Fatní lemma - Fatous lemma - Wikipedia

v matematika, Fatouovo lemma zakládá nerovnost týkající se Lebesgueův integrál z limit horší a sekvence z funkce k limitu horšímu než integrály těchto funkcí. The lemma je pojmenován po Pierre Fatou.

Fatouovo lema lze použít k prokázání Fatou – Lebesgueova věta a Lebesgueova dominující věta o konvergenci.

Standardní prohlášení o Fatouově lematu

V tom, co následuje, ${ displaystyle operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}}}$ označuje ${ displaystyle sigma}$-algebra z Sady Borel na ${ displaystyle [0, + infty]}$.

Fatouovo lemma. Vzhledem k změřte prostor ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, mu)}$ a sada ${ displaystyle X v { mathcal {F}},}$ nechat ${ displaystyle {f_ {n} }}$ být posloupností ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-měřitelné nezáporné funkce ${ displaystyle f_ {n}: X až [0, + infty]}$. Definujte funkci ${ displaystyle f: X až [0, + infty]}$ nastavením ${ displaystyle f (x) = liminf _ {n až infty} f_ {n} (x),}$ pro každého ${ displaystyle x v X}$.

Pak ${ displaystyle f}$ je ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$- měřitelné a také ${ displaystyle int _ {X} f , d mu leq liminf _ {n až infty} int _ {X} f_ {n} , d mu}$ .

Poznámka 1. Integrály mohou být konečné nebo nekonečné.

Poznámka 2. Fatouovo lema zůstává pravdivé, pokud platí jeho předpoklady ${ displaystyle mu}$- téměř všude. Jinými slovy stačí, že existuje nulová sada ${ displaystyle N}$ taková, že sekvence ${ displaystyle {f_ {n} (x) }}$ neklesá pro každého ${ displaystyle {x v X setminus N}.}$ Abychom pochopili, proč je to pravda, začneme pozorováním, které umožňuje posloupnost ${ displaystyle {f_ {n} }}$ bodové neklesání téměř všude způsobuje jeho bodový limit ${ displaystyle f}$ být nedefinováno na nějaké nulové sadě ${ displaystyle N}$. Na této nulové sadě ${ displaystyle f}$ mohou být poté definovány libovolně, např. jako nula nebo jakýmkoli jiným způsobem, který zachovává měřitelnost. Chcete-li zjistit, proč to neovlivní výsledek, nezapomeňte, že od té doby ${ displaystyle { mu (N) = 0},}$ máme pro každého ${ displaystyle k,}$

${ displaystyle int _ {X} f_ {k} , d mu = int _ {X setminus N} f_ {k} , d mu}$ a ${ displaystyle int _ {X} f , d mu = int _ {X setminus N} f , d mu,}$

pokud ${ displaystyle f}$ je ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-měřitelný. (Tyto rovnosti vyplývají přímo z definice Lebesgueova integrálu pro nezápornou funkci).

Pro použití v korektuře definujte posloupnost funkcí pomocí ${ displaystyle textstyle g_ {n} (x): = inf _ {k geq n} f_ {k} (x)}$ .

Poznámka 3. Pro každého ${ displaystyle x v X}$,

Poznámka 4. Důkaz níže nepoužívá žádné vlastnosti Lebesgueova integrálu kromě těch, které jsou zde uvedeny.

Poznámka 5 (monotónnost Lebesgueova integrálu). V důkazu níže použijeme monotónní vlastnost Lebesgueova integrálu pouze na nezáporné funkce. Konkrétně (viz Poznámka 4), nechte funkce ${ displaystyle f, g: X až [0, + infty]}$ být ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-měřitelný.

• Li ${ displaystyle f leq g}$ všude ${ displaystyle X,}$ pak

${ displaystyle int _ {X} f , d mu leq int _ {X} g , d mu.}$

• Li ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2} in { mathcal {F}}}$ a ${ displaystyle X_ {1} subseteq X_ {2},}$ pak

${ displaystyle int _ {X_ {1}} f , d mu leq int _ {X_ {2}} f , d mu.}$

Důkaz. Označit ${ displaystyle operatorname {SF} (h)}$ sada jednoduchých ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-měřitelné funkce ${ displaystyle s: X až [0, infty)}$ takhle${ displaystyle 0 leq s leq h}$ všude ${ displaystyle X.}$

1. Od té doby ${ displaystyle f leq g,}$ my máme

${ displaystyle operatorname {SF} (f) subseteq operatorname {SF} (g).}$

Podle definice Lebesgueova integrálu a vlastností supremum,

${ displaystyle int _ {X} f , d mu = sup _ {s in { rm {SF}} (f)} int _ {X} s , d mu leq sup _ {s in { rm {SF}} (g)} int _ {X} s , d mu = int _ {X} g , d mu.}$

