Stefan – Boltzmannův zákon - Stefan–Boltzmann law

Graf funkce celkové emitované energie černého tělesa ${ displaystyle j ^ { star}}$ úměrné jeho termodynamické teplotě ${ displaystyle T ,}$. V modré barvě je celková energie podle Vídeňská aproximace, ${ displaystyle j_ {W} ^ { star} = j ^ { star} / zeta (4) přibližně 0,924 , sigma T ^ {4} ! ,}$

The Stefan – Boltzmannův zákon popisuje sílu vyzařovanou z a černé tělo pokud jde o jeho teplota. Konkrétně Stefan – Boltzmannův zákon stanoví, že celkem energie vyzařované na jednotku plocha povrchu a černé tělo přes všechny vlnové délky za jednotku čas ${ displaystyle j ^ { star}}$ (také známý jako černé tělo záření ) je přímo úměrný na čtvrtou sílu černého těla termodynamická teplota T:

${ displaystyle j ^ { star} = sigma T ^ {4}.}$

The konstanta proporcionality σ, volal Stefan – Boltzmannova konstanta, je odvozen z jiných známých fyzikální konstanty. Hodnota konstanty je

${ displaystyle sigma = { frac {2 pi ^ {5} k ^ {4}} {15c ^ {2} h ^ {3}}} = 5,670373 krát 10 ^ {- 8} , mathrm {W , m ^ {- 2} K ^ {- 4}},}$

kde k je Boltzmannova konstanta, h je Planckova konstanta, a C je rychlost světla ve vakuu. The záře ze zadaného úhlu pohledu (wattů na metr čtvereční na steradský ) darováno

${ displaystyle L = { frac {j ^ { star}} { pi}} = { frac { sigma} { pi}} T ^ {4}.}$

Tělo, které neabsorbuje veškeré dopadající záření (někdy známé jako šedé tělo), vyzařuje méně celkové energie než černé tělo a je charakterizováno emisivita, ${ displaystyle varepsilon <1}$:

${ displaystyle j ^ { star} = varepsilon sigma T ^ {4}.}$

Sálavá emise ${ displaystyle j ^ { star}}$ má rozměry z energetický tok (energie za jednotku času na jednotku plochy) a SI jednotky opatření jsou joulů za sekundu na metr čtvereční nebo ekvivalentně wattů na metr čtvereční. Jednotka SI pro absolutní teplotu T je kelvin. ${ displaystyle varepsilon}$ je emisivita šedého těla; pokud je to perfektní černé tělo, ${ displaystyle varepsilon = 1}$. V ještě obecnějším (a realističtějším) případě emisivita závisí na vlnové délce, ${ displaystyle varepsilon = varepsilon ( lambda)}$.

Chcete-li zjistit součet Napájení vyzařovaný z objektu, vynásobený jeho povrchovou plochou, ${ displaystyle A}$:

${ displaystyle P = Aj ^ { star} = A varepsilon sigma T ^ {4}.}$

Částice v měřítku vlnové délky a vlnové délky,^[1] metamateriály,^[2] a další nanostruktury nepodléhají paprskově-optickým limitům a mohou být navrženy tak, aby překračovaly Stefan – Boltzmannův zákon.

Dějiny

V roce 1864 John Tyndall prezentované měření infračervené emise platinovým vláknem a odpovídající barvou vlákna.^[3] Proporcionalita absolutní teploty ke čtvrté moci byla odvozena od Josef Stefan (1835–1893) v roce 1879 na základě Tyndallových experimentálních měření v článku Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (O vztahu mezi tepelným zářením a teplotou) v Bulletiny ze zasedání vídeňské akademie věd.^[4][5]

Odvození zákona od teoretických úvah bylo předloženo Ludwig Boltzmann (1844–1906) v roce 1884, čerpající z práce Adolfo Bartoli.^[6] Bartoli v roce 1876 odvodil existenci radiační tlak z principů termodynamika. Po Bartoli považoval Boltzmann za ideál tepelný motor pomocí elektromagnetického záření místo ideálního plynu jako pracovní látky.

