Funkce Dirichlet eta - Dirichlet eta function

Barevné znázornění funkce Dirichlet eta. Je generován jako Matplotlib spiknutí s použitím verze Barvení domény metoda.^[1]

v matematika, v oblasti analytická teorie čísel, Funkce Dirichlet eta je definován následujícím Dirichletova řada, který konverguje pro všechny komplexní číslo se skutečnou částí> 0:

{ displaystyle eta (s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} {(- 1) ^ {n-1} nad n ^ {s}} = { frac {1} {1 ^ {s}}} - { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} - { frac {1} {4 ^ {s}} } + cdots}

Tato řada Dirichlet je střídavý součet odpovídající rozšíření Dirichletovy řady Funkce Riemann zeta, ζ(s) - a z tohoto důvodu je funkce Dirichlet eta také známá jako funkce střídání zeta, také označeno ζ* (s). Platí následující vztah:

{ displaystyle eta (s) = doleva (1-2 ^ {1-s} doprava) zeta (s)}

Funkce Dirichlet eta i Riemann zeta jsou speciální případy Polylogaritmus.

Zatímco rozšíření řady Dirichlet pro funkci eta je konvergentní pouze pro všechny komplexní číslo s se skutečnou částí> 0 to je Abel sumabilní pro jakékoli komplexní číslo. To slouží k definování funkce eta jako celá funkce (a výše uvedený vztah pak ukazuje, že funkce zeta je meromorfní s jednoduchým pól na s = 1, a možná póly na ostatních nulách faktoru ${ displaystyle 1-2 ^ {1-s}}$ ).

Rovněž můžeme začít definováním

{ displaystyle eta (s) = { frac {1} { gama (y)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {s-1}} {e ^ { x} +1}} {dx}}

který je také definován v oblasti pozitivní reálné části ( ${ Displaystyle Gama (y)}$ představuje Funkce gama ). To dává funkci eta jako a Mellinova transformace.

Hardy poskytl jednoduchý důkaz funkční rovnice pro funkci eta, což je

{ displaystyle eta (-s) = 2 { frac {1-2 ^ {- s-1}} {1-2 ^ {- s}}} pi ^ {- s-1} s sin left ({ pi s over 2} right) Gamma (s) eta (s + 1).}

Z toho má člověk okamžitě také funkční rovnici funkce zeta a další prostředky k rozšíření definice eta na celou komplexní rovinu.

Nuly

The nuly funkce eta zahrnuje všechny nuly funkce zeta: záporná sudá celá čísla (skutečné ekvidistantní jednoduché nuly); nuly podél kritické linie, z nichž žádná není známa jako vícečetná a u více než 40% se ukázalo, že jsou jednoduché, a hypotetické nuly v kritické linii, ale ne na kritické linii, které, pokud existují, musí nastat na vrcholech obdélníků symetrických kolem X-osa a kritická čára a jejichž multiplicita není známa.^{[Citace je zapotřebí ]} Kromě toho je faktor ${ displaystyle 1-2 ^ {1-s}}$ přidá nekonečné množství složitých jednoduchých nul, umístěných ve stejně vzdálených bodech čáry ${ displaystyle Re (s) = 1}$ , na ${ displaystyle s_ {n} = 1 + 2n pi i / ln (2)}$ kde n je jakékoli nenulové celé číslo.

Pod Riemannova hypotéza, nuly funkce eta by byly umístěny symetricky vzhledem ke skutečné ose na dvou paralelních liniích ${ displaystyle Re (s) = 1/2, Re (s) = 1}$ , a na kolmou poloviční čáru tvořenou zápornou skutečnou osou.

Landauův problém s ζ(s) = η(s) / 0 a řešení

V rovnici η(s) = (1−2^1−s) ζ (s), „pól ζ (s) při s = 1 je zrušeno nulou druhého faktoru “(Titchmarsh, 1986, s. 17), a jako výsledek η(1) není ani nekonečný, ani nula (viz § Jednotlivé hodnoty ). Nicméně v rovnici

{ displaystyle zeta (s) = { frac { eta (s)} {1-2 ^ {1-s}}},}

η musí být ve všech bodech nula ${ displaystyle s_ {n} = 1 + n { frac {2 pi} { ln {2}}} i, n neq 0, n in mathbb {Z}}$ , kde je jmenovatel nulový, je-li Riemannova zeta funkce zde analytická a konečná. Problém dokázat to, aniž by byla nejdříve definována funkce zeta, byl signalizován a ponechán otevřený E. Landau ve svém pojednání o teorii čísel z roku 1909: „Zda je řada eta odlišná od nuly nebo ne v bodech ${ displaystyle s_ {n} neq 1}$ , tj. ať už se jedná o póly zeta nebo ne, zde není snadno patrné. “

