Symplectic potrubí - Symplectic manifold

v diferenciální geometrie, předmět matematika, a symplektické potrubí je hladké potrubí, ${displaystyle M}$, vybavené a Zavřeno nedegenerovat diferenciální 2-forma ${displaystyle omega}$, nazvaný symlektická forma. Studium symplektických variet se nazývá symplektická geometrie nebo symplektická topologie. Symplektická potrubí se přirozeně objevují v abstraktních formulacích klasická mechanika a analytická mechanika jako kotangenské svazky potrubí. Například v Hamiltonova formulace klasické mechaniky, která poskytuje jednu z hlavních motivací pro pole, je sada všech možných konfigurací systému modelována jako potrubí a toto potrubí kotangenský svazek popisuje fázový prostor systému.

Motivace

Symplektické potrubí vychází z klasická mechanika; zejména jsou zevšeobecněním fázový prostor uzavřeného systému.^[1] Stejným způsobem Hamiltonovy rovnice umožnit člověku odvodit časový vývoj systému ze sady diferenciální rovnice, symlektická forma by měla člověku umožnit získat a vektorové pole popisující tok systému z diferenciálu dH Hamiltonovské funkce H.^[2] Takže požadujeme lineární mapu TM → T^∗Mnebo ekvivalentně prvek T^∗M ⊗ T^∗M. Pronájem ω označit a sekce z T^∗M ⊗ T^∗M, požadavek, že ω být nedegenerovaný zajišťuje, že pro každý diferenciál dH existuje jedinečné odpovídající vektorové pole PROTI_H takhle dH = ω(PROTI_H, · ). Protože si člověk přeje, aby hamiltonián byl konstantní podél linie toku, měl by mít dH(PROTI_H) = ω(PROTI_H, PROTI_H) = 0, což z toho vyplývá ω je střídavý a tedy 2-forma. Nakonec je třeba učinit požadavek ω by se nemělo měnit pod průtokovými potrubími, tj. že Derivát lži z ω podél PROTI_H zmizí. Přihlašování Cartanův vzorec, to činí (zde ${displaystyle iota _ {X}}$ je vnitřní produkt ):

${displaystyle {mathcal {L}} _ {V_ {H}} (omega) = 0; Leftrightarrow; mathrm {d} (iota _ {V_ {H}} omega) + iota _ {V_ {H}} mathrm {d } omega = mathrm {d} (mathrm {d}, H) + mathrm {d} omega (V_ {H}) = mathrm {d} omega (V_ {H}) = 0}$

takže při opakování tohoto argumentu pro různé plynulé funkce ${displaystyle H}$ takové, že odpovídající ${displaystyle V_ {H}}$ rozpětí tečného prostoru v každém bodě, ve kterém je argument aplikován, vidíme, že požadavek na mizející derivaci Lie podél toků ${displaystyle V_ {H}}$ odpovídá libovolnému hladkému ${displaystyle H}$ odpovídá požadavku, že ω mělo by Zavřeno.

Definice

A symlektická forma hladce potrubí ${displaystyle M}$ je uzavřený nedegenerovaný diferenciál 2-forma ${displaystyle omega}$.^[3][4] Nedegenerovaný zde znamená, že pro každý bod ${displaystyle pin M}$, šikmé symetrické párování na tečný prostor ${displaystyle T_ {p} M}$ definován ${displaystyle omega}$ je nedegenerovaný. To znamená, že pokud existuje ${displaystyle Xin T_ {p} M}$ takhle ${displaystyle omega (X, Y) = 0}$ pro všechny ${displaystyle Yin T_ {p} M}$, pak ${displaystyle X = 0}$. Protože v lichých rozměrech, zkosené symetrické matice jsou vždy singulární, požadavek ${displaystyle omega}$ být nondegenerate to znamená ${displaystyle M}$ má sudý rozměr.^[3][4] Uzavřený stav znamená, že vnější derivace z ${displaystyle omega}$ zmizí. A symplektické potrubí je pár ${displaystyle (M, omega)}$ kde ${displaystyle M}$ je hladké potrubí a ${displaystyle omega}$ je symplektická forma. Přiřazení symlektické formy ${displaystyle M}$ se označuje jako dávání ${displaystyle M}$ A symplektická struktura.

