Funkce Riemann Xi - Riemann Xi function - Wikipedia

Funkce Riemann xi ${ displaystyle xi (s)}$ v složité letadlo. Barva bodu ${ displaystyle s}$ kóduje hodnotu funkce. Tmavší barvy označují hodnoty blíže k nule a odstín kóduje hodnoty argument.

v matematika, Funkce Riemann Xi je varianta Funkce Riemann zeta, a je definován tak, aby měl obzvláště jednoduchý funkční rovnice. Funkce je pojmenována na počest Bernhard Riemann.

Definice

Riemannova původní malá funkce „xi“, ${ displaystyle xi}$ byla přejmenována na velká písmena ${ displaystyle ~ Xi ~}$ (Řecké písmeno „Xi“ ) od Edmund Landau. Landau je malá písmena ${ displaystyle ~ xi ~}$ ("xi") je definována jako^[1]

${ displaystyle xi (s) = { frac {1} {2}} s (s-1) pi ^ {- s / 2} Gamma left ({ frac {s} {2}} vpravo) zeta (s)}$

pro ${ displaystyle s in mathbb {C}}$. Tady ${ displaystyle zeta (s)}$ označuje Funkce Riemann zeta a ${ Displaystyle Gama (y)}$ je Funkce gama. Funkční rovnice (nebo reflexní vzorec ) pro Landau ${ displaystyle ~ xi ~}$ je

${ displaystyle xi (1-s) = xi (s) ~.}$

Riemannova původní funkce, rebaptizovaná velká písmena ${ displaystyle ~ Xi ~}$ od Landau,^[1] splňuje

${ displaystyle Xi (z) = xi vlevo ({ tfrac {1} {2}} + zi vpravo)}$,

a řídí se funkční rovnicí

${ displaystyle Xi (-z) = Xi (z) ~.}$

Obě funkce jsou celý a čistě reálné pro skutečné argumenty.

Hodnoty

Obecná forma pro kladná i celá čísla je

${ displaystyle xi (2n) = (- 1) ^ {n + 1} { frac {n!} {(2n)!}} B_ {2n} 2 ^ {2n-1} pi ^ {n} (2n-1)}$

kde B_n označuje n-th Bernoulliho číslo. Například:

${ displaystyle xi (2) = { frac { pi} {6}}}$

Sériové reprezentace

The ${ displaystyle xi}$ funkce má rozšíření řady

${ displaystyle { frac {d} {dz}} ln xi vlevo ({ frac {-z} {1-z}} vpravo) = součet _ {n = 0} ^ { infty} lambda _ {n + 1} z ^ {n},}$

kde

${ displaystyle lambda _ {n} = { frac {1} {(n-1)!}} vlevo. { frac {d ^ {n}} {ds ^ {n}}} vlevo [s ^ {n-1} log xi (s) right] right | _ {s = 1} = sum _ { rho} left [1- left (1 - { frac {1} { rho}} right) ^ {n} right],}$

kde součet přesahuje ρ, netriviální nuly funkce zeta, v pořadí ${ displaystyle | Im ( rho) |}$.

Tato expanze hraje obzvláště důležitou roli v Li kritérium, ve kterém se uvádí, že Riemannova hypotéza je ekvivalentní s λ_n > 0 pro všechny pozitivní n.

Produkt Hadamard

Jednoduchý nekonečný produkt expanze je

${ displaystyle xi (s) = { frac {1} {2}} prod _ { rho} vlevo (1 - { frac {s} { rho}} vpravo), !}$

kde ρ se pohybuje přes kořeny ξ.

Aby byla zajištěna konvergence v expanzi, měl by produkt převzít „odpovídající páry“ nul, tj. Faktory pro dvojici nul ve tvaru ρ a 1 − ρ by měly být seskupeny dohromady.

Reference

Další reference

• Weisstein, Eric W. "Xi-funkce". MathWorld.
• Keiper, J. B. (1992). "Rozšíření řady funkcí Riemannova xi o výkonové řady". Matematika výpočtu. 58 (198): 765–773. Bibcode:1992MaCom..58..765K. doi:10.1090 / S0025-5718-1992-1122072-5.

Tento článek obsahuje materiál z Riemannovy funkce PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.