2. Nechat ${ displaystyle { mathbf {1}} _ {X_ {1}}}$ být indikátorovou funkcí sady ${ displaystyle X_ {1}.}$ Z definice Lebesgueova integrálu lze odvodit, že

${ displaystyle int _ {X_ {2}} f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}} , d mu = int _ {X_ {1}} f , d mu }$

pokud si toho všimneme, pro každého ${ displaystyle s in { rm {SF}} (f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}}),}$ ${ displaystyle s = 0}$ mimo ${ displaystyle X_ {1}.}$ V kombinaci s předchozí vlastností nerovnost ${ displaystyle f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}} leq f}$ naznačuje

${ displaystyle int _ {X_ {1}} f , d mu = int _ {X_ {2}} f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}} , d mu leq int _ {X_ {2}} f , d mu.}$

Důkaz

Tento důkaz ano ne spoléhat na monotónní věta o konvergenci. Vysvětlíme však, jak lze tuto větu použít.

Pro ty, kteří nemají zájem o nezávislý důkaz, mohou být přechodné výsledky níže přeskočeny.

Průběžné výsledky

Lebesgueův integrál jako míra

Lemma 1. Nechat ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, mu)}$ být měřitelným prostorem. Zvažte jednoduchý ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-měřitelná nezáporná funkce ${ displaystyle s: Omega až { mathbb {R} _ { geq 0}}}$. Pro podmnožinu ${ displaystyle S subseteq Omega}$, definovat

${ displaystyle nu (S) = int _ {S} s , d mu}$.

Pak ${ displaystyle nu}$ je opatření na ${ displaystyle Omega}$.

Důkaz

Dokážeme pouze spočítatelnou aditivitu, zbytek necháme na čtenáři. Nechat${ displaystyle S = cup _ {i = 1} ^ { infty} S_ {i}}$, kde jsou všechny sady ${ displaystyle S_ {i}}$ jsou párově disjunktní. Kvůli jednoduchosti

${ displaystyle s = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot { mathbf {1}} _ {A_ {i}}}$,

pro některé konečné nezáporné konstanty ${ displaystyle c_ {i} in { mathbb {R}} _ { geq 0}}$ a párové disjunktní sady ${ displaystyle A_ {i} v { mathcal {F}}}$ takhle ${ displaystyle cup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = Omega}$. Podle definice Lebesgueova integrálu,

${ displaystyle { begin {aligned} nu (S) & = & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu (S cap A_ {i}) & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu { bigl (} ( cup _ {j = 1} ^ { infty} S_ {j}) cap A_ {i} { bigr)} & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu { bigl (} cup _ {j = 1} ^ { infty} (S_ {j} cap A_ {i}) { bigr)} end {zarovnáno}}}$

Protože všechny sady ${ displaystyle S_ {j} čepice A_ {i}}$ jsou párově disjunktní, spočetná aditivita ${ displaystyle mu}$nám dává

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu { bigl (} cup _ {j = 1} ^ { infty} (S_ {j} cap A_ { i}) { bigr)} = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot sum _ {j = 1} ^ { infty} mu (S_ {j} cap A_ {i}).}$

Vzhledem k tomu, že všechny součty nejsou záporné, součet řady, ať už je tento součet konečný nebo nekonečný, se nemůže změnit, pokud ano pořadí součtů, protože řada je buď absolutně konvergentní, nebo se odchyluje od ${ displaystyle + infty.}$ Kvůli tomu důvodu,

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot sum _ {j = 1} ^ { infty} mu (S_ {j} cap A_ {i}) & = sum _ {j = 1} ^ { infty} sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu (S_ {j} cap A_ {i} ) & = sum _ {j = 1} ^ { infty} int _ {S_ {j}} s , d mu & = sum _ {j = 1} ^ { infty} nu (S_ {j}), end {zarovnáno}}}$

podle potřeby.

„Spojitost zespodu“

Následující vlastnost je přímým důsledkem definice míry.

Lemma 2. Nechat ${ displaystyle mu}$ být měřítkem a ${ displaystyle S = cup _ {i = 1} ^ { infty} S_ {i}}$, kde

${ displaystyle S_ {1} subseteq ldots subseteq S_ {i} subseteq S_ {i + 1} subseteq ldots subseteq S}$

je neklesající řetěz se všemi jeho sadami ${ displaystyle mu}$-měřitelný. Pak

${ displaystyle mu (S) = lim _ {i} mu (S_ {i})}$.

