Engel expanze - Engel expansion

The Engel expanze pozitivního reálné číslo X je jedinečná neklesající posloupnost kladná celá čísla ${ displaystyle {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, tečky }}$ takhle

${ displaystyle x = { frac {1} {a_ {1}}} + { frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + { frac {1} {a_ {1} a_ { 2} a_ {3}}} + cdots.}$

Například, Eulerova konstanta E má expanzi Engel^[1]

1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

odpovídající nekonečná řada

${ displaystyle e = { frac {1} {1}} + { frac {1} {1}} + { frac {1} {1 cdot 2}} + { frac {1} {1 cdot 2 cdot 3}} + { frac {1} {1 cdot 2 cdot 3 cdot 4}} + cdots}$

Racionální čísla mít konečnou Engel expanzi, zatímco iracionální čísla mít nekonečnou expanzi Engel. Li X je racionální, jeho rozšíření Engel poskytuje reprezentaci X jako Egyptská část. Engel expanze jsou pojmenovány po Friedrich Engel, který je studoval v roce 1913.

Expanze analogická k Engel expanze, ve kterém jsou střídavé termíny záporné, se nazývá a Pierceova expanze.

Engelovy expanze, pokračující zlomky a Fibonacci

Kraaikamp & Wu (2004) pozorujte, že Engelovu expanzi lze také zapsat jako vzestupnou variantu a pokračující zlomek:

${ displaystyle x = { frac { displaystyle 1 + { frac { displaystyle 1 + { frac { displaystyle 1+ cdots} { displaystyle a_ {3}}}} { displaystyle a_ {2}} }} { displaystyle a_ {1}}}.}$

Tvrdí, že vzestupné pokračující zlomky, jako je tato, byly studovány již od roku Fibonacci je Liber Abaci (1202). Zdá se, že toto tvrzení odkazuje na Fibonacciho zápis složeného zlomku, ve kterém posloupnost čitatelů a jmenovatelů sdílejících stejný sloupec zlomku představuje vzestupný pokračující zlomek:

${ displaystyle { frac {a b c d} {e f g h}} = { dfrac {d + { dfrac {c + { dfrac {b + { dfrac {a} {e} }} {f}}} {g}}} {h}}.}$

Pokud má taková notace všechny čitatele 0 nebo 1, jak se vyskytuje v několika případech v Liber Abaci, výsledkem je expanze společnosti Engel. Zdá se však, že Engelova expanze jako obecná technika není popsána Fibonaccim.

Algoritmus pro výpočet expanzí Engel

Chcete-li najít Engel expanzi X, nechť

${ displaystyle u_ {1} = x,}$

${ displaystyle a_ {k} = left lceil { frac {1} {u_ {k}}} right rceil,}$

a

${ displaystyle u_ {k + 1} = u_ {k} a_ {k} -1}$

kde ${ displaystyle left lceil r right rceil}$ je stropní funkce (nejmenší celé číslo ne menší než r).

Li ${ displaystyle u_ {i} = 0}$ pro všechny i, zastavit algoritmus.

Iterované funkce pro výpočet expanzí Engel

Další ekvivalentní metodou je uvažovat o mapě ^[2]

${ displaystyle g (x) = x vlevo (1+ vlevo lfloor {x} ^ {- 1} vpravo rfloor vpravo) -1}$

a nastavit

${ displaystyle u_ {k} = 1 + vlevo lfloor { frac {1} {g ^ {(n-1)} (x)}} vpravo rfloor}$

kde

${ displaystyle g ^ {(n)} (x) = g (g ^ {(n-1)} (x))}$ a ${ displaystyle g ^ {(0)} (x) = x}$

Ještě další ekvivalentní metoda, nazývaná modifikovaná Engelova expanze vypočítaná podle

${ displaystyle h (x) = lfloor { frac {1} {x}} rfloor g (x) = lfloor { frac {1} {x}} rfloor left (x lfloor { frac {1} {x}} rfloor + x-1 right)}$

a

${ displaystyle u_ {k} = doleva {{ začátek {pole} {ll} 1+ lfloor { frac {1} {x}} rfloor & n = 1 lfloor { frac {1} {h ^ {(k-2)} (x)}} rfloor left (1+ lfloor { frac {1} {h ^ {(k-1)} (x)}} rfloor right) & n geqslant 2 end {pole}} vpravo.}$

The Operátor přenosu mapy Engel

Frobenius-Perron Operátor přenosu mapy Engel ${ displaystyle g (x)}$ působí na funkce ${ displaystyle f (x)}$ s

${ displaystyle [{ mathcal {L}} _ {g} f] (x) = součet _ {y: g (y) = x} { frac {f (y)} { vlevo | { frac {d} {dz}} g (z) right | _ {z = y}}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {f left ({ frac {x + 1} {n + 1}} vpravo)} {n + 1}}}$

od té doby

${ displaystyle { frac {d} {dx}} (x (n + 1) -1) = n + 1}$ a inverze n-té složky je ${ displaystyle { frac {x + 1} {n + 1}}}$ který je nalezen řešením ${ displaystyle x (n + 1) -1 = y}$ pro ${ displaystyle x}$.

