí:^[16]

${ displaystyle left [{ begin {matrix} n + 1 k + 1 end {matrix}} right] sim { frac {n!} {k!}} left ( gamma + ln n right) ^ {k}, { text {jednotně pro}} k = o ( ln n).}$

Pro pevné ${ displaystyle n}$ máme následující odhad jako ${ displaystyle k longrightarrow infty}$:

${ displaystyle left [{ begin {matrix} n + k k end {matrix}} right] sim { frac {k ^ {2n}} {2 ^ {n} n!}}. }$

Můžeme také použít asymptotické metody sedlového bodu z Temmeova článku ^[17] získat další odhady pro Stirlingova čísla prvního druhu. Tyto odhady jsou více zapojené a komplikovanější. Poskytujeme však příklad. Zejména definujeme log gama funkce, ${ displaystyle phi (x)}$, jejichž deriváty vyššího řádu jsou uvedeny ve smyslu polygamma funkce tak jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} phi (x) & = ln left [(1 + 1) (x + 2) cdots (x + n) right] -m ln x & = ln Gamma (x + n + 1) - ln Gamma (x + 1) -m ln x phi ^ { prime} (x) & = psi (x + n + 1) - psi (x + 1) -m / x, end {zarovnáno}}}$

kde uvažujeme (jedinečný) sedlový bod ${ displaystyle x_ {0}}$ funkce, která má být řešením ${ displaystyle phi ^ { prime} (x) = 0}$ když ${ displaystyle 1 leq m leq n}$. Pak pro ${ displaystyle t_ {0} = m / (n-m)}$ a konstanty

${ displaystyle B = phi (x_ {0}) - n ln (1 + t_ {0}) + m ln t_ {0}}$

${ displaystyle g (t_ {0}) = { frac {1} {x_ {0}}} { sqrt { frac {m (nm)} {n phi ^ { prime prime} (x_ { 0})}}},}$

máme následující asymptotický odhad jako ${ displaystyle n longrightarrow infty}$:

${ displaystyle left [{ begin {matrix} n + 1 m + 1 end {matrix}} right] sim e ^ {B} g (t_ {0}) { binom {n} { m}}.}$

Konečné částky

Protože jsou permutace rozděleny podle počtu cyklů, jeden má

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} vlevo [{n nahoře k} vpravo] = n!}$

Identita

${ displaystyle sum _ {p = k} ^ {n} { left [{n atop p} right] { binom {p} {k}}} = left [{n + 1 na vrcholu k +1} vpravo]}$

lze prokázat technikami na stránceStirlingova čísla a exponenciální generující funkce.

Tabulka v části 6.1 Konkrétní matematika poskytuje nepřeberné množství zobecněných forem konečných součtů zahrnujících Stirlingova čísla. Několik konkrétních konečných součtů týkajících se tohoto článku zahrnuje

${ displaystyle { begin {aligned} left [{ begin {matrix} n m end {matrix}} right] & = sum _ {k} left [{ begin {matrix} n + 1 k + 1 end {matrix}} right] { binom {k} {m}} (- 1) ^ {mk} left [{ begin {matrix} n + 1 m +1 end {matrix}} right] & = sum _ {k = 0} ^ {n} left [{ begin {matrix} k m end {matrix}} right] { frac {n!} {k!}} left [{ begin {matrix} m + n + 1 m end {matrix}} right] & = sum _ {k = 0} ^ {m } (n + k) left [{ begin {matrix} n + k k end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} n l + m end { matrix}} right] { binom {l + m} {l}} & = sum _ {k} left [{ begin {matrix} k l end {matrix}} right] left [{ begin {matrix} nk m end {matrix}} right] { binom {n} {k}}. end {zarovnáno}}}$

Další identity konečných součtů zahrnující podepsaná Stirlingova čísla prvního druhu nalezené například v NIST Handbook of Mathematical Functions (Oddíl 26.8) zahrnují následující částky:^[18]

${ displaystyle { begin {aligned} { binom {k} {h}} s (n, k) & = sum _ {j = kh} ^ {nh} { binom {n} {j}} s (nj, h) s (j, kh) s (n + 1, k + 1) & = n! times sum _ {j = k} ^ {n} { frac {(-1) ^ {nj}} {j!}} s (j, k) s (n, nk) & = sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {j} { binom {n -1 + j} {k + j}} { binom {n + k} {kj}} S (k + j, j) s (n, k) & = součet _ {j = k} ^ {n} s (n + 1, j + 1) n ^ {jk}. end {zarovnáno}}}$

Navíc, pokud definujeme druhá objednávka Euleriánská čísla vztahem trojúhelníkového opakování ^[19]

${ displaystyle E_ {2} (n, k) = (k + 1) E_ {2} (n-1, k) + (2n-1-k) E_ {2} (n-1, k-1) + delta _ {n, 0} delta _ {k, 0},}$

přijdeme k následující identitě související s formou Stirlingovy konvoluční polynomy které lze použít ke zobecnění obou Stirlingových číselných trojúhelníků na libovolné skutečné nebo komplexní hodnoty vstupu ${ displaystyle x}$:

${ displaystyle left [{ begin {matrix} x xn end {matrix}} right] = sum _ {k} E_ {2} (n, k) { binom {x + k} { 2n}}.}$

Konkrétní rozšíření předchozí identity vedou k tomu, že následující identity rozšiřují Stirlingova čísla prvního druhu pro prvních několik malých hodnot ${ displaystyle n: = 1,2,3}$:

${ displaystyle { begin {aligned} left [{ begin {matrix} x x-1 end {matrix}} right] & = { binom {x} {2}} left [ { begin {matrix} x x-2 end {matrix}} right] & = { binom {x} {4}} + 2 { binom {x + 1} {4}} left [{ begin {matrix} x x-3 end {matrix}} right] & = { binom {x} {6}} + 8 { binom {x + 1} {6}} + 6 { binom {x + 2} {6}}. End {zarovnáno}}}$