Příklady

Symplektické vektorové prostory

Nechat ${displaystyle {v_ {1}, ldots, v_ {2n}}}$ být základem pro ${displaystyle mathbb {R} ^ {2n}.}$ Definujeme naši symplektickou formu ω na tomto základě takto:

${displaystyle omega (v_ {i}, v_ {j}) = {egin {cases} 1 & j-i = n {ext {with}} 1leqslant ileqslant n -1 & i-j = n {ext {with}} 1leqslant jleqslant n 0 a {ext {jinak}} konec {případů}}}$

V tomto případě se symplektická forma redukuje na jednoduchou kvadratická forma. Li Já_n označuje n × n matice identity pak je matice Ω této kvadratické formy dána vztahem 2n × 2n bloková matice:

${displaystyle Omega = {egin {pmatrix} 0 & I_ {n} - I_ {n} & 0end {pmatrix}}.}$

Bavlněné svazky

Nechat ${displaystyle Q}$ být plynulým potrubím dimenze ${displaystyle n}$. Pak celkový prostor kotangenský svazek ${displaystyle T ^ {*} Q}$ má přirozenou symplektickou formu, která se nazývá Poincaréova dvouforma nebo kanonická symlektická forma

${displaystyle omega = suma _ {i = 1} ^ {n} dp_ {i} klín dq ^ {i}}$

Tady ${displaystyle (q ^ {1}, ldots, q ^ {n})}$ jsou jakékoli místní souřadnice na ${displaystyle Q}$ a ${displaystyle (p_ {1}, ldots, p_ {n})}$ jsou fibrewise souřadnice vzhledem k kotangensovým vektorům ${displaystyle dq ^ {1}, ldots, dq ^ {n}}$. Bavlněné svazky jsou přirozené fázové prostory klasické mechaniky. Bod rozlišování horního a dolního indexu je poháněn případem potrubí s a metrický tenzor, jako je tomu v případě Riemannovy rozdělovače. Horní a dolní indexy se transformují proti a kovariantně při změně souřadnicových rámců. Fráze „fibrewise souřadnice vzhledem k kotangensovým vektorům“ má vyjadřovat moment ${displaystyle p_ {i}}$ jsou „pájené „na rychlosti ${displaystyle dq ^ {i}}$. Pájení je výrazem myšlenky, že rychlost a hybnost jsou kolineární, protože se oba pohybují stejným směrem a liší se měřítkovým faktorem.

Rozdělovače Kähler

A Kähler potrubí je symplektický rozdělovač vybavený kompatibilní integrovatelnou komplexní strukturou. Tvoří zvláštní třídu složité potrubí. Velká třída příkladů pochází z komplexu algebraická geometrie. Jakýkoli hladký komplex projektivní rozmanitost ${displaystyle Vsubset mathbb {CP} ^ {n}}$ má symplektickou formu, což je omezení formy Fubini-Study na projektivní prostor ${displaystyle mathbb {CP} ^ {n}}$.

Lagrangeovy a další dílčí potrubí

Existuje několik přirozených geometrických představ o podmanifold symplektického potrubí ${displaystyle (M, omega)}$.

• symplektická podmanifolds z ${displaystyle M}$ (potenciálně jakékoli sudé dimenze) jsou dílčí potrubí ${displaystyle Ssubset M}$ takhle ${displaystyle omega | _ {S}}$ je symlektická forma na ${displaystyle S}$.

• izotropní dílčí potrubí jsou submanifolds, kde symplektická forma omezuje na nulu, tj. každý tečný prostor je izotropní podprostor tečného prostoru okolního potrubí. Podobně, pokud je každý tangensový podprostor k submanifoldu koizotropní (duál izotropního subprostoru), submanifold se nazývá co-izotropní.

