Symplektomorfismus - Symplectomorphism
v matematika, a symplectomorphism nebo symplektická mapa je izomorfismus v kategorie z symplektická potrubí. v klasická mechanika, symplectomorphism představuje transformaci fázový prostor to je zachování objemu a zachovává symplektická struktura fázového prostoru a nazývá se a kanonická transformace.
Formální definice
A difeomorfismus mezi dvěma symplektická potrubí se nazývá a symplectomorphism -li
kde je zarazit z . Symptomické difeomorfismy z na jsou (pseudo-) skupina, která se nazývá skupina symplektomorfismu (viz níže).
Infinitezimální verze symplectomorfismů dává symplektická vektorová pole. Vektorové pole se nazývá symplektická, pokud
Taky, je symplektický, pokud tok z je symplectomorphism pro každého .Tato vektorová pole vytvářejí Lieovu subalgebru o .
Mezi příklady symplectomorphismů patří kanonické transformace z klasická mechanika a teoretická fyzika, tok spojený s jakoukoli Hamiltonovskou funkcí, mapa zapnutá kotangenské svazky vyvolané jakýmkoli difeomorfismem variet a společným působením prvku a Lie Group na coadjoint orbit.
Proudí
Jakákoli plynulá funkce na a symplektické potrubí podle definice vede k a Hamiltonovské vektorové pole a množina všech takových vektorových polí tvoří subalgebru Lež algebra z symplektická vektorová pole. Integrace toku symplektického vektorového pole je symplektomorfismus. Vzhledem k tomu, symplectomorphisms zachovat symplektická 2-forma a tudíž symlektická objemová forma, Liouvilleova věta v Hamiltoniánská mechanika následuje. Symplectomorphisms, které vznikají z Hamiltonian vektorových polí jsou známé jako Hamiltonian symplectomorphisms.
Od té doby {H, H} = XH(H) = 0, tok Hamiltonovského vektorového pole také zachovává H. Ve fyzice je to interpretováno jako zákon zachování energie.
Pokud první Betti číslo připojeného symplektického potrubí je nula, symplektická a Hamiltonova vektorová pole se shodují, takže pojmy Hamiltonova izotopie a symplektická izotopy symplectomorphism se shodují.
Je možné ukázat, že rovnice pro geodetiku lze formulovat jako Hamiltonovský tok, viz Geodetika jako Hamiltonovské toky.
Skupina (Hamiltonovských) symplectomorphismů
Symplectomorphisms z potrubí zpět na sebe tvoří nekonečno-dimenzionální pseudoskupina. Korespondence Lež algebra sestává ze symplektických vektorových polí. Hamiltoniánské symplektomorfismy tvoří podskupinu, jejíž Lieova algebra je dána Hamiltonovými vektorovými poli. Ten je izomorfní s Lieovou algebrou hladkých funkcí na potrubí s ohledem na Poissonova závorka, modulovat konstanty.
Skupina Hamiltonovských symplectomorphismů obvykle označován jako .
Skupiny hamiltonovských difeomorfismů jsou jednoduchý pomocí věty o Banyaga. Mají přirozenou geometrii danou Hoferova norma. The homotopický typ skupiny symplectomorphism pro určité jednoduché symplectic čtyři potrubí, jako je například produkt koule, lze vypočítat pomocí Gromov teorie o pseudoholomorfní křivky.
Srovnání s Riemannovou geometrií
Na rozdíl od Riemannovy rozdělovače, symplektická potrubí nejsou příliš tuhá: Darbouxova věta ukazuje, že všechna symplektická potrubí stejné dimenze jsou lokálně izomorfní. Naproti tomu izometrie v Riemannově geometrii musí zachovat Riemannův tenzor zakřivení, což je tedy lokální invariant Riemannova potrubí. Navíc každá funkce H na symplektickém potrubí definuje a Hamiltonovské vektorové pole XH, který umocňuje na a skupina s jedním parametrem hamiltonovských difeomorfismů. Z toho vyplývá, že skupina symplectomorphismů je vždy velmi velká a zejména nekonečně dimenzionální. Na druhou stranu skupina izometrie Riemannova potrubí je vždy (konečně-dimenzionální) Lež skupina. Kromě toho jsou Riemannovy rozdělovače s velkými skupinami symetrie velmi speciální a obecný Riemannovský rozdělovač nemá žádné netriviální symetrie.
Kvantování
Reprezentace konečněrozměrných podskupin skupiny symplectomorphismů (po ħ-deformacích obecně) na Hilbertovy prostory jsou nazývány kvantování. Když je Lieova skupina definována Hamiltonianem, nazývá se to „kvantování energií“. Odpovídající operátor z Lež algebra k Lieově algebře spojitých lineárních operátorů se někdy také říká kvantování; toto je častější způsob pohledu na to ve fyzice.
Arnoldova domněnka
Oslavovaná domněnka Vladimír Arnold se týká minimální počet pevné body pro Hamiltonovský symplectomorphism F na M, v případě M je uzavřené potrubí, do Morseova teorie. Přesněji to tvrdí domněnka F má alespoň tolik pevných bodů jako počet kritické body že hladká funkce M musí mít (chápáno jako pro obecný případ, Morseovy funkce, pro které se jedná o konečné konečné číslo, které je alespoň 2).[1]
Je známo, že by to vyplývalo z Arnold – Giventalní domněnka pojmenoval podle Arnolda a Alexander Givental, což je prohlášení o Lagrangian submanifolds. V mnoha případech to dokazuje konstrukce symlektiků Homologie Floer.[Citace je zapotřebí ]
Viz také
Reference
- ^ Abbondandolo, Alberto (2001). „Arnoldovy dohady pro sympletické pevné body“. Morseova teorie pro Hamiltonovské systémy. Chapman a Hall. str. 153–172. ISBN 1-58488-202-6.
- McDuff, Dusa & Salamon, D. (1998), Úvod do symmplektické topologieOxfordské matematické monografie, ISBN 0-19-850451-9.
- Abraham, Ralph & Marsden, Jerrold E. (1978), Základy mechaniky, Londýn: Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-0102-X. Viz část 3.2.
- Skupiny symplectomorphism
- Gromov, M. (1985), „Pseudoholomorfní křivky v symplektických varietách“, Inventiones Mathematicae, 82 (2): 307–347, Bibcode:1985InMat..82..307G, doi:10.1007 / BF01388806.
- Polterovich, Leonid (2001), Geometrie skupiny symplektického difeomorfismu, Basilej; Boston: Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-6432-7.