Grassmannian - Grassmannian - Wikipedia

v matematika, Grassmannian $GR (k, PROTI)$ je prostor, který všechny parametrizuje $k$ -dimenzionální lineární podprostory z $n$ -dimenzionální vektorový prostor $PROTI$ . Například Grassmannian $GR (1, PROTI)$ je prostor linek přes počátek v $PROTI$ , takže je to stejné jako projektivní prostor o jeden rozměr nižší než $PROTI$ .

Když $PROTI$ je skutečný nebo složitý vektorový prostor, Grassmannians jsou kompaktní hladké potrubí.^[1] Obecně mají strukturu a plynulá algebraická rozmanitost, dimenze ${ displaystyle k (n-k).}$

Nejčasnější práce na netriviálním Grassmannianovi je způsobena Julius Plücker, který studoval soubor projektivních linií v projektivním 3prostoru, což odpovídá $GR (2, R 4)$ a parametrizoval je tím, co se nyní nazývá Plückerovy souřadnice. Hermann Grassmann později představil koncept obecně.

Poznámky se u jednotlivých autorů liší $GR k (PROTI)$ je ekvivalentní s $GR (k, PROTI)$ a někteří autoři používají $GR k (n)$ nebo $GR (k, n)$ označit Grassmannian z $k$ -dimenzionální podprostory nespecifikovaného $n$ -dimenzionální vektorový prostor.

Motivace

Poskytnutím kolekce podprostorů nějakého vektorového prostoru a topologické struktura, je možné hovořit o nepřetržitém výběru podprostoru nebo otevřených a uzavřených kolekcích podprostorů; tím, že jim dáte strukturu a diferenciální potrubí lze hovořit o plynulém výběru podprostoru.

Přirozený příklad pochází z tečné svazky hladkých potrubí zabudovaných do Euklidovský prostor. Předpokládejme, že máme potrubí $M$ dimenze $k$ vloženo do $R n$ . V každém bodě $X$ v $M$ , tečný prostor k $M$ lze považovat za podprostor tečného prostoru $R n$ , což je spravedlivé $R n$ . Přiřazení mapy k $X$ jeho tečný prostor definuje mapu z $M$ na $GR (k, n)$ . (Abychom to mohli udělat, musíme přeložit tečný prostor u každého $X$ ∈ $M$ takže prochází původem spíše než $X$ , a proto definuje a $k$ -dimenzionální vektorový podprostor. Tato myšlenka je velmi podobná myšlence Gaussova mapa pro povrchy v trojrozměrném prostoru.)

Tuto myšlenku lze s určitým úsilím rozšířit na všechny vektorové svazky přes potrubí $M$ , takže každý vektorový svazek generuje spojitou mapu z $M$ vhodně zobecněnému Grassmannovi - i když je třeba dokázat, že to dokazují různé věty o vložení. Poté zjistíme, že vlastnosti našich vektorových svazků souvisejí s vlastnostmi odpovídajících map zobrazených jako spojité mapy. Zejména zjistíme, že vektorové svazky indukují homotopický mapy do Grassmannian jsou izomorfní. Zde je definice homotopický spoléhá na pojem kontinuity, a tedy na topologii.

Nízké rozměry

Pro $k = 1$ Grassmannian $GR (1, n)$ je prostor linek přes počátek v $n$ -prostor, takže je stejný jako projektivní prostor z $n - 1$ rozměry.

Pro $k = 2$ Grassmannian je prostorem všech 2-dimenzionálních rovin obsahujících počátek. V euklidovském 3-prostoru je rovina obsahující počátek zcela charakterizována jedinou čarou počátkem, který je kolmý do této roviny (a naopak); tedy mezery $GR (2, 3)$ , $GR (1, 3)$ , a $P 2$ (dále jen projektivní rovina ) mohou být všichni navzájem identifikováni.

Nejjednodušší Grassmannian, který není projektivním prostorem, je $GR (2, 4)$ .

Geometrická definice Grassmannianovy soustavy

Nechat $PROTI$ být $n$ -dimenzionální vektorový prostor nad a pole $K.$ . Grassmannian $GR (k, PROTI)$ je množina všech $k$ -rozměrné lineární podprostory $PROTI$ . Grassmannian je také označován $GR (k, n)$ nebo $GR k (n)$ .