Důkaz věty

Krok 1. ${ displaystyle g_ {n} = g_ {n} (x)}$ je ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$- měřitelné pro každého ${ displaystyle n geq 1}$.

Opravdu, protože Borel ${ displaystyle sigma}$-algebra zapnutá ${ displaystyle mathbb {R} pohár { pm infty }}$ je generován uzavřenými intervaly ${ displaystyle {[t, + infty] } _ {- infty leq t leq + infty}}$, to stačí ukázat, ${ displaystyle g_ {n} ^ {- 1} ([t, + infty]) v { mathcal {F}}}$, pro každého ${ displaystyle t v [- infty, + infty]}$, kde ${ displaystyle g_ {n} ^ {- 1} ([t, + infty])}$ označuje inverzní obraz ${ displaystyle [t, + infty]}$ pod ${ displaystyle g_ {n}}$.

Dodržujte to

${ displaystyle g_ {n} (x) geq t quad Leftrightarrow quad { Bigl (} forall k geq n quad f_ {k} (x) geq t { Bigr)}}$,

nebo ekvivalentně

${ displaystyle { begin {aligned} g_ {n} ^ {- 1} ([t, + infty]) & = left {x in X mid g_ {n} (x) geq t right } [3pt] & = bigcap _ {k} left {x in X mid f_ {k} (x) geq t right } [3pt] & = bigcap _ {k} f_ {k} ^ {- 1} ([t, + infty]) end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že každá sada na pravé straně je z ${ displaystyle { mathcal {F}}}$. Protože podle definice ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je uzavřen pod spočetnými křižovatkami, dospěli jsme k závěru, že i levá strana je členem ${ displaystyle { mathcal {F}}}$. The ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-měřitelnost ${ displaystyle g_ {n}}$ následuje.

Krok 2. Nyní chceme ukázat tuto funkci ${ displaystyle f}$ je${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-měřitelný.

Pokud bychom měli použít monotónní větu o konvergenci, měřitelnost ${ displaystyle f}$ by snadno následoval z poznámky 3.

Alternativně pomocí techniky z kroku 1 to stačí ověřit ${ displaystyle f ^ {- 1} ([0, t]) v { mathcal {F}}}$, pro každého ${ displaystyle t v [- infty, + infty]}$. Od sekvence ${ displaystyle {g_ {n} (x) }}$ bodově neklesá (viz poznámka 3), argumentujeme jako výše, dostaneme

${ displaystyle 0 leq f (x) leq t quad Leftrightarrow quad { Bigl (} forall n quad 0 leq g_ {n} (x) leq t { Bigr)}}$.

Vzhledem k měřitelnosti ${ displaystyle g_ {n}}$, výše uvedená rovnocennost to naznačuje

${ displaystyle f ^ {- 1} ([0, t]) = bigcap _ {n} g_ {n} ^ {- 1} ([0, t]) v { mathcal {F}}}$.

Konec kroku 2.

Důkaz může probíhat dvěma způsoby.

Důkaz pomocí věty o monotónní konvergenci. Podle definice, ${ displaystyle textstyle g_ {n} (x) = inf _ {k geq n} f_ {k} (x)}$, takže máme ${ displaystyle g_ {n} leq f_ {n}}$, ${ displaystyle forall n in mathbb {N}}$, a dále posloupnost ${ displaystyle {g_ {n} (x) } _ {n}}$neklesá ${ displaystyle forall x in X}$. Odvolej to ${ displaystyle f (x) = liminf _ {n to infty} f_ {n} (x) = lim _ {n to infty} inf _ {k geq n} f_ {k} ( X)}$, a proto:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {X} f , d mu & = = int _ {X} lim _ {n} g_ {n} , d mu & = lim _ {n} int _ {X} g_ {n} , d mu & = liminf _ {n} int _ {X} g_ {n} , d mu & leq liminf _ {n} int _ {X} f_ {n} , d mu, end {zarovnáno}}}$

podle potřeby.

Nezávislý důkaz. Dokázat nerovnost bez pomocí věty o monotónní konvergenci potřebujeme nějaké další mechanismy. Označit ${ displaystyle operatorname {SF} (f)}$ sada jednoduchých ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-měřitelné funkce ${ displaystyle s: X až [0, infty)}$ takhle${ displaystyle 0 leq s leq f}$ na ${ displaystyle X}$.

Krok 3. Vzhledem k jednoduché funkci ${ displaystyle s in operatorname {SF} (f)}$ a skutečné číslo ${ displaystyle t v (0,1)}$, definovat

${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} = {x v X mid t cdot s (x) leq g_ {k} (x) } subseteq X.}$

Pak ${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} in { mathcal {F}}}$, ${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} subseteq B_ {k + 1} ^ {s, t}}$, a ${ displaystyle textstyle X = bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$.