• Lagrangian submanifolds symplektického potrubí ${displaystyle (M, omega)}$ jsou submanifolds, kde omezení symplektické formy ${displaystyle omega}$ na ${displaystyle Lsubset M}$ mizí, tj. ${displaystyle omega | _ {L} = 0}$ a ${displaystyle {ext {dim}} L = {frac {1} {2}} ztlumit M}$. Lagrangian submanifolds jsou maximální izotropní submanifolds.

Nejdůležitějším případem izotropních dílčích potrubí je případ Lagrangian submanifolds. Lagrangian submanifold je, podle definice, izotropní submanifold maximální dimenze, a to polovina dimenze okolního symplektického potrubí. Jedním z hlavních příkladů je, že graf a symplectomorphism v součinném potrubí produktu (M × M, ω × −ω) je Lagrangeova. Jejich průsečíky zobrazují vlastnosti tuhosti, které nemají hladké potrubí; the Arnoldova domněnka udává součet dílčího rozměru Betti čísla jako dolní mez pro počet samostatných křižovatek hladkého Lagrangeova submanifoldu spíše než Eulerova charakteristika v hladkém případě.

Příklady

Nechat ${displaystyle mathbb {R} _ {{extbf {x}}, {extbf {y}}} ^ {2n}}$ mít označeny globální souřadnice ${displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n}, y_ {1}, ldots, y_ {n}).}$ Pak můžeme vybavit ${displaystyle mathbb {R} _ {{extbf {x}}, {extbf {y}}} ^ {2n}}$ s kanonickou symlektickou formou

${displaystyle omega = mathrm {d} x_ {1} klínový mathrm {d} y_ {1} + cdots + mathrm {d} x_ {n} klínový mathrm {d} y_ {n}.}$

K dispozici je standardní Lagrangian submanifold dané ${displaystyle mathbb {R} _ {mathbf {x}} ^ {n} o mathbb {R} _ {mathbf {x}, mathbf {y}} ^ {2n}}$. Formulář ${displaystyle omega}$ zmizí ${displaystyle mathbb {R} _ {mathbf {x}} ^ {n}}$ protože daný pár dvojic tečných vektorů ${displaystyle X = f_ {i} ({extbf {x}}) částečné _ {x_ {i}}, Y = g_ {i} ({extbf {x}}) částečné _ {x_ {i}},}$ máme to ${displaystyle omega (X, Y) = 0.}$ Pro objasnění zvažte případ ${displaystyle n = 1}$. Pak, ${displaystyle X = f (x) částečné _ {x}, Y = g (x) částečné _ {x},}$ a ${displaystyle omega = mathrm {d} xwedge mathrm {d} y.}$ Všimněte si, že když to rozšíříme

${displaystyle omega (X, Y) = omega (f (x) částečné _ {x}, g (x) částečné _ {x}) = {frac {1} {2}} f (x) g (x) ( mathrm {d} x (částečný _ {x}) mathrm {d} y (částečný _ {x}) - mathrm {d} y (částečný _ {x}) mathrm {d} x (částečný _ {x})) }$

oba pojmy máme ${displaystyle mathrm {d} y (částečné _ {x})}$ faktor, který je podle definice 0.

Kotangensový svazek potrubí je lokálně modelován na prostoru podobném prvnímu příkladu. Je možné ukázat, že můžeme spojit tyto afinní symplektické formy, a proto tento svazek tvoří symlektický variet. Netriviálním příkladem Lagrangian submanifold je nulová část kotangens svazku potrubí. Například pojďme