Vztah k Riemannovi ${ displaystyle zeta}$ funkce

The Mellinova transformace mapy ${ displaystyle g (x)}$ souvisí s funkcí Riemanna zeta podle vzorce

${ displaystyle { begin {array} {ll} displaystyle int _ {0} ^ {1} g (x) x ^ {s-1} dx & = displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} int _ { frac {1} {n + 1}} ^ { frac {1} {n}} (x (n + 1) -1) x ^ {s-1} dx & = displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n ^ {- s} (s-1) + (n + 1) ^ {- s-1} (n ^ {2} + 2n + 1) + n ^ {- s-1} sn ^ {1-s}} {(s + 1) s (n + 1)}} & = displaystyle { frac { zeta (s + 1)} {s + 1}} - { frac {1} {s (s + 1)}} end {pole}}}$

Příklad

Chcete-li najít rozšíření Engel 1,175, provedeme následující kroky.

${ displaystyle u_ {1} = 1,175, a_ {1} = left lceil { frac {1} {1.175}} right rceil = 1;}$

${ displaystyle u_ {2} = u_ {1} a_ {1} -1 = 1,175 cdot 1-1 = 0,175, a_ {2} = left lceil { frac {1} {0,175}} right rceil = 6}$

${ displaystyle u_ {3} = u_ {2} a_ {2} -1 = 0,175 cdot 6-1 = 0,05, a_ {3} = left lceil { frac {1} {0,05}} right rceil = 20}$

${ displaystyle u_ {4} = u_ {3} a_ {3} -1 = 0,05 cdot 20-1 = 0}$

Série zde končí. Tím pádem,

${ displaystyle 1.175 = { frac {1} {1}} + { frac {1} {1 cdot 6}} + { frac {1} {1 cdot 6 cdot 20}}}$

a rozšíření Engel 1,175 je {1, 6, 20}.

Engelovy expanze racionálních čísel

Každé kladné racionální číslo má jedinečnou konečnou expanzi Engel. V algoritmu pro expanzi Engel, pokud u_i je racionální číslo X/y, pak u_i+1 = (−y mod X)/y. Proto v každém kroku čitatel ve zbývající části u_i klesá a proces konstrukce Engelovy expanze musí skončit konečným počtem kroků. Každé racionální číslo má také jedinečnou nekonečnou expanzi Engel: používání identity

${ displaystyle { frac {1} {n}} = součet _ {r = 1} ^ { infty} { frac {1} {(n + 1) ^ {r}}}.}$

poslední číslice n v konečné Engel expanzi lze nahradit nekonečnou posloupností (n + 1) s beze změny jeho hodnoty. Například,

${ displaystyle 1.175 = {1,6,20 } = {1,6,21,21,21, tečky }.}$

To je analogické se skutečností, že jakékoli racionální číslo s konečným desetinným vyjádřením má také nekonečné desetinné vyjádření (viz 0.999... ). Nekonečná Engelova expanze, ve které jsou všechny termíny stejné, je a geometrické řady.

Erdős, Rényi a Szüsz požádal o netriviální hranice délky konečné Engelovy expanze racionálního čísla X/y; na tuto otázku odpověděli Erdős a Shallit, který dokázal, že počet členů v expanzi je O (y^{1/3 + ε}) pro libovolné ε> 0.^[3]

Engelovy expanze pro některé známé konstanty

${ displaystyle pi}$ = {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...} (sekvence A006784 v OEIS )

${ displaystyle { sqrt {2}}}$ = {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...} (sekvence A028254 v OEIS )

${ displaystyle e}$ = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...} (sekvence A028310 v OEIS )

A obecně,

${ displaystyle e ^ {1 / r} -1 = {1r, 2r, 3r, 4r, 5r, 6r, tečky }}$

Více rozšíření Engel pro konstanty najdete tady.

Tempo růstu podmínek expanze

Koeficienty A_i expanze Engel obvykle vykazují exponenciální růst; přesněji pro téměř všechny čísla v intervalu (0,1], limit ${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} a_ {n} ^ {1 / n}}$ existuje a rovná se E. Podmnožina intervalu, pro který tomu tak není, je však stále dostatečně velká na to Hausdorffova dimenze je jedna.^[4]

Stejná typická míra růstu platí pro podmínky expanze generované chamtivý algoritmus pro egyptské zlomky. Sada reálných čísel v intervalu (0,1], jejichž Engelovy expanze se shodují s jejich chamtivými expanzemi, má však nulu a Hausdorffův rozměr 1/2.^[5]

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W.. „Engel Expansion“. MathWorld – webový zdroj Wolfram.