Krok 3a. Abychom dokázali první tvrzení, dovolte

${ displaystyle s = sum _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} cdot mathbf {1} _ {A_ {i}},}$

pro nějakou konečnou sbírku párových disjunktních měřitelných množin ${ displaystyle A_ {1}, ldots, A_ {m} in { mathcal {F}}}$ takhle ${ displaystyle textstyle X = pohár _ {i = 1} ^ {m} A_ {i}}$, některé (konečné) skutečné hodnoty ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {m}}$, a ${ displaystyle mathbf {1} _ {A_ {i}}}$ označující indikátorovou funkci sady ${ displaystyle A_ {i}}$. Pak

${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} = bigcup _ {i = 1} ^ {m} { Bigl (} g_ {k} ^ {- 1} { Bigl (} [t cdot c_ {i}, + infty] { Bigr)} cap A_ {i} { Bigr)}}$.

Od předobrazu ${ displaystyle g_ {k} ^ {- 1} { Bigl (} [t cdot c_ {i}, + infty] { Bigr)}}$ sady Borel ${ displaystyle [t cdot c_ {i}, + infty]}$ pod měřitelnou funkcí ${ displaystyle g_ {k}}$ je měřitelný a ${ displaystyle sigma}$-algebry jsou podle definice uzavřeny pod konečným průnikem a odbory, následuje první tvrzení.

Krok 3b. K prokázání druhého tvrzení si povšimněte, že u každého ${ displaystyle k}$ a každý ${ displaystyle x v X}$, ${ displaystyle g_ {k} (x) leq g_ {k + 1} (x).}$

Krok 3c. Abychom dokázali třetí tvrzení, ukážeme to ${ displaystyle textstyle X subseteq bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$.

Ve skutečnosti, pokud naopak ${ displaystyle textstyle X ne subseteq bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$, pak prvek

${ displaystyle x_ {0} v X setminus bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t} = bigcap _ {k} (X setminus B_ {k} ^ {s, t}) }$

existuje takový, že ${ displaystyle g_ {k} (x_ {0})$, pro každého ${ displaystyle k}$. Vezmeme-li limit jako ${ displaystyle k to infty}$, dostat

${ displaystyle f (x_ {0}) leq t cdot s (x_ {0})$

Ale podle počátečního předpokladu ${ displaystyle s leq f}$. To je rozpor.

Krok 4. Pro každou jednoduchou ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$-měřitelná nezáporná funkce ${ displaystyle s_ {2}}$,

${ displaystyle lim _ {n} int _ {B_ {n} ^ {s, t}} s_ {2} , d mu = int _ {X} s_ {2} , d mu. }$

Chcete-li to dokázat, definujte ${ displaystyle textstyle nu (S) = int _ {S} s_ {2} , d mu}$. Podle Lemma 1, ${ displaystyle nu (S)}$ je opatření na ${ displaystyle Omega}$. „Kontinuitou zdola“ (lemma 2),

${ displaystyle lim _ {n} int _ {B_ {n} ^ {s, t}} s_ {2} , d mu = lim _ {n} nu (B_ {n} ^ {s , t}) = nu (X) = int _ {X} s_ {2} , d mu}$,

podle potřeby.

Krok 5. To nyní dokazujeme pro každého ${ displaystyle s in operatorname {SF} (f)}$,

${ displaystyle int _ {X} s , d mu leq lim _ {k} int _ {X} g_ {k} , d mu}$.

Ve skutečnosti, s použitím definice ${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t}}$, nezápornost ${ displaystyle g_ {k}}$a monotónnost Lebesgueova integrálu máme

${ displaystyle forall k geq 1 qquad int _ {B_ {k} ^ {s, t}} t cdot s , d mu leq int _ {B_ {k} ^ {s, t }} g_ {k} , d mu leq int _ {X} g_ {k} , d mu}$.

V souladu s krokem 4, as ${ displaystyle k to infty}$ nerovnost se stává

${ displaystyle t int _ {X} s , d mu leq lim _ {k} int _ {X} g_ {k} , d mu}$.

Vezmeme-li limit jako ${ displaystyle t uparrow 1}$ výnosy

${ displaystyle int _ {X} s , d mu leq lim _ {k} int _ {X} g_ {k} , d mu}$,

podle potřeby.

