Nashova věta o vložení - Nash embedding theorem

The Nashovy věty (nebo vkládání vět), pojmenoval podle John Forbes Nash, uveďte, že každý Riemannovo potrubí může být izometricky vložený do některých Euklidovský prostor. Izometrické znamená zachování délky každého cesta. Například ohýbání bez roztahování nebo trhání stránky papíru dává izometrické vkládání stránky do euklidovského prostoru, protože křivky nakreslené na stránce zůstávají stejné délka oblouku stránka je však ohnutá.

První věta je pro průběžně diferencovatelné (C¹) vložení a druhá pro analytický vložení nebo vložení, která jsou hladký třídy C^k, 3 ≤ k ≤ ∞. Tyto dvě věty se navzájem velmi liší. První věta má velmi jednoduchý důkaz, ale vede k některým protiintuitivním závěrům, zatímco druhá věta má technický a protiintuitivní důkaz, ale vede k méně překvapivému výsledku.

The C¹ věta byla zveřejněna v roce 1954, C^k- věta v roce 1956. Skutečnou analytickou větu poprvé zpracoval Nash v roce 1966; jeho argument byl značně zjednodušen Greene & Jacobowitz (1971). (Místní verzi tohoto výsledku prokázal Élie Cartan a Maurice Janet Ve 20. letech 20. století.) Ve skutečném analytickém případě lze vyhlazovací operátory (viz níže) v argumentu Nashovy inverzní funkce nahradit Cauchyho odhady. Nashov důkaz o C^k- případ byl později extrapolován do h-princip a Věta o implicitní funkci Nash – Moser. Jednodušší důkaz druhé Nashovy věty o vložení byl získán Günther (1989) který omezil množinu nelineárních parciální diferenciální rovnice k eliptickému systému, ke kterému věta o kontrakčním mapování lze použít.

Nash – Kuiperova věta (C¹ věta o vložení)

Teorém. Nechť (M,G) být Riemannovo potrubí a ƒ: M^m → Rⁿ A krátký C^∞- montáž (nebo ponoření ) do euklidovského prostoru Rⁿ, kde n ≥ m+1. Pak pro libovolné ε> 0 existuje vložení (nebo ponoření) ƒ_ε: M^m → Rⁿ který je

Zejména, jak vyplývá z Whitneyova veta, jakýkoli m-rozměrné Riemannovo potrubí připouští izometrické C¹-zakládání do svévolně malé sousedství ve 2m-rozměrný euklidovský prostor.

Věta byla původně prokázána Johnem Nashem s touto podmínkou n ≥ m+2 místo n ≥ m+1 a zobecněno Nicolaas Kuiper, relativně snadným trikem.

Věta má mnoho neintuitivních implikací. Z toho například vyplývá, že může být jakýkoli uzavřený orientovaný Riemannov povrch C¹ izometricky vložené do libovolně malého ε-koule v euklidovském 3prostoru (pro malé ${ displaystyle epsilon}$ nic takového neexistuje C²- shromažďování, protože z vzorec pro Gaussovo zakřivení extrémní bod takového zanoření by měl zakřivení ≥ ε⁻²). A existují C¹ izometrické vložení hyperbolické roviny do R³.

C^k věta o vložení

Technické prohlášení uvedené v původním článku Nash je následující: if M je dané m-dimenzionální Riemannovo potrubí (analytické nebo třídy C^k, 3 ≤ k ≤ ∞), pak existuje číslo n (s n ≤ m(3m+11) / 2, pokud M je kompaktní potrubí nebo n ≤ m(m+1)(3m+11) / 2, pokud M je nekompaktní potrubí) a injekční mapa ƒ: M → Rⁿ (také analytické nebo třídy C^k) tak, že pro každý bod str z M, derivát dƒ_str je lineární mapa z tečný prostor T_strM na Rⁿ který je kompatibilní s daným vnitřní produkt na T_strM a standard Tečkovaný produkt z Rⁿ v následujícím smyslu:

${ displaystyle langle u, v rangle = df_ {p} (u) cdot df_ {p} (v)}$

pro všechny vektory u, proti v T_strM. Toto je neurčitý systém parciální diferenciální rovnice (PDE).

Za později rozhovor s Robertem M. Solovayem, Nash zmínil chybu v původním argumentu při odvozování dostatečné hodnoty dimenze prostoru pro vkládání pro případ nekompaktních potrubí.

Nashova veta je globální věta v tom smyslu, že je do ní vloženo celé potrubí Rⁿ. Věta o místním vložení je mnohem jednodušší a lze ji dokázat pomocí věta o implicitní funkci pokročilého počtu v a koordinovat sousedství potrubí. Důkaz globální věty o vložení se opírá o Nashovo dalekosáhlé zobecnění věty o implicitní funkci, Nash – Moserova věta a Newtonova metoda s postkondicionováním. Základní myšlenkou Nashova řešení problému vložení je použití Newtonova metoda dokázat existenci řešení výše uvedeného systému PDE. Standardní Newtonova metoda selže při použití v systému konvergovat; Nash používá vyhlazovací operátory definované konvoluce aby Newtonova iterace konvergovala: toto je Newtonova metoda s postconditioningem. Skutečnost, že tato technika poskytuje řešení, je sama o sobě věta o existenci a nezávislého zájmu. Existuje také starší metoda zvaná Kantorovičova iterace který používá Newtonovu metodu přímo (bez zavedení vyhlazovacích operátorů).

Reference

• Greene, Robert E.; Jacobowitz, Howard (1971), „Analytic Isometric Embeddings“, Annals of Mathematics, 93 (1): 189–204, doi:10.2307/1970760, JSTOR  1970760, PAN  0283728
• Günther, Matthias (1989), „Zum Einbettungssatz von J. Nash“ [O teorému o vložení J. Nash], Mathematische Nachrichten (v němčině), 144: 165–187, doi:10,1002 / mana.19891440113, PAN  1037168
• Kuiper, Nicolaas Hendrik (1955), „Zapnuto C¹-izometrické výběhy. Já ", Indagationes Mathematicae (sborník), 58: 545–556, doi:10.1016 / S1385-7258 (55) 50075-8, PAN  0075640
• Kuiper, Nicolaas Hendrik (1955), „Zapnuto C¹-izometrické výběhy. II ", Indagationes Mathematicae (sborník), 58: 683–689, doi:10.1016 / S1385-7258 (55) 50093-X, PAN  0075640
• Nash, Johne (1954), "C¹-izometrické výběhy ", Annals of Mathematics, 60 (3): 383–396, doi:10.2307/1969840, JSTOR  1969840, PAN  0065993.
• Nash, Johne (1956), „Problém vnoření Riemannovských variet“, Annals of Mathematics, 63 (1): 20–63, doi:10.2307/1969989, JSTOR  1969989, PAN  0075639.
• Nash, Johne (1966), „Analytičnost řešení problému implicitní funkce s analytickými daty“, Annals of Mathematics, 84 (3): 345–355, doi:10.2307/1970448, JSTOR  1970448, PAN  0205266.