Softwarové nástroje pro práci s konečnými částkami Stirlingova čísla a Euleriánská čísla jsou poskytovány Balíček RISC Stirling.m inženýrské sítě v Mathematica. Další softwarové balíčky pro hádám vzorce pro sekvence (a polynomiální sekvenční součty) zahrnující Stirlingova čísla a další speciální trojúhelníky jsou k dispozici pro oba Mathematica a Šalvěj tady a tady, resp.^[20]

Kromě toho nekonečné řady zahrnující konečné součty se Stirlingovými čísly často vedou ke zvláštním funkcím. Například^[13][21]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} ! { frac {(-1) ^ {n-1}} {n}} cdot { frac {1} {n!}} sum _ {l = 1} ^ {n} ! { frac {s (n, l)} {l + k}} = sum _ {l = 2} ^ { infty} ! { frac {(-1) ^ {l} cdot zeta (l)} {l + k-1}} = { frac {1} {k-1}} - { frac { ln 2 pi} { k}} + { frac { gamma} {2}} + ! ! ! ! sum _ {l = 1} ^ { lfloor { frac {1} {2}} (k-1 ) rfloor} ! ! ! ! (- 1) ^ {l} { binom {k-1} {2l-1}} { frac {(2l)! cdot zeta '(2l) } {l cdot (2 pi) ^ {2l}}} + ! ! sum _ {l = 1} ^ { lfloor { frac {1} {2}} k rfloor -1} ! ! (- 1) ^ {l} { binom {k-1} {2l}} { frac {(2l)! Cdot zeta (2l + 1)} {2 cdot (2 pi) ^ {2l}}}}$

nebo

${ displaystyle ln gama (z) = doleva (z - { frac {1} {2}} doprava) ! ln z-z + { frac {1} {2}} ln 2 pi + { frac {1} { pi}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n cdot n!}} ! sum _ {l = 0} ^ { lfloor { frac {1} {2}} n rfloor} ! { frac {(-1) ^ {l} (2l)!} {(2 pi z) ^ {2l + 1} }} left [{n na vrcholu 2l + 1} right]}$

a

${ displaystyle Psi (z) = ln z - { frac {1} {2z}} - { frac {1} { pi z}} součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n cdot n!}} ! sum _ {l = 0} ^ { lfloor { frac {1} {2}} n rfloor} ! { frac {(-1 ) ^ {l} (2l + 1)!} {(2 pi z) ^ {2l + 1}}} left [{n na vrcholu 2l + 1} right]}$

nebo dokonce

${ displaystyle gamma _ {m} = { frac {1} {2}} delta _ {m, 0} + { frac {(-1) ^ {m} m!} { pi}} ! sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n cdot n!}} ! sum _ {k = 0} ^ { lfloor { frac {1} {2 }} n rfloor} { frac {(-1) ^ {k}} {(2 pi) ^ {2k + 1}}} doleva [{2k + 2 na vrcholu m + 1} doprava] vlevo [{n na vrcholu 2k + 1} vpravo] ,}$

kde y_m jsou Stieltjesovy konstanty a δ_m,0 představuje Funkce Kronecker delta.

Explicitní vzorec

Stirlingovo číslo s (n, n-p) lze najít ze vzorce^[22]

${ displaystyle { begin {aligned} s (n, np) & = { frac {1} {(np-1)!}} sum _ {0 leq k_ {1}, ldots, k_ {p }: sum _ {1} ^ {p} mk_ {m} = p} (- 1) ^ {K} { frac {(n + K-1)!} {k_ {1}! k_ {2} ! cdots k_ {p}! ~ 2! ^ {k_ {1}} 3! ^ {k_ {2}} cdots (p + 1)! ^ {k_ {p}}}}, end {zarovnáno} }}$

kde ${ displaystyle K = k_ {1} + cdots + k_ {p}.}$ Součet je součtem všech oddíly z p.

Další přesné rozšíření vnořeného součtu pro tato Stirlingova čísla je vypočítáno pomocí elementární symetrické polynomy odpovídající koeficientům v ${ displaystyle x}$ produktu formuláře ${ displaystyle (1 + c_ {1} x) cdots (1 + c_ {n-1} x)}$. Vidíme to zejména

${ displaystyle { begin {zarovnáno} left [{ begin {matrix} n k + 1 end {matrix}} right] & = [x ^ {k}] (x + 1) (x + 2) cdots (x + n-1) = (n-1)! Cdot [x ^ {k}] (x + 1) left ({ frac {x} {2}} + 1 right) cdots left ({ frac {x} {n-1}} + 1 right) & = sum _ {1 leq i_ {1} < cdots$

Newtonovy identity v kombinaci s výše uvedenými expanzemi lze použít k poskytnutí alternativního důkazu o vážených expanzích zahrnujících generalizované harmonická čísla již uvedeno výše.

Další explicitní vzorec pro vzájemné pravomoci z n je dána následující identitou pro celá čísla ${ displaystyle p geq 2}$:^[23]

${ displaystyle { frac {1} {n ^ {p}}} = { frac {1} {n ^ {p-1}}} + { frac {(-1) ^ {p-1}} {n!}} left ({ begin {bmatrix} n p end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} n p-1 end {bmatrix}} right) + { frac {(-1) ^ {p}} {n cdot n!}} { Begin {bmatrix} n + 1 p end {bmatrix}} + sum _ {j = 0} ^ {p-3 } { begin {bmatrix} n + 1 j + 2 end {bmatrix}} { frac {(-1) ^ {j + 1} (n-1)} {n ^ {p-1-j } cdot n!}}.}$