Grassmannian jako diferencovatelné potrubí

Obdarovat Grassmannian $GR k (PROTI)$ se strukturou diferencovatelného rozmanitého, voleného základu pro $PROTI$ . To odpovídá identifikaci s $PROTI = K. n$ se standardní základnou ${ displaystyle (e_ {1}, tečky, e_ {n})}$ , zobrazeno jako vektory sloupců. Pak pro všechny $k$ -rozměrný podprostor $w \subset PROTI$ , nahlíženo jako prvek $GR k (PROTI)$ , můžeme zvolit základ skládající se z $k$ lineárně nezávislé sloupcové vektory ${ displaystyle (W_ {1}, tečky, W_ {k})}$ . The homogenní souřadnice prvku $w \in GR k (PROTI)$ se skládají ze složek $n \times k$ obdélníková matice $Ž$ maximálního postavení, jehož $i$ vektor sloupce je ${ displaystyle W_ {i}, quad i = 1, tečky, k}$ . Vzhledem k tomu, že výběr základu je libovolný, dvě takové obdélníkové matice s maximálním hodnocením $Ž$ a ${ displaystyle { tilde {W}}}$ představují stejný prvek $w \in GR k (PROTI)$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle { tilde {W}} = Wg}$ pro nějaký prvek $G \in GL (k, K.)$ obecné lineární skupiny invertible $k \times k$ matice s položkami v $K.$ .

Nyní definujeme atlas souřadnic. Pro všechny $n \times k$ matice $Ž$ , můžeme se přihlásit základní operace se sloupci získat jeho snížená forma sloupcového sledu. Pokud první $k$ řádky $Ž$ jsou lineárně nezávislé, výsledek bude mít formu

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 1 && ddots &&& 1 a_ {1,1} & cdots & cdots & a_ {1, k} vdots &&& vdots a_ {nk, 1} & cdots & cdots & a_ {nk, k} end {bmatrix}}.}

The $(n - k) \times k$ matice $A = (A ij)$ určuje $w$ . Obecně první $k$ řádky nemusí být nezávislé, ale pro všechny $Ž$ jehož pozice je ${ displaystyle k}$ , existuje uspořádaná sada celých čísel ${ displaystyle 1 leq i_ {1} < cdots$ takové, že submatice ${ displaystyle W_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ skládající se z ${ displaystyle i_ {1}, ldots, i_ {k}}$ -té řady $Ž$ je nesmyslná. Můžeme použít sloupcové operace ke zmenšení této submatice na identitu a zbývající položky jedinečně odpovídají $w$ . Proto máme následující definici:

Pro každou objednanou sadu celých čísel ${ displaystyle 1 leq i_ {1} < cdots$ , nechť ${ displaystyle U_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ být množinou ${ displaystyle n krát k}$ matice $Ž$ jehož $k \times k$ submatice ${ displaystyle W_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ je nonsingular, kde $j$ tř. řada ${ displaystyle W_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ je $i j$ tř. řada $Ž$ . Funkce souřadnic zapnuta ${ displaystyle U_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ je pak definována jako mapa ${ displaystyle A ^ {i_ {1}, dots, i_ {k}}}$ který posílá $Ž$ do $(n - k) \times k$ obdélníková matice, jejíž řádky jsou řádky matice ${ displaystyle WW_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}} ^ {- 1}}$ komplementární k ${ displaystyle (i_ {1}, tečky, i_ {k})}$ . Volba homogenní matice souřadnic $Ž$ představující prvek $w \in GR k (PROTI)$ neovlivňuje hodnoty matice souřadnic ${ displaystyle A ^ {i_ {1}, dots, i_ {k}}}$ zastupující $w$ na sousedství souřadnic ${ displaystyle U_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ . Navíc souřadnicové matice ${ displaystyle A ^ {i_ {1}, dots, i_ {k}}}$ mohou nabývat libovolných hodnot a definují difeomorfismus od ${ displaystyle U_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ do prostoru $K.$ -hodnota $(n - k) \times k$ matice.

