Diophantine geometrie - Diophantine geometry

Geometrie
Stereografická projekce ve formátu 3D.svg
Pobočky
Geometry

V matematice Diophantine geometrie je studium bodů algebraické odrůdy se souřadnicemi v celá čísla, racionální čísla a jejich zobecnění. Tyto zobecnění obvykle jsou pole to nejsou algebraicky uzavřeno, jako počet polí, konečná pole, funkční pole, a p-adická pole (ale ne reálná čísla které se používají v skutečná algebraická geometrie ). Je to dílčí větev aritmetická geometrie a je jedním z přístupů k teorii Diophantine rovnice, formulování otázek o těchto rovnicích ve smyslu algebraická geometrie.

Jedna rovnice definuje a nadpovrch, a simultánní diofantické rovnice vedou k obecnému algebraická rozmanitost PROTI přes K.; typická otázka je o povaze sady PROTI(K.) bodů na PROTI se souřadnicemi v K., a prostřednictvím výškové funkce Mohou být položeny kvantitativní otázky týkající se „velikosti“ těchto řešení, jakož i kvalitativní otázky, zda existují nějaké body, a pokud ano, zda jich je nekonečné množství. Vzhledem k geometrickému přístupu je třeba vzít v úvahu homogenní rovnice a homogenní souřadnice je zásadní ze stejných důvodů projektivní geometrie je dominantní přístup v algebraické geometrii. Řešení s racionálním počtem je proto primárním hlediskem; ale integrální řešení (tj. mřížové body ) lze zacházet stejně jako s afinní odrůda lze uvažovat uvnitř projektivní odrůdy, která má navíc body v nekonečnu.

Obecný přístup diofantické geometrie ilustruje Faltingova věta (domněnka o L. J. Mordell ) s uvedením, že an algebraická křivka C z rod G > 1 nad racionálními čísly má jen konečně mnoho racionální body. Prvním výsledkem tohoto druhu mohla být věta o řešení případu Hilberta a Hurwitze G = 0. Teorie se skládá jak z vět, tak z mnoha dohadů a otevřených otázek.

Pozadí

Serge Lang vydal knihu Diophantine Geometry v této oblasti v roce 1962. Tradiční uspořádání materiálu o diofantických rovnicích bylo podle stupně a počtu proměnných, jako v Mordellově Diophantine rovnice (1969). Mordellova kniha začíná poznámkou o homogenních rovnicích F = 0 nad racionálním polem, přiděleno C. F. Gauss, že nenulová řešení v celých číslech (i primitivních mřížových bodech) existují, pokud to nenulová racionální řešení mají, a upozorňuje na L. E. Dickson, což je o parametrických řešeních.[1] Výsledek Hilberta – Hurwitze z roku 1890 snižuje diofantickou geometrii křivek rodu 0 na stupně 1 a 2 (kuželovité úseky ) se vyskytuje v kapitole 17, stejně jako Mordellova domněnka. Siegelova věta o integrálních bodech vyskytuje se v kapitole 28. Mordellova věta o konečné generaci skupiny racionálních bodů na an eliptická křivka je v kapitole 16 a celočíselné body na Mordellova křivka v kapitole 26.

V nepřátelském přehledu Langovy knihy napsal Mordell

V nedávné době byly vyvinuty nové mocné geometrické myšlenky a metody, pomocí nichž byly nalezeny a prokázány důležité nové aritmetické věty a související výsledky a některé z nich nelze snadno dokázat jinak. Dále se objevila tendence oblékat staré výsledky, jejich rozšíření a důkazy do nového geometrického jazyka. Někdy jsou však úplné důsledky výsledků nejlépe popsány v geometrickém prostředí. Lang má v této knize tyto aspekty velmi na mysli a zdá se, že nepropásne žádnou příležitost pro geometrickou prezentaci. To odpovídá jeho názvu „Diophantine Geometry“.[2]

Poznamenává, že obsah knihy je z velké části verzí Mordell – Weilova věta, Věta – Siegel – Roth Siegelova věta s léčbou Hilbertova věta o neredukovatelnosti a aplikace (ve stylu Siegel). Když vynecháme otázky obecnosti a zcela odlišného stylu, hlavní matematický rozdíl mezi oběma knihami je ten, který použil Lang abelianské odrůdy a nabídl důkaz Siegelovy věty, zatímco Mordell poznamenal, že důkaz „má velmi pokročilý charakter“ (str. 263).

Navzdory zpočátku špatnému tisku byla Langova koncepce dostatečně široce přijímána, aby pocta z roku 2006 mohla tuto knihu nazvat „vizionářskou“.[3] Větší pole se někdy nazývá aritmetika abelianských odrůd nyní obsahuje diofantickou geometrii spolu s teorie pole, komplexní násobení, místní funkce zeta a L-funkce.[4] Paul Vojta napsal:

Zatímco ostatní v té době sdíleli toto hledisko (např. Weil, Tate, Serre ), je snadné zapomenout, že ostatní to neudělali, jak uvádí Mordell Diophantine Geometry potvrzuje.[5]

Viz také

Reference

  • „Diophantine geometry“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

Poznámky

  1. ^ Mordell, Louis J. (1969). Diophantine rovnice. Akademický tisk. p. 1. ISBN  978-0125062503.
  2. ^ "Mordell: Recenze: Serge Lang, Diophantine geometry". Projecteuclid.org. 2007-07-04. Citováno 2015-10-07.
  3. ^ Marc Hindry. "La géométrie diophantienne, selon Serge Lang" (PDF). Gazette des mathématiciens. Citováno 2015-10-07.
  4. ^ "Algebraické odrůdy, aritmetika", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
  5. ^ Jay Jorgenson; Steven G. Krantz. „Matematické příspěvky Serge Langa“ (PDF). Ams.org. Citováno 2015-10-07.

Další čtení

externí odkazy