Krok 6. Abychom dokončili důkaz, použijeme definici Lebesgueova integrálu na nerovnost stanovenou v kroku 5 a vezmeme v úvahu, že ${ displaystyle g_ {n} leq f_ {n}}$:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int _ {X} f , d mu & = sup _ {s in operatorname {SF} (f)} int _ {X} s , d mu & leq lim _ {k} int _ {X} g_ {k} , d mu & = liminf _ {k} int _ {X} g_ {k} , d mu & leq liminf _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu end {zarovnáno}}}$

Důkaz je kompletní.

Příklady přísné nerovnosti

Vybavte prostor ${ displaystyle S}$ s Borel σ-algebra a Lebesgueovo opatření.

• Příklad pro a pravděpodobnostní prostor: Nechte ${ displaystyle S = [0,1]}$ označit jednotkový interval. Pro každého přirozené číslo ${ displaystyle n}$ definovat

${ displaystyle f_ {n} (x) = { begin {cases} n & { text {for}} x in (0,1 / n), 0 & { text {jinak.}} end { případy}}}$

• Příklad s jednotná konvergence: Nechte ${ displaystyle S}$ označit množinu všech reálná čísla. Definovat

${ displaystyle f_ {n} (x) = { begin {cases} { frac {1} {n}} & { text {for}} x in [0, n], 0 & { text {jinak.}} end {cases}}}$

Tyto sekvence ${ displaystyle (f_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ sblížit se ${ displaystyle S}$ bodově (respektive jednotně) k nulová funkce (s nulovým integrálem), ale každý ${ displaystyle f_ {n}}$ má integrální.

Role non-negativity

Vhodný předpoklad týkající se negativních částí posloupnosti F₁, F₂, . . funkce je pro Fatouovo lema nutné, jak ukazuje následující příklad. Nechat S označme půlčárku [0, ∞) s Borel σ-algebrou a Lebesgueovou mírou. Pro každé přirozené číslo n definovat

${ displaystyle f_ {n} (x) = { begin {cases} - { frac {1} {n}} & { text {for}} x in [n, 2n], 0 & { text {jinak.}} end {cases}}}$

Tato posloupnost konverguje rovnoměrně S na nulovou funkci (s nulovým integrálem) a pro každou X ≥ 0 máme dokonce F_n(X) = 0 pro všechny n > X (takže za každý bod X limitu 0 je dosaženo v konečném počtu kroků). Každá funkce však F_n má integrál -1, proto nerovnost ve Fatouově lematu selže. Jak je ukázáno níže, problémem je, že na posloupnost zespodu není jednotná integrovatelná vazba, zatímco 0 je uniforma vázaná shora.

Reverzní Fatouovo lemma

Nechat F₁, F₂, . . být posloupností rozšířené skutečné -hodnotitelné měřitelné funkce definované na měrném prostoru (S,Σ,μ). Pokud existuje nezáporná integrovatelná funkce G na S takhle F_n ≤ G pro všechny n, pak

${ displaystyle limsup _ {n to infty} int _ {S} f_ {n} , d mu leq int _ {S} limsup _ {n to infty} f_ {n} , d mu.}$

Poznámka: Tady integrovatelné znamená, že G je měřitelný a to ${ displaystyle textstyle int _ {S} g , d mu < infty}$.

Náčrt důkazu

Na posloupnost aplikujeme linearitu Lebesgueova integrálu a Fatouova lematu ${ displaystyle g-f_ {n}.}$ Od té doby ${ displaystyle textstyle int _ {S} g , d mu <+ infty,}$ tato posloupnost je definována ${ displaystyle mu}$- téměř všude a nezáporné.

Rozšíření a variace Fatouova lemmatu

Integrovatelná dolní mez

Nechat F₁, F₂, . . být posloupnost rozšířených měřitelných funkcí se skutečnou hodnotou definovaných v měřícím prostoru (S,Σ,μ). Pokud existuje integrovatelná funkce G na S takhle F_n ≥ −G pro všechny n, pak

${ displaystyle int _ {S} liminf _ {n to infty} f_ {n} , d mu leq liminf _ {n to infty} int _ {S} f_ {n} , d mu.}$

Důkaz

Aplikujte Fatouovo lema na nezápornou sekvenci danou F_n + G.

Bodová konvergence

Pokud je v předchozím nastavení sekvence F₁, F₂, . . . konverguje bodově na funkci F μ-téměř všude na S, pak

${ displaystyle int _ {S} f , d mu leq liminf _ {n až infty} int _ {S} f_ {n} , d mu ,.}$

Důkaz

Všimněte si, že F musí souhlasit s limitem horším funkcí F_n téměř všude a že hodnoty integrandu na množině nula míry nemají žádný vliv na hodnotu integrálu.

Konvergence v míře

Platí také poslední tvrzení, pokud jde o posloupnost F₁, F₂, . . . konverguje v míře na funkci F.