Na překrytí

{ displaystyle U_ {i_ {1}, dots, i_ {k}} cap U_ {j_ {1}, dots, j_ {k}}}

ze dvou takových sousedství souřadnic jsou hodnoty matice souřadnic vztaženy přechodovým vztahem

{ displaystyle A ^ {i_ {1}, dots, i_ {k}} W_ {i_ {1}, dots, i_ {k}} = A ^ {j_ {1}, dots, j_ {k} } W_ {j_ {1}, dots, j_ {k}},}

kde oba ${ displaystyle W_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}$ a ${ displaystyle W_ {j_ {1}, dots, j_ {k}}}$ jsou invertibilní. Proto ${ displaystyle (U_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}, A ^ {i_ {1}, tečky, i_ {k}})}$ dává atlas $GR k (PROTI)$ .

Grassmannian jako homogenní prostor

Nejrychlejším způsobem, jak dát Grassmannianovi geometrickou strukturu, je vyjádřit jej jako homogenní prostor. Nejprve si připomeňme, že obecná lineární skupina $GL (PROTI)$ činy přechodně na $r$ -dimenzionální podprostory $PROTI$ . Proto pokud $H$ je stabilizátor kteréhokoli z podprostorů v rámci této akce máme

GR (r, PROTI) = GL (PROTI)/ H

.

Pokud je podkladové pole $R$ nebo $C$ a $GL (PROTI)$ je považován za Lež skupina, pak tato konstrukce dělá z Grassmannian a hladké potrubí. K vytvoření této konstrukce je také možné použít jiné skupiny. Chcete-li to provést, opravte vnitřní produkt na $PROTI$ . Přes $R$ , jeden nahradí $GL (PROTI)$ podle ortogonální skupina $Ó(PROTI)$ a omezením na ortonormální rámce získá člověk identitu

GR (r, n) = O (n)/(Ó(r) \times O (n - r))

.

Zejména je dimenze Grassmannian $r (n - r)$ .

Přes $C$ , jeden nahradí $GL (PROTI)$ podle jednotná skupina $U (PROTI)$ . To ukazuje, že Grassmannian je kompaktní. Tyto stavby také dělají z Grassmannian a metrický prostor: Pro podprostor $Ž$ z $PROTI$ , nechť $P Ž$ být projekcí $PROTI$ na $Ž$ . Pak

{ displaystyle d (W, W ') = lVert P_ {W} -P_ {W'} rVert,}

kde $||\cdot||$ označuje norma operátora, je metrika $GR (r, PROTI)$ . Přesný použitý vnitřní produkt nezáleží, protože jiný vnitřní produkt poskytne ekvivalentní normu $PROTI$ , a tedy dát ekvivalentní metriku.

Pokud pozemní pole $k$ je libovolný a $GL (PROTI)$ je považována za algebraickou skupinu, pak tato konstrukce ukazuje, že Grassmannian je a ne singulární algebraická rozmanitost. Vyplývá to z existence Plücker vkládání že Grassmannian je kompletní jako algebraická odrůda. Zejména, $H$ je parabolická podskupina z $GL (PROTI)$ .

Grassmannian jako schéma

V říši algebraická geometrie, Grassmannian může být konstruován jako a systém vyjádřením jako reprezentativní funktor.^[2]

Reprezentativní funktor

Nechat ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ být kvazi-koherentní svazek na schématu $S$ . Opravte kladné celé číslo $r$ . Pak každému $S$ -systém $T$ , Grassmannův funktor sdružuje množinu kvocientových modulů

{ displaystyle { mathcal {E}} _ {T}: = { mathcal {E}} otimes _ {O_ {S}} O_ {T}}

místně bez hodnosti $r$ na $T$ . Tuto množinu označujeme ${ displaystyle mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}} _ {T})}$ .

Tento funktor je reprezentovatelný oddělením $S$ -systém ${ displaystyle mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}})}$ . To druhé je projektivní -li ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ je definitivně generován. Když $S$ je spektrum pole $k$ , pak snop ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ je dán vektorovým prostorem $PROTI$ a obnovíme obvyklou grassmannovskou rozmanitost dvojího prostoru $PROTI$ , a to: $GR (r, PROTI *)$ .