Zákon byl téměř okamžitě experimentálně ověřen. Heinrich Weber v roce 1888 poukázal na odchylky při vyšších teplotách, ale dokonalá přesnost v rámci nejistot měření byla potvrzena až do teplot 1535 K do roku 1897.^[7]Zákon, včetně teoretické predikce Stefan – Boltzmannova konstanta jako funkce rychlost světla, Boltzmannova konstanta a Planckova konstanta, je přímý důsledek z Planckův zákon ve znění z roku 1900.

Příklady

Teplota Slunce

Svým zákonem určil Stefan také teplotu slunce povrch.^[8] Vyvodil to z údajů Jacques-Louis Soret (1827–1890)^[9] že hustota energetického toku ze Slunce je 29krát větší než hustota energetického toku určitého zahřátého kovu lamela (tenký talíř). Kulatá lamela byla umístěna v takové vzdálenosti od měřícího zařízení, aby byla viditelná ve stejném úhlu jako Slunce. Soret odhadl teplotu lamely na přibližně 1900 ° C do 2000 ° C. Stefan předpokládal, že ⅓ toku energie ze Slunce je absorbováno Atmosféra Země, tak vzal pro správný energetický tok Slunce hodnotu 3/2 krát větší než Soretova hodnota, jmenovitě 29 × 3/2 = 43,5.

Přesná měření atmosférické vstřebávání byly vyrobeny až v letech 1888 a 1904. Teplota, kterou Stefan získal, byla střední hodnotou předchozích, 1950 ° C a absolutní termodynamická 2200 K. As 2,57⁴ = 43,5, ze zákona vyplývá, že teplota Slunce je 2,57krát vyšší než teplota lamely, takže Stefan dostal hodnotu 5430 ° C nebo 5700 K (moderní hodnota je 5778 K^[10]). Jednalo se o první rozumnou hodnotu teploty Slunce. Před tím hodnoty v rozmezí od 1 800 ° C do 13 000 000 ° C^[11] byly nárokovány. Spodní hodnota 1 800 ° C byla určena Claude Pouillet (1790–1868) v roce 1838 pomocí Dulong – Petitův zákon.^[12] Pouillet také vzal jen poloviční hodnotu správného energetického toku Slunce.

Teplota hvězd

Teplota hvězdy jiné než Slunce lze aproximovat podobným způsobem zpracováním emitované energie jako a černé tělo záření.^[13] Tak:

${ displaystyle L = 4 pi R ^ {2} sigma {T_ {e}} ^ {4}}$

kde L je zářivost, σ je Stefan – Boltzmannova konstanta, R je hvězdný poloměr a T je efektivní teplota. Stejný vzorec lze použít k výpočtu přibližného poloměru hvězdy hlavní posloupnosti vzhledem ke slunci:

${ displaystyle { frac {R} {R _ { odot}}} přibližně vlevo ({ frac {T _ { odot}} {T}} vpravo) ^ {- 2} cdot { sqrt { frac {L} {L _ { odot}}}}}$

kde ${ displaystyle R _ { odot}}$ je sluneční poloměr, ${ displaystyle L _ { odot}}$ je sluneční svítivost, a tak dále.

Podle zákona Stefan-Boltzmann astronomové lze snadno odvodit poloměry hvězd. Zákon je rovněž splněn v termodynamika z černé díry v tzv Hawkingovo záření.

Efektivní teplota Země

Podobně můžeme vypočítat efektivní teplota ze země T_⊕ srovnáním energie přijaté ze Slunce a energie vyzařované Zemí pod aproximací černého tělesa (vlastní produkce energie Země je dostatečně malá na to, aby byla zanedbatelná). Svítivost Slunce, L_⊙, darováno:

${ displaystyle L _ { odot} = 4 pi R _ { odot} ^ {2} sigma T _ { odot} ^ {4}}$

Na Zemi tato energie prochází koulí s poloměrem A₀, vzdálenost mezi Zemí a Sluncem, a ozáření (přijatý výkon na jednotku plochy) je dán vztahem

${ displaystyle E _ { oplus} = { frac {L _ { odot}} {4 pi a_ {0} ^ {2}}}}$

Země má poloměr R_⊕, a proto má průřez ${ displaystyle pi R _ { oplus} ^ {2}}$. The sálavý tok (tj. sluneční energie) absorbovaná Zemí je tedy dána vztahem:

${ displaystyle Phi _ { text {abs}} = pi R _ { oplus} ^ {2} krát E _ { oplus}:}$

Protože Stefan – Boltzmannův zákon používá čtvrtou mocninu, má stabilizační účinek na výměnu a tok emitovaný Zemí má tendenci se rovnat absorbovanému toku, blízkému ustálenému stavu, kde:

${ displaystyle { begin {aligned} 4 pi R _ { oplus} ^ {2} sigma T _ { oplus} ^ {4} & = pi R _ { oplus} ^ {2} krát E _ { oplus} & = pi R _ { oplus} ^ {2} times { frac {4 pi R _ { odot} ^ {2} sigma T _ { odot} ^ {4}} {4 pi a_ {0} ^ {2}}} end {zarovnáno}}}$

T_⊕ pak lze nalézt:

${ displaystyle { begin {aligned} T _ { oplus} ^ {4} & = { frac {R _ { odot} ^ {2} T _ { odot} ^ {4}} {4a_ {0} ^ { 2}}} T _ { oplus} & = T _ { odot} times { sqrt { frac {R _ { odot}} {2a_ {0}}}} & = 5780 ; { rm {K}} krát { sqrt {696 krát 10 ^ {6} ; { rm {m}} více než 2 krát 149,598 krát 10 ^ {9} ; { rm {m}} }} & cca 279 ; { rm {K}} end {zarovnáno}}}$

kde T_⊙ je teplota Slunce, R_⊙ poloměr Slunce a A₀ je vzdálenost mezi Zemí a Sluncem. To dává efektivní teplotu 6 ° C na povrchu Země, za předpokladu, že dokonale absorbuje veškerou emisi dopadající na ni a nemá atmosféru.

Země má albedo 0,3, což znamená, že 30% slunečního záření dopadajícího na planetu se rozptýlí zpět do vesmíru bez absorpce. Účinek albeda na teplotu lze odhadnout za předpokladu, že absorbovaná energie se vynásobí 0,7, ale planeta stále vyzařuje jako černé těleso (druhé z definice efektivní teplota, což počítáme). Tato aproximace snižuje teplotu o faktor 0,7^1/4, což dává 255 K (-18 ° C).^[14][15]

Výše uvedená teplota je Země při pohledu z vesmíru, nikoli teplota země, ale průměr ve všech emitujících tělesech Země z povrchu do vysoké nadmořské výšky. Kvůli skleníkový efekt, skutečná průměrná povrchová teplota Země je asi 288 K (15 ° C), což je vyšší než efektivní teplota 255 K, a dokonce vyšší než teplota 279 K, kterou by mělo černé těleso.

Ve výše uvedené diskusi jsme předpokládali, že celý povrch Země má jednu teplotu. Další zajímavou otázkou je zeptat se, jaká by byla teplota povrchu černého tělesa na Zemi za předpokladu, že dosáhne rovnováhy se dopadajícím slunečním světlem. To samozřejmě závisí na úhlu slunce na povrchu a na tom, kolik vzduchu prošlo sluneční světlo. Když je slunce za zenitem a povrch je vodorovný, může být ozáření až 1120 W / m².^[16] Stefan – Boltzmannův zákon pak udává teplotu

${ displaystyle T = left ({ frac {1120 { text {W / m}} ^ {2}} { sigma}} right) ^ {1/4} přibližně 375 { text {K} }}$

nebo 102 ° C. (Nad atmosférou je výsledek ještě vyšší: 394 K.) Můžeme uvažovat o zemském povrchu jako o „pokusu“ dosáhnout rovnovážné teploty během dne, ale o ochlazení atmosférou a „pokusu“ o dosažení rovnováhy hvězdným světlem a možná měsíční svit v noci, ale ohřívaná atmosférou.

