Absolutně integrovatelná funkce - Absolutely integrable function - Wikipedia

v matematika, an absolutně integrovatelná funkce je funkce jehož absolutní hodnota je integrovatelný, což znamená, že integrál absolutní hodnoty v celku doména je konečný.

Pro nemovitý -hodnotící funkce, protože

${ displaystyle int | f (x) | dx = int f ^ {+} (x) dx + int f ^ {-} (x) dx}$

kde

${ Displaystyle f ^ {+} (x) = max (f (x), 0), f ^ {-} (x) = max (-f (x), 0),}$

oba ${ displaystyle int f ^ {+} (x) dx}$ a ${ displaystyle int f ^ {-} (x) dx}$ musí být konečné. v Lebesgueova integrace, to je přesně požadavek pro všechny měřitelná funkce F být považován za integrovatelný, přičemž integrál se potom rovná ${ displaystyle int f ^ {+} (x) dx- int f ^ {-} (x) dx}$, takže ve skutečnosti „absolutně integrovatelný“ znamená totéž jako „Lebesgue integrovatelný“ pro měřitelné funkce.

Totéž platí pro a komplex -hodnotená funkce. Pojďme definovat

${ displaystyle f ^ {+} (x) = max ( Re f (x), 0)}$

${ displaystyle f ^ {-} (x) = max (- Re f (x), 0)}$

${ displaystyle f ^ {+ i} (x) = max ( Im f (x), 0)}$

${ displaystyle f ^ {- i} (x) = max (- Im f (x), 0)}$

kde ${ displaystyle Re f (x)}$ a ${ displaystyle Im f (x)}$ jsou skutečné a imaginární části z ${ displaystyle f (x)}$. Pak

${ displaystyle | f (x) | leq f ^ {+} (x) + f ^ {-} (x) + f ^ {+ i} (x) + f ^ {- i} (x) leq { sqrt {2}} , | f (x) |}$

tak

${ displaystyle int | f (x) | dx leq int f ^ {+} (x) dx + int f ^ {-} (x) dx + int f ^ {+ i} (x) dx + int f ^ {- i} (x) dx leq { sqrt {2}} int | f (x) | dx}$

To ukazuje, že součet čtyř integrálů (uprostřed) je konečný právě tehdy, když je integrál absolutní hodnoty konečný, a funkce je Lebesgueova integrace, pouze pokud jsou všechny čtyři integrály konečné. Mít konečný integrál absolutní hodnoty je tedy ekvivalentní podmínkám pro to, aby byla funkce „Lebesgue integrovatelná“.

externí odkazy

• „Absolutně integrovatelná funkce - Encyklopedie matematiky“. Citováno 9. října 2015.