Grassmannovo schéma je konstrukčně kompatibilní se základními změnami: pro všechny $S$ -systém $S '$ , máme kanonický izomorfismus

{ displaystyle mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}}) times _ {S} S ' simeq mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}} _ {S'}) }

Zejména pro jakýkoli bod $s$ z $S$ , kanonický morfismus ${s} = Spec (k (s)) \to S$ , indukuje izomorfismus z vlákna ${ displaystyle mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}}) _ {s}}$ k obvyklému Grassmannianovi ${ displaystyle mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}} otimes _ {O_ {S}} k (s))}$ nad zbytkovým polem $k (s)$ .

Univerzální rodina

Protože Grassmannovo schéma představuje funktor, přichází s univerzálním objektem, ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ , který je předmětem

{ displaystyle mathbf {Gr} vlevo (r, { mathcal {E}} _ { mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}})}} vpravo),}

a tedy kvocientový modul ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ z ${ displaystyle { mathcal {E}} _ { mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}})}}$ , místně bez hodnosti $r$ přes ${ displaystyle mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}})}$ . Kvocient homomorfismus indukuje uzavřené ponoření z projektivního svazku ${ displaystyle mathbf {P} ({ mathcal {G}})}$ :

{ displaystyle mathbf {P} ({ mathcal {G}}) to mathbf {P} left ({ mathcal {E}} _ { mathbf {Gr} (r, { mathcal {E} })} right) = mathbf {P} ({ mathcal {E}}) times _ {S} mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}}).}

Pro jakýkoli morfismus $S$ schémata:

{ displaystyle T to mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}}),}

toto uzavřené ponoření vyvolá uzavřené ponoření

{ displaystyle mathbf {P} ({ mathcal {G}} _ {T}) do mathbf {P} ({ mathcal {E}}) krát _ {S} T.}

Naopak, každé takové uzavřené ponoření pochází ze surjektivního homomorfismu z $Ó T$ -moduly z ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {T}}$ k místně bezplatnému modulu hodnosti $r$ .^[3] Proto prvky ${ displaystyle mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}}) (T)}$ jsou přesně projektivní podskupiny hodnosti $r$ v

{ displaystyle mathbf {P} ({ mathcal {E}}) krát _ {S} T.}

Podle této identifikace, kdy $T = S$ je spektrum pole $k$ a ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ je dán vektorovým prostorem $PROTI$ , množina racionálních bodů ${ displaystyle mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}}) (k)}$ odpovídají projektivním lineárním podprostorům dimenze $r - 1$ v $P (PROTI)$ a obraz ${ displaystyle mathbf {P} ({ mathcal {G}}) (k)}$ v

{ displaystyle mathbf {P} (V) krát _ {k} mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}})}

je sada

{ displaystyle {(x, v) in mathbf {P} (V) (k) times mathbf {Gr} (r, { mathcal {E}}) (k) mid x in v }.}

Plückerovo vkládání

Plückerovo zalití je přirozeným ztělesněním Grassmannianů ${ displaystyle mathbf {Gr} (k, V)}$ do projektivizace vnější algebry $Λ k PROTI$ :

{ displaystyle iota: mathbf {Gr} (k, V) až mathbf {P} doleva ( Lambda ^ {k} V doprava).}

Předpokládejme to $Ž$ je $k$ -rozměrný podprostor $n$ -dimenzionální vektorový prostor $PROTI$ . Definovat ${ displaystyle iota (W)}$ , vyberte základ ${w 1, ..., w k}$ z $Ž$ a nechte ${ displaystyle iota (W)}$ být klínovým produktem těchto základních prvků:

{ displaystyle iota (W) = [w_ {1} klín cdots klín w_ {k}].}

Jiný základ pro $Ž$ dá odlišný klínový součin, ale tyto dva součiny se budou lišit pouze nenulovým skalárem (determinantem změny základní matice). Protože pravá strana přijímá hodnoty v projektivním prostoru, ${ displaystyle iota}$ je dobře definovaný. To vidět ${ displaystyle iota}$ je vložení, všimněte si, že je možné obnovit $Ž$ z ${ displaystyle iota}$ jako rozpětí množiny všech vektorů $w$ takhle ${ Displaystyle w klín iota (W) = 0}$ .