Původ

Termodynamická derivace hustoty energie

Skutečnost, že hustota energie krabice obsahující záření je úměrná ${ displaystyle T ^ {4}}$ lze odvodit pomocí termodynamiky.^[17][18] Tato derivace využívá vztah mezi radiační tlak str a vnitřní energie hustota ${ displaystyle u}$vztah, který lze zobrazit pomocí formuláře tenzor elektromagnetického napětí a energie. Tento vztah je:

${ displaystyle p = { frac {u} {3}}.}$

Nyní z základní termodynamický vztah

${ displaystyle dU = T , dS-p , dV,}$

získáme následující výraz po dělení ${ displaystyle dV}$ a upevnění ${ displaystyle T}$ :

${ displaystyle left ({ frac { částečné U} { částečné V}} pravé) _ {T} = T levé ({ frac { částečné S} { částečné V}} pravé) _ {T} -p = T vlevo ({ frac { částečné p} { částečné T}} pravé) _ {V} -p.}$

Poslední rovnost pochází z následujícího Maxwellův vztah:

${ displaystyle left ({ frac { částečné S} { částečné V}} pravé) _ {T} = levé ({ frac { částečné p} { částečné T}} pravé) _ { PROTI}.}$

Z definice hustoty energie to vyplývá

${ displaystyle U = uV}$

kde hustota energie záření závisí pouze na teplotě, proto

${ displaystyle left ({ frac { částečné U} { částečné V}} pravé) _ {T} = u levé ({ frac { částečné V} { částečné V}} pravé) _ {T} = u.}$

Nyní rovnost

${ displaystyle left ({ frac { částečné U} { částečné V}} pravé) _ {T} = T levé ({ frac { částečné p} { částečné T}} pravé) _ {V} -p,}$

po nahrazení ${ displaystyle left ({ frac { částečné U} { částečné V}} pravé) _ {T}}$ a ${ displaystyle p}$ pro odpovídající výrazy lze zapsat jako

${ displaystyle u = { frac {T} {3}} vlevo ({ frac { částečné u} { částečné T}} pravé) _ {V} - { frac {u} {3}} .}$

Protože parciální derivace ${ displaystyle left ({ frac { částečné u} { částečné T}} pravé) _ {V}}$ lze vyjádřit jako vztah pouze mezi ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle T}$ (pokud ho někdo izoluje na jedné straně rovnosti), lze částečnou derivaci nahradit obyčejnou derivací. Po oddělení diferenciálů se stane rovnost

${ displaystyle { frac {du} {4u}} = { frac {dT} {T}},}$

což okamžitě vede k ${ displaystyle u = AT ^ {4}}$, s ${ displaystyle A}$ jako nějaká konstanta integrace.

Odvození od Planckova zákona

Odvození Stefan – Boltzmannova zákona pomocí Planckův zákon.

Zákon lze odvodit zvážením malého bytu černé tělo povrch vyzařující do polokoule. Tato derivace používá sférické souřadnice, s θ jako zenitový úhel a φ jako azimutální úhel; a malá plochá plocha černého těla leží na rovině xy, kde θ = ^π/₂.

Intenzita světla vyzařovaného z povrchu černého tělesa je dána vztahem Planckův zákon  :

${ displaystyle I ( nu, T) = { frac {2h nu ^ {3}} {c ^ {2}}} { frac {1} {e ^ {h nu / (kT)} - 1}}.}$

kde

• ${ displaystyle I ( nu, T) ,}$ je částka Napájení za jednotku plocha povrchu za jednotku plný úhel za jednotku frekvence emitované na frekvenci ${ displaystyle nu ,}$ černým tělesem při teplotě T.
• ${ displaystyle h ,}$ je Planckova konstanta
• ${ displaystyle c ,}$ je rychlost světla, a
• ${ displaystyle k ,}$ je Boltzmannova konstanta.

Množství ${ displaystyle I ( nu, T) ~ A ~ d nu ~ d Omega}$ je Napájení vyzařovaný povrchem oblasti A přes a plný úhel dΩ ve frekvenčním rozsahu mezi ν a ν + dν.

Stefan – Boltzmannův zákon udává energii emitovanou na jednotku plochy emitujícího těla,

${ displaystyle { frac {P} {A}} = int _ {0} ^ { infty} I ( nu, T) , d nu int cos theta , d Omega , }$

Všimněte si, že kosinus se objeví, protože jsou černá tělesa Lambertian (tj. poslouchají Lambertův kosinový zákon ), což znamená, že intenzita pozorovaná podél koule bude skutečnou intenzitou krát kosinus zenitového úhlu. K odvození Stefan – Boltzmannova zákona musíme integrovat dΩ = hřích (θ) dθ dφ přes polokouli a integrovat se ν od 0 do ∞.