Důkaz

Existuje taková posloupnost

${ displaystyle lim _ {k to infty} int _ {S} f_ {n_ {k}} , d mu = liminf _ {n to infty} int _ {S} f_ { n} , d mu.}$

Vzhledem k tomu, že tato subsekvence také konverguje v míře k F, existuje další subsekvence, která konverguje bodově k F téměř všude, proto předchozí variace Fatouova lematu platí pro tuto subsekvenci.

Fatouovo lemma s různými opatřeními

Ve všech výše uvedených prohlášeních Fatouovy lemmy byla integrace provedena s ohledem na jedinou pevnou míru μ. Předpokládejme, že μ_n je sled opatření na měřitelném prostoru (S,Σ) takové, že (viz Sbližování opatření )

${ displaystyle mu _ {n} (E) až mu (E), ~ pro všechny E v { mathcal {F}}.}$

Pak s F_n nezáporné integrovatelné funkce a F jako jejich bodový limit horší máme

${ displaystyle int _ {S} f , d mu leq liminf _ {n až infty} int _ {S} f_ {n} , d mu _ {n}.}$

Důkaz

Dokážeme zde něco trochu silnějšího. Jmenovitě to povolíme Fn konvergovat μ-téměř všude v podmnožině E od S. Snažíme se to ukázat ${ displaystyle int _ {E} f , d mu leq liminf _ {n až infty} int _ {E} f_ {n} , d mu _ {n} ,.}$ Nechat ${ displaystyle K = {x v E | f_ {n} (x) rightarrow f (x) }}$. Pak μ (E-K) = 0 a ${ displaystyle int _ {E} f , d mu = int _ {EK} f , d mu, ~~~ int _ {E} f_ {n} , d mu = int _ {EK} f_ {n} , d mu ~ pro všechny n in mathbb {N}.}$ Tedy nahrazení E podle E-K můžeme to předpokládat Fn konvergovat k F bodově na E. Dále si všimněte, že pro každou jednoduchou funkci φ my máme ${ displaystyle int _ {E} phi , d mu = lim _ {n to infty} int _ {E} phi , d mu _ {n}.}$ Definicí Lebesgueova integrálu tedy stačí ukázat, že pokud φ je libovolná nezáporná jednoduchá funkce menší nebo rovna F, pak ${ displaystyle int _ {E} phi , d mu leq liminf _ {n rightarrow infty} int _ {E} f_ {n} , d mu _ {n}}$ Nechat A být minimální nezáporná hodnota φ. Definovat ${ displaystyle A = {x v E | phi (x)> a }}$ Nejprve zvažujeme případ, kdy ${ displaystyle int _ {E} phi , d mu = infty}$. To musíme mít μ (A) je od té doby nekonečný ${ displaystyle int _ {E} phi , d mu leq M mu (A),}$ kde M je (nutně konečná) maximální hodnota φ dosáhne. Dále definujeme ${ displaystyle A_ {n} = {x v E | f_ {k} (x)> a ~ forall k geq n }.}$ To máme ${ displaystyle A subseteq bigcup _ {n} A_ {n} Rightarrow mu ( bigcup _ {n} A_ {n}) = infty.}$ Ale An je vnořená rostoucí posloupnost funkcí, a tedy kontinuitou zdola μ, ${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} mu (A_ {n}) = infty.}$. Tím pádem, ${ displaystyle lim _ {n to infty} mu _ {n} (A_ {n}) = mu (A_ {n}) = infty.}$. Ve stejnou dobu, ${ displaystyle int _ {E} f_ {n} , d mu _ {n} geq a mu _ {n} (A_ {n}) Rightarrow liminf _ {n na infty} int _ {E} f_ {n} , d mu _ {n} = infty = int _ {E} phi , d mu,}$ v tomto případě prokázání nároku. Zbývající případ je kdy ${ displaystyle int _ {E} phi , d mu < infty}$. To musíme mít μ (A) je konečný. Označte, jak je uvedeno výše, tím, že M maximální hodnota φ a opravit ε> 0. Definovat ${ displaystyle A_ {n} = {x v E | f_ {k} (x)> (1- epsilon) phi (x) ~ forall k geq n }.}$ Pak An je vnořená rostoucí posloupnost sad, jejichž sjednocení obsahuje A. Tím pádem, A-An je sestupná posloupnost množin s prázdným průnikem. Od té doby A má konečnou míru (proto jsme museli zvážit dva samostatné případy), ${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} mu (A-A_ {n}) = 0.}$ Existuje tedy něco takového ${ displaystyle mu (A-A_ {k}) < epsilon, ~ forall k geq n.}$ Proto, protože ${ displaystyle lim _ {n to infty} mu _ {n} (A-A_ {k}) = mu (A-A_ {k}),}$ existuje N takový, že ${ displaystyle mu _ {k} (A-A_ {k}) < epsilon, ~ forall k geq N.}$ Proto, pro ${ displaystyle k geq N}$ ${ displaystyle int _ {E} f_ {k} , d mu _ {k} geq int _ {A_ {k}} f_ {k} , d mu _ {k} geq (1 - epsilon) int _ {A_ {k}} phi , d mu _ {k}.}$ Ve stejnou dobu, ${ displaystyle int _ {E} phi , d mu _ {k} = int _ {A} phi , d mu _ {k} = int _ {A_ {k}} phi , d mu _ {k} + int _ {A-A_ {k}} phi , d mu _ {k}.}$ Proto, ${ displaystyle (1- epsilon) int _ {A_ {k}} phi , d mu _ {k} geq (1- epsilon) int _ {E} phi , d mu _ {k} - int _ {A-A_ {k}} phi , d mu _ {k}.}$ Kombinace těchto nerovností to dává ${ displaystyle int _ {E} f_ {k} , d mu _ {k} geq (1- epsilon) int _ {E} phi , d mu _ {k} - int _ {A-A_ {k}} phi , d mu _ {k} geq int _ {E} phi , d mu _ {k} - epsilon left ( int _ {E } phi , d mu _ {k} + M vpravo).}$ Proto odesílání ε na 0 a když vezmeme liminf v n, dostaneme to ${ displaystyle liminf _ {n rightarrow infty} int _ {E} f_ {n} , d mu _ {k} geq int _ {E} phi , d mu,}$ vyplňování důkazu.