Plückerovy souřadnice a Plückerovy vztahy

Plückerovo zabudování Grassmannianů uspokojuje některé velmi jednoduché kvadratické vztahy zvané Plückerovy vztahy. Ukazují, že Grassmannian se vloží jako algebraická subvarieta $P (Λ k PROTI)$ a dát další metodu konstrukce Grassmannian. Chcete-li uvést Plückerovy vztahy, opravte základnu ${E 1, ..., E n}$ z $PROTI$ a nechte $Ž$ být $k$ -rozměrný podprostor $PROTI$ se základem ${w 1, ..., w k$ }. Nechat $(w i 1, ..., w v)$ být souřadnice $w i$ s ohledem na zvolený základ $PROTI$ , nechť

{ displaystyle { mathsf {W}} = { begin {bmatrix} w_ {11} & cdots & w_ {1n} vdots & ddots & vdots w_ {k1} & cdots & w_ {kn } end {bmatrix}},}

a nechte

{Ž 1, ..., Ž n}

být sloupci

{ displaystyle { mathsf {W}}}

. Pro jakoukoli objednanou sekvenci

{ displaystyle 1 leq i_ {1} < cdots

z

{ displaystyle k}

kladná celá čísla, ať

{ displaystyle W_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}}

být určující pro

{ displaystyle k krát k}

matice se sloupci

{ displaystyle W_ {i_ {1}}, tečky, W_ {i_ {k}}}

. Sada

{ displaystyle {W_ {i_ {1}, tečky, i_ {k}}: 1 leq i_ {1} < cdots

se nazývá Plückerovy souřadnice prvku

{ displaystyle W}

Grassmannian (s ohledem na základ

{E 1, ..., E n}

z

PROTI

). Jsou to lineární souřadnice obrazu

{ displaystyle iota (W)}

z

{ displaystyle W}

pod Plückerovou mapou, vzhledem k základu vnější síly

Λ k PROTI

vyvolané základem

{E 1, ..., E n}

z

PROTI

.

Pro libovolné dvě seřazené sekvence ${ displaystyle 1 leq i_ {1}$ a ${ displaystyle 1 leq j_ {1}$ z ${ displaystyle k-1}$ a ${ displaystyle k + 1}$ kladná celá čísla, následující homogenní rovnice jsou platné a určují obraz $GR (k, PROTI)$ pod vložením Plücker:

{ displaystyle sum _ { ell = 1} ^ {k + 1} (- 1) ^ { ell} W_ {i_ {1}, dots, i_ {k-1}, j _ { ell}} W_ {j_ {1}, dots, { widehat {j _ { ell}}}, dots j_ {k + 1}} = 0,}

kde ${ displaystyle j_ {1}, ldots, { widehat {j _ { ell}}}, ldots j_ {k + 1}}$ označuje sekvenci ${ displaystyle j_ {1}, ldots, j_ {k + 1}}$ s termínem ${ displaystyle j _ { ell}}$ vynecháno.

Když $ztlumit(PROTI) = 4$ , a $k = 2$ , nejjednodušší Grassmannian, který není projektivním prostorem, se výše redukuje na jedinou rovnici. Označení souřadnic $P (Λ k PROTI)$ podle $Ž 12$ , $Ž 13$ , $Ž 14$ , $Ž 23$ , $Ž 24$ , $Ž 34$ , obraz uživatele $GR (2, PROTI)$ pod Plückerovou mapou je definována jedinou rovnicí

Ž 12 Ž 34 - Ž 13 Ž 24 + Ž 23 Ž 14 = 0.

Obecně je však k definování Plückerova začlenění Grassmannianova v projektivním prostoru potřeba mnohem více rovnic.^[4]

Grassmannian jako skutečná afinní algebraická odrůda

Nechat $GR (r, R n)$ označit Grassmannian z $r$ -dimenzionální podprostory $R n$ . Nechat $M (n, R)$ označit prostor skutečného $n \times n$ matice. Zvažte sadu matic $A (r, n) \subset M (n, R)$ definován $X \in A (r, n)$ pouze za předpokladu, že jsou splněny tři podmínky:

$X$ je operátor projekce: $X 2 = X$ .
$X$ je symetrický: $X t = X$ .
$X$ má stopu $r$ : $tr (X) = r$ .