První řešení Landauova problému bylo zveřejněno téměř o 40 let později autorem D. V. Widder ve své knize Laplaceova transformace. Používá další prvočíslo 3 místo 2 k definování řady Dirichlet podobné funkci eta, kterou budeme nazývat ${ displaystyle lambda}$ funkce, definovaná pro ${ displaystyle Re (s)> 0}$ a také s nulami ${ displaystyle Re (s) = 1}$ , ale ne stejné jako u eta.

Nepřímý důkaz η(s_n) = 0 po Widderovi

{ displaystyle { begin {zarovnáno} lambda (s) = left (1 - { frac {3} {3 ^ {s}}} right) zeta (s) = left (1 + { frac {1} {2 ^ {s}}} right) - { frac {2} {3 ^ {s}}} + left ({ frac {1} {4 ^ {s}}} + { frac {1} {5 ^ {s}}} right) - { frac {2} {6 ^ {s}}} + ldots end {zarovnáno}}}

Li ${ displaystyle s}$ je reálné a přísně pozitivní, řada konverguje, protože seskupené termíny se střídají ve znaménku a snižují se v absolutní hodnotě na nulu. Podle věty o jednotné konvergenci Dirichletovy řady, kterou poprvé prokázal Cahen v roce 1894, ${ Displaystyle lambda (y)}$ funkce je pak analytická pro ${ displaystyle Re (s)> 0}$ , region zahrnující linku ${ displaystyle Re (s) = 1}$ . Nyní můžeme správně definovat, kde jmenovatelé nejsou nulové,

{ displaystyle zeta (s) = { frac { eta (s)} {1 - { frac {2} {2 ^ {s}}}}}}

nebo

{ displaystyle zeta (s) = { frac { lambda (s)} {1 - { frac {3} {3 ^ {s}}}}}}

Od té doby ${ displaystyle { frac { log 3} { log 2}}}$ je iracionální, jmenovatelé ve dvou definicích nejsou nula současně s výjimkou ${ displaystyle s = 1}$ a ${ displaystyle zeta (s) ,}$ funkce je tedy dobře definovaná a analytická pro ${ displaystyle Re (s)> 0}$ kromě v ${ displaystyle s = 1}$ . Konečně to máme nepřímo ${ displaystyle eta (s_ {n}) = 0}$ když ${ displaystyle s_ {n} neq 1}$ :

{ displaystyle eta (s_ {n}) = left (1 - { frac {2} {2 ^ {s_ {n}}}} right) zeta (s_ {n}) = { frac { 1 - { frac {2} {2 ^ {s_ {n}}}}} {1 - { frac {3} {3 ^ {s_ {n}}}}}} lambda (s_ {n}) = 0.}

Elementární přímý a ${ displaystyle zeta ,}$ -nezávislý důkaz zmizení funkce eta v ${ displaystyle s_ {n} neq 1}$ byl publikován J. Sondowem v roce 2003. Vyjadřuje hodnotu funkce eta jako limit speciálních Riemannova součtu spojeného s integrálem, o kterém je známo, že je nula, pomocí vztahu mezi dílčími součty Dirichletovy řady definující funkce eta a zeta pro ${ displaystyle Re (s)> 1}$ .

Přímý důkaz η(s_n) = 0 od Sondow

S nějakou jednoduchou algebrou prováděnou na konečných součtech můžeme psát pro jakýkoli komplex s

{ displaystyle eta _ {2n} (s) = součet _ {k = 1} ^ {2n} { frac {(-1) ^ {k-1}} {k ^ {s}}} = 1 - { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} - { frac {1} {4 ^ {s}}} + ldots + { frac {(-1) ^ {2n-1}} {{(2n)} ^ {s}}} = 1 + { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} + { frac {1} {4 ^ {s}}} + ldots + { frac {1} {{(2n)} ^ {s}}} - 2 vlevo ( { frac {1} {2 ^ {s}}} + { frac {1} {4 ^ {s}}} + ldots + { frac {1} {{(2n)} ^ {s}} }že jo)}

