V matematice je Abel – Plana vzorec je součet vzorec objevený nezávisle uživatelem Niels Henrik Abel (1823 ) a Giovanni Antonio Amedeo Plana (1820 ). Uvádí to
∑ n = 0 ∞ F ( n ) = ∫ 0 ∞ F ( X ) d X + 1 2 F ( 0 ) + i ∫ 0 ∞ F ( i t ) − F ( − i t ) E 2 π t − 1 d t . { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} f (n) = int _ {0} ^ { infty} f (x) , dx + { frac {1} {2}} f (0) + i int _ {0} ^ { infty} { frac {f (it) -f (-it)} {e ^ {2 pi t} -1}} , dt.} Platí pro funkce F to jsou holomorfní v oblasti Re (z ) ≥ 0 a uspokojit vhodné podmínky růstu v této oblasti; například stačí předpokládat, že |F | je ohraničen C /|z |1 + ε v této oblasti pro některé konstanty C , ε> 0, ačkoli vzorec platí také pro mnohem slabší hranice. (Olver 1997 , str. 290).
Příklad poskytuje Funkce Hurwitz zeta ,
ζ ( s , α ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + α ) s = α 1 − s s − 1 + 1 2 α s + 2 ∫ 0 ∞ hřích ( s arktan t α ) ( α 2 + t 2 ) s 2 d t E 2 π t − 1 , { displaystyle zeta (s, alfa) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(n + alpha) ^ {s}}} = { frac { alfa ^ {1-s}} {s-1}} + { frac {1} {2 alpha ^ {s}}} + 2 int _ {0} ^ { infty} { frac { sin left (s arctan { frac {t} { alpha}} right)} {( alpha ^ {2} + t ^ {2}) ^ { frac {s} {2}}}} { frac {dt} {e ^ {2 pi t} -1}},} který platí pro všechny s ∈ ℂ , s ≠ 1 .
Abel také dal následující variantu pro střídavé částky:
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n F ( n ) = 1 2 F ( 0 ) + i ∫ 0 ∞ F ( i t ) − F ( − i t ) 2 sinh ( π t ) d t . { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} f (n) = { frac {1} {2}} f (0) + i int _ {0 } ^ { infty} { frac {f (it) -f (-it)} {2 sinh ( pi t)}} , dt.} Důkaz Nechat F { displaystyle f} být holomorfní ℜ ( z ) ≥ 0 { displaystyle Re (z) geq 0} , takový, že F ( 0 ) = 0 { displaystyle f (0) = 0} , F ( z ) = Ó ( | z | k ) { displaystyle f (z) = O (| z | ^ {k})} a pro arg ( z ) ∈ ( − β , β ) { displaystyle { text {arg}} (z) v (- beta, beta)} , F ( z ) = Ó ( | z | − 1 − δ ) { displaystyle f (z) = O (| z | ^ {- 1- delta})} . Brát A = E i β / 2 { displaystyle a = e ^ {i beta / 2}} s věta o zbytku
∫ A − 1 ∞ 0 + ∫ 0 A ∞ F ( z ) E − 2 i π z − 1 d z = − 2 i π ∑ n = 0 ∞ R E s ( F ( z ) E − 2 i π z − 1 ) = ∑ n = 0 ∞ F ( n ) . { displaystyle int _ {a ^ {- 1} infty} ^ {0} + int _ {0} ^ {a infty} { frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1}} dz = -2i pi sum _ {n = 0} ^ { infty} Res left ({ frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1 }} right) = sum _ {n = 0} ^ { infty} f (n).} Pak
∫ A − 1 ∞ 0 F ( z ) E − 2 i π z − 1 d z = − ∫ 0 A − 1 ∞ F ( z ) E − 2 i π z − 1 d z = ∫ 0 A − 1 ∞ F ( z ) E 2 i π z − 1 d z + ∫ 0 A − 1 ∞ F ( z ) d z = = ∫ 0 ∞ F ( A − 1 t ) E 2 i π A − 1 t − 1 d ( A − 1 t ) + ∫ 0 ∞ F ( t ) d t . { displaystyle { begin {aligned} int _ {a ^ {- 1} infty} ^ {0} { frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1}} dz & = - int _ {0} ^ {a ^ {- 1} infty} { frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1}} dz = int _ {0} ^ {a ^ {- 1} infty} { frac {f (z)} {e ^ {2i pi z} -1}} dz + int _ {0} ^ {a ^ {- 1} infty } f (z) dz = & = int _ {0} ^ { infty} { frac {f (a ^ {- 1} t)} {e ^ {2i pi a ^ {- 1} t} -1}} d (a ^ {- 1} t) + int _ {0} ^ { infty} f (t) dt. end {zarovnáno}}}
Za použití Cauchyho integrální věta pro poslední. ∫ 0 A ∞ F ( z ) E − 2 i π z − 1 d z = ∫ 0 ∞ F ( A t ) E − 2 i π A t − 1 d ( A t ) { displaystyle int _ {0} ^ {a infty} { frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1}} dz = int _ {0} ^ { infty } { frac {f (zavináč)} {e ^ {- 2i pi zavináč} -1}} d (zavináč)} , tedy získání
∑ n = 0 ∞ F ( n ) = ∫ 0 ∞ ( F ( t ) + A F ( A t ) E − 2 i π A t − 1 + A − 1 F ( A − 1 t ) E 2 i π A − 1 t − 1 ) d t . { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} f (n) = int _ {0} ^ { infty} left (f (t) + { frac {a , f (v )} {e ^ {- 2i pi at} -1}} + { frac {a ^ {- 1} f (a ^ {- 1} t)} {e ^ {2i pi a ^ {- 1 } t} -1}} vpravo) dt.} Tato identita zůstává pravdivá analytickým pokračováním všude, kde integrál konverguje, nechává A → i { displaystyle a to i} získáme Abel-Planovu formuli
∑ n = 0 ∞ F ( n ) = ∫ 0 ∞ ( F ( t ) + i F ( i t ) − i F ( − i t ) E 2 π t − 1 ) d t { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} f (n) = int _ {0} ^ { infty} left (f (t) + { frac {i , f (it ) -i , f (-it)} {e ^ {2 pi t} -1}} vpravo) dt} .Pouzdro f (0) ≠ 0 se získá obdobně, nahradí ∫ A − 1 ∞ A ∞ F ( z ) E − 2 i π z − 1 d z { displaystyle int _ {a ^ {- 1} infty} ^ {a infty} { frac {f (z)} {e ^ {- 2i pi z} -1}} dz} dvěma integrály sledujícími stejné křivky s malým odsazením vlevo a vpravo od 0 .
Viz také Reference Abel, N.H. (1823), Řešení de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies Butzer, P.L .; Ferreira, P. J. S. G .; Schmeisser, G .; Stens, R. L. (2011), „Součtové vzorce Euler-Maclaurin, Abel-Plana, Poisson a jejich propojení s přibližným vzorcem vzorkování analýzy signálu“, Výsledky v matematice , 59 (3): 359–400, doi :10.1007 / s00025-010-0083-8 , ISSN 1422-6383 , PAN 2793463 Olver, Frank William John (1997) [1974], Asymptotika a speciální funkce AKP Classics, Wellesley, MA: A K Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-069-0 , PAN 1429619 Plana, G.A.A. (1820), „Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites“, Mem. Accad. Sci. Turín , 25 : 403–418 externí odkazy