O počtu prvočísel menších než daná velikost - On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude

Článek

"Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"(obvykle Angličtina překlad: „O počtu prvočísel menších než daná velikost„) je klíčový 9stránkový dokument od autora Bernhard Riemann zveřejněné v listopadu 1859 vydání Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.

Přehled

Tato práce studuje funkce počítání prvočísel pomocí analytických metod. I když je to jediný dokument, který Riemann kdy publikoval teorie čísel obsahuje myšlenky, které ovlivnily tisíce badatelů v období od konce 19. století do současnosti. Příspěvek se skládá převážně z definice, heuristický argumenty, náčrtky důkazy a použití výkonných analytických metod; to vše se stalo nezbytným koncepty a nástroje moderní analytická teorie čísel.

Mezi novými zavedenými definicemi, nápady a notací:

Mezi důkazy a náčrty důkazů:

  • Dva důkazy o funkční rovnice z ζ (s)
  • Důkazní náčrt reprezentace produktu ξ (s)
  • Důkazní náčrt aproximace počtu kořenů ξ (s), jehož imaginární části leží mezi 0 a T.

Mezi domněnkami:

  • The Riemannova hypotéza, že všechny (netriviální) nuly ζ (s) mají skutečnou část 1/2. Riemann to konstatuje z hlediska kořenů související funkce ",„ ... je jisté, že je to wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeb bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. " To znamená, „je velmi pravděpodobné, že všechny kořeny jsou skutečné. Jeden by si však přál přísný důkaz; já jsem však po několika letmých marných pokusech hledání takových věcí dočasně odložil, protože se jeví jako zbytečné pro další cíl mého vyšetřování. “ (Diskutoval o verzi funkce zeta, upravené tak, aby její kořeny byly skutečné, spíše než na kritické linii.)

Nové metody a techniky používané v teorii čísel:

Riemann také diskutoval vztah mezi ζ (s) a rozdělení prvočísel pomocí funkce J(X) v zásadě jako opatření pro Stieltjesova integrace. Poté získal hlavní výsledek příspěvku, vzorec pro J(X) porovnáním s ln (ζ (s)). Riemann pak našel vzorec pro funkce počítání prvočísel π (X) (kterou volá.) F(X)). Poznamenává, že jeho rovnice vysvětluje skutečnost, že π (X) roste pomaleji než logaritmický integrál, jak bylo zjištěno Carl Friedrich Gauss a Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt.

Příspěvek obsahuje některé zvláštnosti pro moderní čtenáře, například použití Π (s - 1) místo Γ (s), psaní tt namísto t2a pomocí meze z ∞ do ∞ jako k označení a konturový integrál.

Reference

  • Edwards, H. M. (1974), Riemannova funkce Zeta, New York: Academic Press, ISBN  0-12-232750-0, Zbl  0315.10035

externí odkazy