{ displaystyle = left (1 - { frac {2} {2 ^ {s}}} right) zeta _ {2n} (s) + { frac {2} {2 ^ {s}}} left ({ frac {1} {{(n + 1)} ^ {s}}} + ldots + { frac {1} {{(2n)} ^ {s}}} right) = left (1 - { frac {2} {2 ^ {s}}} right) zeta _ {2n} (s) + { frac {2n} {{(2n)} ^ {s}}} , { frac {1} {n}} , left ({ frac {1} {{(1 + 1 / n)} ^ {s}}} + ldots + { frac {1} {{ (1 + n / n)} ^ {s}}} vpravo).}

Teď když ${ displaystyle s = 1 + it}$ a ${ displaystyle 2 ^ {s} = 2}$ , násobící faktor ${ displaystyle zeta _ {2n} (s) ,}$ je nula a

{ displaystyle eta _ {2n} (s) = { frac {1} {n ^ {it}}} R_ {n} left ({ frac {1} {{(1 + x)} ^ { s}}}, 0,1 vpravo),}

kde Rn (F(X),A,b) označuje speciální Riemannovu část aproximující integrál z F(X) přes [A,b].Pro t = 0 tj. s = 1, dostaneme

{ displaystyle eta (1) = lim _ {n to infty} eta _ {2n} (1) = lim _ {n to infty} R_ {n} left ({ frac { 1} {1 + x}}, 0,1 right) = int _ {0} ^ {1} { frac {dx} {1 + x}} = log 2 neq 0.}

Jinak, pokud ${ displaystyle t neq 0}$ , pak ${ displaystyle | n ^ {1-s} | = | n ^ {- it} | = 1}$ , který přináší

{ displaystyle | eta (s) | = lim _ {n to infty} | eta _ {2n} (s) | = lim _ {n to infty} left | R_ {n} left ({ frac {1} {{(1 + x)} ^ {s}}}, 0,1 right) right | = left | int _ {0} ^ {1} { frac {dx} {{(1 + x)} ^ {s}}} right | = left | { frac {2 ^ {1-s} -1} {1-s}} right | = left | { frac {1-1} {- it}} doprava | = 0.}

Za předpokladu ${ displaystyle eta (s_ {n}) = 0}$ , pro každý bod ${ displaystyle s_ {n} neq 1}$ kde ${ displaystyle 2 ^ {s_ {n}} = 2}$ , nyní můžeme definovat ${ displaystyle zeta (s_ {n}) ,}$ kontinuitou takto,

{ displaystyle zeta (s_ {n}) = lim _ {s to s_ {n}} { frac { eta (s)} {1 - { frac {2} {2 ^ {s}} }}} = lim _ {s to s_ {n}} { frac { eta (s) - eta (s_ {n})} {{ frac {2} {2 ^ {s_ {n} }}} - { frac {2} {2 ^ {s}}}}} = lim _ {s to s_ {n}} { frac { eta (s) - eta (s_ {n} )} {s-s_ {n}}} , { frac {s-s_ {n}} {{ frac {2} {2 ^ {s_ {n}}}} - { frac {2} { 2 ^ {s}}}}} = { frac { eta '(s_ {n})} { log (2)}}.}

Zdánlivá singularita zeta v ${ displaystyle s_ {n} neq 1}$ je nyní odstraněn a funkce zeta se ukázala být analytickou všude ${ displaystyle Re {s}> 0}$ , kromě v ${ displaystyle s = 1}$ kde

{ displaystyle lim _ {s až 1} (s-1) zeta (s) = lim _ {s až 1} { frac { eta (s)} { frac {1-2 ^ {1-s}} {s-1}}} = { frac { eta (1)} { log 2}} = 1.}

Integrální reprezentace

Lze uvést řadu integrálních vzorců zahrnujících funkci eta. První vyplývá ze změny proměnné integrálního vyjádření funkce gama (Abel, 1823), která dává a Mellinova transformace které lze vyjádřit různými způsoby jako dvojitý integrál (Sondow, 2005). To platí pro ${ displaystyle Re s> 0.}$

{ displaystyle { begin {aligned} Gamma (s) eta (s) & = int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {s-1}} {e ^ {x} +1}} , dx = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ {x} { frac {x ^ {s-2}} {e ^ {x} +1} } , dy , dx [8pt] & = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} { frac {(t + r) ^ {s-2 }} {e ^ {t + r} +1}} {dr} , dt = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {(- log ( xy)) ^ {s-2}} {1 + xy}} , dx , dy. end {zarovnáno}}}

Cauchy-Schlömilchova transformace (Amdeberhan, Moll et al., 2010) lze použít k prokázání této další reprezentace platné pro ${ displaystyle Re s> -1}$ . Integrace částmi prvního integrálu výše v této části přináší další derivaci.