${displaystyle X = {(x, y) v mathbb {R} ^ {2}: y ^ {2} -x = 0}.}$

Pak můžeme prezentovat ${displaystyle T ^ {*} X}$ tak jako

${displaystyle T ^ {*} X = {(x, y, mathrm {d} x, mathrm {d} y) v mathbb {R} ^ {4}: y ^ {2} -x = 0,2ymathrm {d } y-mathrm {d} x = 0}}$

kde zacházíme se symboly ${displaystyle mathrm {d} x, mathrm {d} y}$ jako souřadnice ${displaystyle mathbb {R} ^ {4} = T ^ {*} mathbb {R} ^ {2}.}$ Můžeme uvažovat o podmnožině, kde jsou souřadnice ${displaystyle mathrm {d} x = 0}$ a ${displaystyle mathrm {d} y = 0}$, což nám dává nulovou sekci. Tento příklad lze opakovat pro libovolné potrubí definované mizejícím místem hladkých funkcí ${displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {k}}$ a jejich rozdíly ${displaystyle mathrm {d} f_ {1}, ldots, df_ {k}}$.

Další užitečnou třídu Lagrangian submanifolds lze nalézt pomocí Morseovy teorie. Vzhledem k funkci Morse ${displaystyle f: M o mathbb {R}}$ a pro dostatečně malé ${displaystyle varepsilon}$ lze zkonstruovat Lagrangeovy dílčí potrubí dané mizejícím lokusem ${displaystyle mathbb {V} (varepsilon cdot mathrm {d} f) podmnožina T ^ {*} M}$. Pro generickou morseovu funkci máme Lagrangeovu křižovatku danou vztahem ${displaystyle Mcap mathbb {V} (varepsilon cdot mathrm {d} f) = {ext {Crit}} (f)}$.

Speciální Lagrangeovy dílčí potrubí

V případě Kahlerova potrubí (nebo Rozdělovače Calabi-Yau ) můžeme si vybrat ${displaystyle Omega = Omega _ {1} + mathrm {i} Omega _ {2}}$ na ${displaystyle M}$ jako holomorfní n-forma, kde ${displaystyle Omega _ {1}}$ je skutečnou součástí a ${displaystyle Omega _ {2}}$ imaginární. Lagrangian submanifold ${displaystyle L}$ je nazýván speciální pokud kromě výše uvedené Lagrangeovy podmínky omezení ${displaystyle Omega _ {2}}$ na ${displaystyle L}$ mizí. Jinými slovy, skutečná část ${displaystyle Omega _ {1}}$ omezeno na ${displaystyle L}$ vede objemový formulář ${displaystyle L}$. Následující příklady jsou známé jako speciální Lagrangeovy podmanifoldy,

1. komplexní Lagrangeovy podmanifoldy hyperKahler rozdělovače,
2. pevné body skutečné struktury potrubí Calabi-Yau.

The SYZ domněnka bylo prokázáno pro speciální Lagrangeovy podmanifoldy, ale obecně je otevřené a přináší mnoho dopadů na studium zrcadlová symetrie. viz (Hitchin 1999 )

Lagrangeova fibrace

A Lagrangeova fibrace symplektického potrubí M je fibrace kde všechny vlákna jsou Lagrangian submanifolds. Od té doby M je sudý, můžeme vzít lokální souřadnice (p₁,…,p_n, q¹,…,qⁿ), a tím Darbouxova věta symplektická forma ω lze, alespoň místně, psát jako ω = ∑ dp_k ∧ dq^k, kde d označuje vnější derivace a otes označuje vnější produkt. Tato forma se nazývá Poincaré ve dvou formách nebo kanonický dvouformát. Pomocí tohoto nastavení můžeme místně myslet M jako bytí kotangenský svazek ${displaystyle T ^ {*} mathbb {R} ^ {n},}$ a Lagrangeova fibrace jako triviální fibrace ${displaystyle pi: T ^ {*} mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}.}$ Toto je kanonický obraz.

Lagrangian mapování

Nechat L být Lagrangeovým podmanifem symplektického potrubí (K., ω) dané an ponoření i : L ↪ K. (i se nazývá a Lagrangeovo ponoření). Nechat π : K. ↠ B dát Lagrangeovu fibraci o K.. Kompozitní (π ∘ i) : L ↪ K. ↠ B je Lagrangian mapování. The nastavena kritická hodnota z π ∘ i se nazývá a žíravý.

