Konvexní geometrie - Convex geometry

v matematika, konvexní geometrie je pobočkou geometrie studovat konvexní sady, hlavně v Euklidovský prostor. Konvexní sady se přirozeně vyskytují v mnoha oblastech: výpočetní geometrie, konvexní analýza, diskrétní geometrie, funkční analýza, geometrie čísel, integrální geometrie, lineární programování, teorie pravděpodobnosti, herní teorie, atd.

Klasifikace

Podle Klasifikace matematických předmětů MSC2010,[1] matematická disciplína Konvexní a diskrétní geometrie zahrnuje tři hlavní větve:[2]

  • obecná konvexnost
  • polytopes a polyhedra
  • diskrétní geometrie

(i když do konvexní geometrie jsou zahrnuty pouze části posledních dvou).

Obecná konvexita se dále dělí následovně:[3]

  • axiomatická a zobecněná konvexita
  • konvexní množiny bez omezení rozměrů
  • konvexní množiny v topologických vektorových prostorech
  • konvexní sady ve 2 rozměrech (včetně konvexních křivek)
  • konvexní sady ve 3 rozměrech (včetně konvexních povrchů)
  • konvexní sady n rozměry (včetně konvexních hyperplošin)
  • konečně trojrozměrné Banachovy prostory
  • náhodné konvexní množiny a integrální geometrie
  • asymptotická teorie konvexních těles
  • aproximace konvexními množinami
  • varianty konvexních sad (ve tvaru hvězdy, (m, n) - konvexní atd.)
  • Věty Hellyho typu a geometrická transverzální teorie
  • další problémy kombinatorické konvexity
  • délka, plocha, objem
  • smíšené objemy a související témata
  • ocenění na konvexních tělesech
  • nerovnosti a extrémní problémy
  • konvexní funkce a konvexní programy
  • sférická a hyperbolická konvexnost

Termín konvexní geometrie se také používá v kombinatorika jako alternativní název pro antihmota, což je jeden z abstraktních modelů konvexních množin.

Historická poznámka

Konvexní geometrie je relativně mladá matematická disciplína. Ačkoli první známé příspěvky k konvexní geometrii pocházejí ze starověku a lze je vysledovat v pracích Euklid a Archimedes, se stala samostatným odvětvím matematiky na přelomu 20. století, zejména díky dílům Hermann Brunn a Hermann Minkowski v rozměrech dva a tři. Velká část jejich výsledků byla brzy zobecněna do prostor vyšších dimenzí a v roce 1934 T. Bonnesen a W. Fenchel poskytl komplexní průzkum konvexní geometrie v Euklidovský prostor Rn. Další vývoj konvexní geometrie ve 20. století a její vztahy k řadě matematických disciplín jsou shrnuty v Příručka konvexní geometrie editoval P. M. Gruber a J. M. Wills.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Webové stránky klasifikace předmětů matematiky MSC2010
  2. ^ Klasifikace předmětu matematiky MSC2010, položka 52 "Konvexní a diskrétní geometrie"
  3. ^ Klasifikace předmětu matematiky MSC2010, položka 52A "Obecná konvexnost"

Reference

Články o konvexní geometrii

  • K. Ball, Základní úvod do moderní konvexní geometrie, in: Flavours of Geometry, s. 1–58, Matematika. Sci. Res. Inst. Publ. Sv. 31, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, k dispozici online.
  • M. Berger, Konvexnost, Amer. Matematika. Měsíčně, sv. 97 (1990), 650—678. DOI: 10.2307/2324573
  • P. M. Gruber, Aspekty konvexity a její aplikace, Expozice. Math., Sv. 2 (1984), 47—83.
  • V. Klee, Co je to konvexní sada? Amer. Matematika. Měsíčně, sv. 78 (1971), 616–631, DOI: 10.2307/2316569

Knihy o konvexní geometrii

  • T. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlín, 1934. Anglický překlad: Teorie konvexních těles, BCS Associates, Moskva, ID, 1987.
  • R. J. Gardner, Geometrická tomografie, Cambridge University Press, New York, 1995. Druhé vydání: 2006.
  • P. M. Gruber, Konvexní a diskrétní geometrie, Springer-Verlag, New York, 2007.
  • P. M. Gruber, J. M. Wills (redaktoři), Příručka konvexní geometrie. Sv. A. B, Severní Holandsko, Amsterdam, 1993.
  • G. Pisier, Objem konvexních těles a geometrie Banachova prostoru, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
  • R. Schneider, Konvexní tělesa: Brunn-Minkowského teorie, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
  • A. C. Thompson, Minkowského geometrie, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
  • A. Koldobsky, V. Yaskin, Rozhraní mezi konvexní geometrií a harmonickou analýzou, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2008.

Články o historii konvexní geometrie

  • W. Fenchel, Konvexnost v průběhu věků (Danish) Danish Mathematical Society (1929—1973), str. 103–116, Dansk. Rohož. Forening, Kodaň, 1973. Anglický překlad: Konvexnost v průběhu věků in: P. M. Gruber, J. M. Wills (redaktoři), Convexity and its Applications, str. 120–130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.
  • P. M. Gruber, Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen, in: G. Fischer a kol. (redaktoři), Ein Jahrhundert Mathematik 1890—1990, s. 421–455, Dokumente Gesch. Math., Sv. 6, F. Wieweg a Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Freiburg, 1990.
  • P. M. Gruber, Historie konvexity, in: P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Sv. A, str. 1–15, North-Holland, Amsterdam, 1993.

externí odkazy