{ displaystyle 2 ^ {1-s} , Gamma (s + 1) , eta (s) = 2 int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2s + 1} } { cosh ^ {2} (x ^ {2})}} , dx = int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {s}} { cosh ^ {2} ( t)}} , dt.}

Následující vzorec, vzhledem k Lindelöfovi (1905), je platný v celé komplexní rovině, když se vezme hlavní hodnota pro logaritmus implicitní v exponenciálu.

{ displaystyle eta (s) = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {(1/2 + it) ^ {- s}} {e ^ { pi t} + e ^ {- pi t}}} , dt.}

To odpovídá Jensenovu (1895) vzorci pro celou funkci ${ displaystyle (s-1) , zeta (s)}$ , platné v celé složité rovině a také prokázáno Lindelöfem.

{ displaystyle (s-1) zeta (s) = 2 pi , int _ {- infty} ^ { infty} { frac {(1/2 + to) ^ {1-s}} {(e ^ { pi t} + e ^ {- pi t}) ^ {2}}} , dt.}

„Tento vzorec, jehož jednoduchost je snadno rozpoznatelná, lze snadno dokázat pomocí Cauchyho věty, tak důležité pro součet řad,“ napsal Jensen (1895). Podobně převedením integračních cest na obrysové integrály lze získat další vzorce pro funkci eta, jako je tato generalizace (Milgram, 2013) platná pro ${ displaystyle 0$ a všechno ${ displaystyle s}$ :

{ displaystyle eta (s) = { frac {1} {2}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {(c + it) ^ {- s}} { sin {( pi (c + it))}}} , dt.}

Nuly na záporné reálné ose jsou započítány čistě provedením ${ displaystyle c až 0 ^ {+}}$ (Milgram, 2013) k získání vzorce platného pro ${ displaystyle Re s <0}$ :

{ displaystyle eta (s) = - sin left ({ frac {s pi} {2}} right) int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {- s }} { sinh {( pi t)}}} , dt.}

Numerické algoritmy

Většina sériové zrychlení techniky vyvinuté pro střídavé řady lze se ziskem použít na vyhodnocení funkce eta. Jednou obzvláště jednoduchou, ale rozumnou metodou je použití Eulerova transformace střídavých sérií, získat

{ displaystyle eta (s) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n + 1}}} součet _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n zvolte k} { frac {1} {(k + 1) ^ {s}}}.}

Všimněte si, že druhý, vnitřní součet je a vpřed rozdíl.

Borweinova metoda

Peter Borwein použité aproximace zahrnující Čebyševovy polynomy vytvořit metodu pro efektivní vyhodnocení funkce eta.^[2] Li

{ displaystyle d_ {k} = n součet _ { ell = 0} ^ {k} { frac {(n + ell -1)! 4 ^ { ell}} {(n- ell)! ( 2 ell)!}}}

pak

{ displaystyle eta (s) = - { frac {1} {d_ {n}}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {(-1) ^ {k} ( d_ {k} -d_ {n})} {(k + 1) ^ {s}}} + gamma _ {n} (s),}

kde pro ${ displaystyle Re (s) geq { frac {1} {2}}}$ chybový člen γ_n je ohraničen

{ displaystyle | gamma _ {n} (s) | leq { frac {3} {(3 + { sqrt {8}}) ​​^ {n}}} (1 + 2 | Im (s) |) exp ({ frac { pi} {2}} | Im (s) |).}

Faktor ${ displaystyle 3 + { sqrt {8}} přibližně 5,8}$ ve vázané chybě naznačuje, že řada Borwein konverguje poměrně rychle jako n zvyšuje.