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {P} {A}} & = int _ {0} ^ { infty} I ( nu, T) , d nu int _ {0} ^ {2 pi} , d varphi int _ {0} ^ { pi / 2} cos theta sin theta , d theta & = pi int _ {0} ^ { infty} I ( nu, T) , d nu end {zarovnáno}}}$

Pak připojíme k Já:

${ displaystyle { frac {P} {A}} = { frac {2 pi h} {c ^ {2}}} int _ {0} ^ { infty} { frac { nu ^ { 3}} {e ^ { frac {h nu} {kT}} - 1}} , d nu}$

Chcete-li vyhodnotit tento integrál, proveďte substituci,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} u & = { frac {h nu} {kT}} [6pt] du & = { frac {h} {kT}} , d nu end {zarovnáno} }}$

který dává:

${ displaystyle { frac {P} {A}} = { frac {2 pi h} {c ^ {2}}} doleva ({ frac {kT} {h}} doprava) ^ {4 } int _ {0} ^ { infty} { frac {u ^ {3}} {e ^ {u} -1}} , du.}$

Integrál vpravo je standardní a má mnoho jmen: jedná se o konkrétní případ a Bose – Einsteinův integrál, polylogaritmus, nebo Funkce Riemann zeta ${ displaystyle zeta (s)}$. Hodnota integrálu je ${ displaystyle 6 zeta (4) = { frac { pi ^ {4}} {15}}}$Výsledkem je, že pro dokonalý povrch černého těla:

${ displaystyle j ^ { star} = sigma T ^ {4} ~, ~~ sigma = { frac {2 pi ^ {5} k ^ {4}} {15c ^ {2} h ^ { 3}}} = { frac { pi ^ {2} k ^ {4}} {60 hbar ^ {3} c ^ {2}}}.}$

Nakonec tento důkaz začal pouze s ohledem na malý plochý povrch. Nicméně jakékoli rozlišitelný povrch lze aproximovat souborem malých plochých povrchů. Dokud geometrie povrchu nezpůsobí, že černé tělo reabsorbuje své vlastní záření, je celková vyzařovaná energie pouze součtem energií vyzařovaných každým povrchem; a celková povrchová plocha je pouze součtem ploch každé plochy - takže tento zákon platí pro všechny konvexní černé kostry, pokud má povrch po celou dobu stejnou teplotu. Zákon se vztahuje na záření z nekonvexních těl s využitím skutečnosti, že konvexní obal černého těla vyzařuje, jako by to bylo samo o sobě černé tělo.

Hustota energie

Celková hustota energie U lze podobně vypočítat, kromě toho, že integrace je přes celou sféru a neexistuje kosinus, a energetický tok (U c) by měl být vydělen rychlostí C dát hustotu energie U:

${ displaystyle U = { frac {1} {c}} int _ {0} ^ { infty} I ( nu, T) , d nu int , d Omega ,}$

Tím pádem ${ displaystyle int _ {0} ^ { pi / 2} cos theta sin theta , d theta}$ je nahrazen ${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin theta , d theta}$, což dává další faktor 4.

Celkově tedy:

${ displaystyle U = { frac {4} {c}} , sigma , T ^ {4}}$

Viz také

• Vídeňský zákon o vysídlení
• Rayleigh – Jeansův zákon
• Záře
• Zero-dimenzionální modely
• Černé tělo
• Rovnice Sakuma – Hattori
• Radó von Kövesligethy

Poznámky

Reference

• Stefan, J. (1879), „Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur“ [O vztahu mezi tepelným zářením a teplotou] (PDF), Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (v němčině), 79: 391–428
• Boltzmann, L. (1884), „Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der elektromagnetromagnetischen Lichttheorie“ [Odvození malého Stefanova zákona týkajícího se závislosti tepelného záření na teplotě elektromagnetické teorie světla], Annalen der Physik und Chemie (v němčině), 258 (6): 291–294, Bibcode:1884AnP ... 258..291B, doi:10,1002 / a 18842580616