Darbouxova věta - Darbouxs theorem - Wikipedia

Darbouxova věta je teorém v matematický pole diferenciální geometrie a konkrétněji diferenciální formy, částečně zobecňující Frobeniova věta o integraci. Jedná se o základní výsledek v několika oblastech, mezi nimiž je hlavní symplektická geometrie. Věta je pojmenována po Jean Gaston Darboux^[1] kdo to ustanovil jako řešení Pfaff problém.^[2]

Jedním z mnoha důsledků věty je, že jakékoli dva symplektická potrubí stejné dimenze jsou lokálně symplectomorphic navzájem. To znamená každé 2n-dimenzionální symplektický potrubí může být vytvořen tak, aby vypadal místně jako lineární symplektický prostor Cⁿ s jeho kanonickou symlektickou formou. Existuje také analogický důsledek věty, jak je aplikována na kontaktní geometrie.

Prohlášení a první důsledky

Přesné prohlášení je následující.^[3] Předpokládejme to ${ displaystyle theta}$ je diferenciální 1-forma na n dimenzionální potrubí, takové ${ displaystyle mathrm {d} theta}$ má konstantní hodnost p. Li

${ displaystyle theta klín left ( mathrm {d} theta right) ^ {p} = 0}$ všude,

pak existuje místní systém souřadnic ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n-p}, y_ {1}, ldots, y_ {p}}$ ve kterém

${ displaystyle theta = x_ {1} , mathrm {d} y_ {1} + ldots + x_ {p} , mathrm {d} y_ {p}}$.

Pokud na druhou stranu

${ displaystyle theta klín vlevo ( mathrm {d} theta vpravo) ^ {p} neq 0}$ všude,

pak existuje místní systém souřadnic '${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n-p}, y_ {1}, ldots, y_ {p}}$ ve kterém

${ displaystyle theta = x_ {1} , mathrm {d} y_ {1} + ldots + x_ {p} , mathrm {d} y_ {p} + mathrm {d} x_ {p + 1}}$.

Všimněte si, že pokud ${ displaystyle theta klín left ( mathrm {d} theta right) ^ {p} neq 0}$ všude a ${ displaystyle n = 2p + 1}$ pak ${ displaystyle theta}$ je Kontaktní formulář.

Především předpokládejme, že ${ displaystyle omega}$ je symlektická 2 forma na n=2m dimenzionální potrubí M. V sousedství každého bodu p z Mtím, že Poincaré lemma, existuje 1 forma ${ displaystyle theta}$ s ${ displaystyle mathrm {d} theta = omega}$. Navíc, ${ displaystyle theta}$ uspokojuje první sadu hypotéz v Darbouxově teorému, a tak lokálně existuje a souřadnicový graf U u p ve kterém

${ displaystyle theta = x_ {1} , mathrm {d} y_ {1} + ldots + x_ {m} , mathrm {d} y_ {m}}$.

Užívání vnější derivace nyní ukazuje

${ displaystyle omega = mathrm {d} theta = mathrm {d} x_ {1} klín mathrm {d} y_ {1} + ldots + mathrm {d} x_ {m} klín mathrm {d} y_ {m}}$

Graf U se říká, že je Darbouxův graf kolem p.^[4] Rozdělovač M může být kryté podle takových grafů.

Chcete-li to uvést jinak, identifikujte se ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2m}}$ s ${ displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$ necháním ${ displaystyle z_ {j} = x_ {j} + { textit {i}} , y_ {j}}$. Li ${ displaystyle varphi dvojtečka U až mathbb {C} ^ {n}}$je tedy Darbouxův graf ${ displaystyle omega}$ je zarazit standardní symplektické formy ${ displaystyle omega _ {0}}$ na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$:

${ displaystyle omega = phi ^ {*} omega _ {0}. ,}$

Srovnání s Riemannovou geometrií

Tento výsledek naznačuje, že v symplektické geometrii neexistují žádné místní invarianty: a Darboux základ lze vždy vzít, platí v blízkosti daného bodu. To je ve výrazném kontrastu se situací v Riemannova geometrie Kde zakřivení je místní invariant, překážka pro metrický být lokálně součet čtverců souřadnicových diferenciálů.

Rozdíl je v tom, že Darbouxova věta uvádí, že ω lze provést tak, že získá standardní formu v celé sousedství kolem p. V Riemannově geometrii lze metriku vždy provést tak, aby měla standardní podobu na jakýkoli daný bod, ale ne vždy v sousedství kolem tohoto bodu.

Viz také

• Carathéodory-Jacobi-Lieova věta, zobecnění této věty.
• Symplektický základ

Poznámky

Reference

• Darboux, Gaston (1882). „Sur le problème de Pfaff“. Býk. Sci. Matematika. 6: 14–36, 49–68.
• Pfaff, Johann Friedrich (1814–1815). "Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes diferencies vulgates, ultrasque primi ordinis, mezikrokunční proměnné, úplné integrandi". Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften v Berlíně: 76–136.
• Sternberg, Shlomo (1964). Přednášky o diferenciální geometrii. Prentice Hall.
• McDuff, D .; Salamon, D. (1998). Úvod do symmplektické topologie. Oxford University Press. ISBN  0-19-850451-9.

externí odkazy

• „Důkaz Darbouxovy věty“. PlanetMath.
• G. Darboux, „K problému Pfaff,“ překlad. D. H. Delphenich
• G. Darboux, „K problému Pfaff (pokračování)“, překlad. D. H. Delphenich