Zvláštní hodnoty

η(0) = ¹⁄₂, Abelova suma z Grandiho série 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
η(−1) = ¹⁄₄, Ábelova součet 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.
Pro k celé číslo> 1, pokud B_k je k-th Bernoulliho číslo pak
${ displaystyle eta (1-k) = { frac {2 ^ {k} -1} {k}} B_ {k}.}$

Taky:

{ displaystyle ! eta (1) = ln 2}

, to je střídavé harmonické řady

{ displaystyle eta (2) = { pi ^ {2} přes 12}}

OEIS: A072691

{ displaystyle eta (4) = {{7 pi ^ {4}} přes 720} přibližně 0,94703283}

{ displaystyle eta (6) = {{31 pi ^ {6}} přes 30240} přibližně 0,98555109}

{ displaystyle eta (8) = {{127 pi ^ {8}} přes 1209600} přibližně 0,99623300}

{ displaystyle eta (10) = {{73 pi ^ {10}} přes 6842880} přibližně 0,99903951}

{ displaystyle eta (12) = {{1414477 pi ^ {12}} nad {1307674368000}} přibližně 0,99975769}

Obecná forma i pro kladná celá čísla je:

${ displaystyle eta (2n) = (- 1) ^ {n + 1} {{B_ {2n} pi ^ {2n} (2 ^ {2n-1} -1)} přes {(2n)! }}.}$

Vezmeme-li limit ${ displaystyle n rightarrow infty}$ , jeden získá ${ displaystyle eta ( infty) = 1}$ .

Deriváty

Derivát vzhledem k parametru $s$ je pro ${ displaystyle s neq 1}$

{ displaystyle eta '(s) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} ln n} {n ^ {s}}} = 2 ^ {1-s} ln (2) , zeta (s) + (1-2 ^ {1-s}) , zeta '(s)}

.

{ displaystyle eta '(1) = ln (2) , gama - ln (2) ^ {2} , 2 ^ {- 1}}

Reference

^ http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
^ Borwein, Peter (2000). Msgstr "Efektivní algoritmus pro funkci Riemann zeta". V Théra, Michel A. (ed.). Konstruktivní, experimentální a nelineární analýza (PDF). Sborník z konference, Kanadská matematická společnost. 27. Providence, RI: Americká matematická společnost, jménem Kanadská matematická společnost. str. 29–34. ISBN 978-0-8218-2167-1.

Jensen, J. L. W. V. (1895). „Remarques příbuzní aux réponses de MM. Franel et Kluyver“. L'Intermédiaire des Mathématiciens. II: 346].
Lindelöf, Ernst (1905). Le Calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. Gauthier-Villars. p.103.
Widder, David Vernon (1946). Laplaceova transformace. Princeton University Press. p.230.
Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlín, 1909, str. 160. (Druhé vydání Chelsea, New York, 1953, s. 160, 933)
Titchmarsh, E. C. (1986). Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
Conrey, J. B. (1989). "Více než dvě pětiny nul funkce Riemann zeta jsou na kritické linii". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 399: 1–26. doi:10.1515 / crll.1989.399.1.
Knopp, Konrad (1990) [1922]. Teorie a aplikace nekonečných sérií. Doveru. ISBN 0-486-66165-2.
Borwein, P., Efektivní algoritmus pro funkci Riemann Zeta „Konstruktivní experimentální a nelineární analýza, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
Sondow, Jonathan (2002). "Dvojité integrály pro Eulerovu konstantu a ln 4 / π a analog Hadjicostasova vzorce". arXiv:math.CO/0211148. Amer. Matematika. Měsíčně 112 (2005) 61–65, vzorec 18.
Sondow, Jonathane. "Nuly funkce Střídavá Zeta na řádku R (s) = 1". arXiv:matematika / 0209393. Amer. Matematika. Měsíčně, 110 (2003) 435–437.
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003). "Numerické vyhodnocení funkce Riemann Zeta" (PDF).
Amdeberhan, T .; Glasser, M. L .; Jones, M. C; Moll, V. H .; Posey, R .; Varela, D. (2010). „Cauchy-Schlomilchova transformace“. arXiv:1004.2445. p. 12.
Milgram, Michael S. (2012). „Integrální a sériové reprezentace Riemannovy Zeta funkce, Dirichletovy Eta funkce a směsice souvisejících výsledků“. Journal of Mathematics. 2013: 1–17. arXiv:1208.3429. doi:10.1155/2013/181724..

[1] ttp://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb

[2] Borwein, Peter (2000). Msgstr "Efektivní algoritmus pro funkci Riemann zeta". V Théra, Michel A. (ed.). Konstruktivní, experimentální a nelineární analýza (PDF). Sborník z konference, Kanadská matematická společnost. 27. Providence, RI: Americká matematická společnost, jménem Kanadská matematická společnost. str. 29–34. ISBN 978-0-8218-2167-1.

[1]

[2]