Fatouovo lema pro podmíněná očekávání

v teorie pravděpodobnosti, změnou zápisu jsou výše uvedené verze Fatouova lematu použitelné pro sekvence náhodné proměnné X₁, X₂, . . definované na a pravděpodobnostní prostor ${ displaystyle scriptstyle ( Omega, , { mathcal {F}}, , mathbb {P})}$; integrály se promění očekávání. Kromě toho existuje také verze pro podmíněná očekávání.

Standardní verze

Nechat X₁, X₂, . . být posloupností nezáporných náhodných proměnných v prostoru pravděpodobnosti ${ displaystyle scriptstyle ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$ a nechte${ displaystyle scriptstyle { mathcal {G}} , podmnožina , { mathcal {F}}}$ být sub-σ-algebra. Pak

${ displaystyle mathbb {E} { Bigl [} liminf _ {n to infty} X_ {n} , { Big |} , { mathcal {G}} { Bigr]} leq liminf _ {n to infty} , mathbb {E} [X_ {n} | { mathcal {G}}]}$   téměř jistě.

Poznámka: Podmíněné očekávání pro nezáporné náhodné proměnné je vždy dobře definované, konečné očekávání není nutné.

Důkaz

Kromě změny notace je důkaz velmi podobný důkazu pro standardní verzi Fatouova lemmatu výše, nicméně monotónní věta o konvergenci pro podmíněná očekávání musí být použito.

Nechat X označit limit nižší než X_n. Pro každé přirozené číslo k definujte bodově náhodnou proměnnou

${ displaystyle Y_ {k} = inf _ {n geq k} X_ {n}.}$

Pak sekvence Y₁, Y₂, . . se zvyšuje a konverguje bodově k X.Pro k ≤ n, my máme Y_k ≤ X_n, aby

${ displaystyle mathbb {E} [Y_ {k} | { mathcal {G}}] leq mathbb {E} [X_ {n} | { mathcal {G}}]}$ téměř jistě

podle monotónnost podmíněného očekávání, proto

${ displaystyle mathbb {E} [Y_ {k} | { mathcal {G}}] leq inf _ {n geq k} mathbb {E} [X_ {n} | { mathcal {G} }]}$ téměř jistě,

protože spočetné sjednocení výjimečných sad pravděpodobnosti nula je opět a nulová sada Pomocí definice X, jeho reprezentace jako bodový limit Y_k, monotónní věta o konvergenci pro podmíněná očekávání, poslední nerovnost a definice limitu nižší, z toho vyplývá, že téměř jistě