Dvě Lagrangeovy mapy (π₁ ∘ i₁) : L₁ ↪ K.₁ ↠ B₁ a (π₂ ∘ i₂) : L₂ ↪ K.₂ ↠ B₂ jsou nazývány Lagrangeový ekvivalent pokud existují difeomorfismy σ, τ a ν tak, aby obě strany diagramu byly uvedeny vpravo dojíždět, a τ zachovává symplektickou formu.^[4] Symbolicky:

${displaystyle au circ i_ {1} = i_ {2} cirkus sigma, u cirkus pi _ {1} = pi _ {2} cirkus au, au ^ {*} omega _ {2} = omega _ {1} ,, }$

kde τ^∗ω₂ označuje zarazit z ω₂ podle τ.

Zvláštní případy a zevšeobecňování

• Symptomický potrubí ${displaystyle (M, omega)}$ je přesný pokud symplektická forma ${displaystyle omega}$ je přesný. Například kotangensový svazek hladkého potrubí je přesný symplektický potrubí. The kanonická symlektická forma je přesný.

• Symptomický potrubí obdařený a metrický to je kompatibilní s symplektickou formou je téměř Kählerovo potrubí ve smyslu, že tangensový svazek má téměř složitá struktura, ale to nemusí být integrovatelný.

• Symplectic manifolds are special cases of a Poissonovo potrubí. Definice symplektického potrubí vyžaduje, aby symplektická forma nebyla všude zdegenerována, ale pokud je tato podmínka porušena, může být potrubí stále Poissonovým potrubím.

• A multisymplektické potrubí stupně k je potrubí vybavené uzavřeným nedegenerátorem k-formulář.^[5]

• A polysymplectic manifold je balíček Legendre opatřený polysymplektickou tečnou hodnotou ${displaystyle (n + 2)}$-formulář; je využíván v Hamiltonovské teorii pole.^[6]

Viz také

Poznámky

Reference

• McDuff, Dusa; Salamon, D. (1998). Úvod do symmplektické topologie. Oxfordské matematické monografie. ISBN  0-19-850451-9.
• Auroux, Denis. „Seminář o zrcadlové symetrii“.
• Meinrenken, Eckhard. "Symplectic Geometry" (PDF).
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Základy mechaniky. Londýn: Benjamin-Cummings. Viz část 3.2. ISBN  0-8053-0102-X.
• de Gosson, Maurice A. (2006). Symplektická geometrie a kvantová mechanika. Basilej: Birkhäuser Verlag. ISBN  3-7643-7574-4.
• Alan Weinstein (1971). "Symplektická potrubí a jejich lagrangické dílčí potrubí". Pokroky v matematice. 6 (3): 329–46. doi:10.1016 / 0001-8708 (71) 90020-X.
• Arnold, V. I. (1990). "Ch.1, Symplektická geometrie". Zvláštnosti kaustiky a vlnových front. Matematika a její aplikace. 62. Dordrecht: Springer Nizozemsko. doi:10.1007/978-94-011-3330-2. ISBN  978-1-4020-0333-2. OCLC  22509804.

externí odkazy

• "Jak najít Lagrangian Submanifolds". Stack Exchange. 17. prosince 2014.
• " Lumiste (2001) [1994], "Symplektická struktura", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Sardanashvily, G. (2009). "Vláknové svazky, proudová potrubí a Lagrangeova teorie". Přednášky pro teoretiky. arXiv:0908.1886.
• McDuff, D. (Listopad 1998). „Symplektické struktury - nový přístup k geometrii“ (PDF). Oznámení AMS.
• „Příklady symplektických potrubí“. PlanetMath.
• Hitchin, Nigel (1999). „Přednášky na speciálních Lagrangeových podmanifoldech“. arXiv:matematika / 9907034.CS1 maint: ref = harv (odkaz)