${ displaystyle { begin {aligned} mathbb {E} { Bigl [} liminf _ {n to infty} X_ {n} , { Big |} , { mathcal {G}} { Bigr]} & = mathbb {E} [X | { mathcal {G}}] = mathbb {E} { Bigl [} lim _ {k to infty} Y_ {k} , { Big |} , { mathcal {G}} { Bigr]} = lim _ {k to infty} mathbb {E} [Y_ {k} | { mathcal {G}}]] & leq lim _ {k to infty} inf _ {n geq k} mathbb {E} [X_ {n} | { mathcal {G}}] = liminf _ {n to infty} , mathbb {E} [X_ {n} | { mathcal {G}}]. end {zarovnáno}}}$

Rozšíření na rovnoměrně integrovatelné negativní části

Nechat X₁, X₂, . . být posloupností náhodných proměnných v prostoru pravděpodobnosti ${ displaystyle scriptstyle ( Omega, { mathcal {F}}, mathbb {P})}$ a nechte${ displaystyle scriptstyle { mathcal {G}} , podmnožina , { mathcal {F}}}$ být sub-σ-algebra. Pokud jsou negativní části

${ displaystyle X_ {n} ^ {-}: = max {- X_ {n}, 0 }, qquad n v { mathbb {N}},}$

jsou jednotně integrovatelné s ohledem na podmíněné očekávání v tom smyslu, že pro ε > 0 existuje a C > 0 takových

${ displaystyle mathbb {E} { bigl [} X_ {n} ^ {-} 1 _ { {X_ {n} ^ {-}> c }} , | , { mathcal {G}} { bigr]} < varepsilon, qquad { text {pro všechny}} n v mathbb {N}, , { text {téměř jistě}}}$,

pak

${ displaystyle mathbb {E} { Bigl [} liminf _ {n to infty} X_ {n} , { Big |} , { mathcal {G}} { Bigr]} leq liminf _ {n to infty} , mathbb {E} [X_ {n} | { mathcal {G}}]}$ téměř jistě.

Poznámka: Na scéně kde

${ displaystyle X: = liminf _ {n až infty} X_ {n}}$

splňuje

${ displaystyle mathbb {E} [ max {X, 0 } , | , { mathcal {G}}] = infty,}$

levá strana nerovnosti je považována za plus nekonečno. Podmíněné očekávání limitu nižší nemusí být na této sadě dobře definováno, protože podmíněné očekávání záporné části může být také plus nekonečno.

Důkaz

Nechat ε > 0. Kvůli jednotné integrovatelnosti s ohledem na podmíněné očekávání existuje a C > 0 takových

${ displaystyle mathbb {E} { bigl [} X_ {n} ^ {-} 1 _ { {X_ {n} ^ {-}> c }} , | , { mathcal {G}} { bigr]} < varepsilon qquad { text {pro všechny}} n v mathbb {N}, , { text {téměř jistě}}.}$

Od té doby

${ displaystyle X + c leq liminf _ {n to infty} (X_ {n} + c) ^ {+},}$

kde X⁺ : = max {X, 0} označuje kladnou část skutečnosti X, monotónnost podmíněného očekávání (nebo výše uvedená konvence) a standardní verze Fatouova lematu pro podmíněné očekávání znamenají

${ displaystyle mathbb {E} [X , | , { mathcal {G}}] + c leq mathbb {E} { Bigl [} liminf _ {n to infty} (X_ { n} + c) ^ {+} , { Big |} , { mathcal {G}} { Bigr]} leq liminf _ {n to infty} mathbb {E} [(X_ {n} + c) ^ {+} , | , { mathcal {G}}]}$ téměř jistě.

Od té doby

${ displaystyle (X_ {n} + c) ^ {+} = (X_ {n} + c) + (X_ {n} + c) ^ {-} leq X_ {n} + c + X_ {n} ^ {-} 1 _ { {X_ {n} ^ {-}> c }},}$

my máme

${ displaystyle mathbb {E} [(X_ {n} + c) ^ {+} , | , { mathcal {G}}] leq mathbb {E} [X_ {n} , | , { mathcal {G}}] + c + varepsilon}$ téměř jistě,

proto

${ displaystyle mathbb {E} [X , | , { mathcal {G}}] leq liminf _ {n to infty} mathbb {E} [X_ {n} , | , { mathcal {G}}] + varepsilon}$ téměř jistě.

Z toho vyplývá tvrzení.

Reference

• Carothers, N.L. (2000). Skutečná analýza. New York: Cambridge University Press. str.321 –22. ISBN  0-521-49756-6.
• Royden, H.L. (1988). Skutečná analýza (3. vyd.). Londýn: Collier Macmillan. ISBN  0-02-404151-3.
• Weir, Alan J. (1973). "Věty o konvergenci". Integrace a měření Lebesgue. Cambridge: Cambridge University Press. 93–118. ISBN  0-521-08728-7.

externí odkazy

• „Fatouovo lemma“. PlanetMath.