$A (r, n)$ a $GR (r, R n)$ jsou homeomorfní, s korespondencí navázanou zasláním $X \in A (r, n)$ do prostoru sloupců $X$ .

Dualita

Každý $r$ -rozměrný podprostor $Ž$ z $PROTI$ určuje $(n - r)$ -dimenzionální kvocientový prostor $PROTI / Ž$ z $PROTI$ . To dává přirozené krátká přesná sekvence:

0 \to Ž \to PROTI \to PROTI / Ž \to 0

.

Užívání dvojí do každého z těchto tří prostorů a lineární transformace přináší zahrnutí $(PROTI / Ž) *$ v $PROTI *$ s kvocientem $Ž *$ :

0 \to (PROTI / Ž) * \to PROTI * \to Ž * \to 0

.

Použití přirozeného izomorfismu konečně-dimenzionálního vektorového prostoru s jeho dvojitým duálním ukazuje, že opětovné získání duální obnoví původní krátkou přesnou sekvenci. V důsledku toho existuje vzájemná korespondence $r$ -dimenzionální podprostory $PROTI$ a $(n - r)$ -dimenzionální podprostory $PROTI *$ . Z hlediska Grassmannian se jedná o kanonický izomorfismus

GR (r, PROTI) ≅ GR (n - r, PROTI *)

.

Volba izomorfismu $PROTI$ s $PROTI *$ proto určuje (nekanonický) izomorfismus $GR (r, PROTI)$ a $GR (n - r, PROTI)$ . Izomorfismus z $PROTI$ s $PROTI *$ odpovídá výběru z vnitřní produkt, as ohledem na zvolený vnitřní produkt, tento izomorfismus Grassmannianů vysílá $r$ -dimenzionální podprostor do svého $(n - r)$ -dimenzionální ortogonální doplněk.

Schubertovy buňky

Podrobná studie Grassmannianů využívá rozklad na podmnožiny volala Schubertovy buňky, které byly poprvé použity v enumerativní geometrie. Schubertovy buňky pro $GR (r, n)$ jsou definovány jako pomocné vlajka: vzít podprostory $PROTI 1, PROTI 2, ..., PROTI r$ , s $PROTI i \subset PROTI i + 1$ . Pak vezmeme v úvahu odpovídající podmnožinu $GR (r, n)$ , skládající se z $Ž$ s křižovatkou s $PROTI i$ alespoň dimenze $i$ , pro $i = 1, ..., r$ . Manipulace se Schubertovými buňkami je Schubertův počet.

Zde je příklad této techniky. Uvažujme o problému určení Eulerovy charakteristiky Grassmannianova z $r$ -dimenzionální podprostory $R n$ . Opravit a $1$ -rozměrný podprostor $R \subset R n$ a zvažte oddíl $GR (r, n)$ do těch $r$ -dimenzionální podprostory $R n$ které obsahují $R$ a ti, kteří ne. První je $GR (r - 1, n - 1)$ a druhý je a $r$ -dimenzionální vektorový balíček přes $GR (r, n - 1)$ . To dává rekurzivní vzorce:

{ displaystyle chi _ {r, n} = chi _ {r-1, n-1} + (- 1) ^ {r} chi _ {r, n-1}, qquad chi _ { 0, n} = chi _ {n, n} = 1.}

Pokud někdo vyřeší tento vztah opakování, dostane vzorec: $χ r, n = 0$ kdyby a jen kdyby $n$ je sudé a $r$ je zvláštní. V opačném případě:

{ displaystyle chi _ {r, n} = { lfloor { frac {n} {2}} rfloor zvolit lfloor { frac {r} {2}} rfloor}.}

Kohomologický kruh komplexu Grassmannian

Každý bod v komplexním Grassmannově potrubí $GR (r, n)$ definuje $r$ - letadlo dovnitř $n$ -prostor. Vlákna těchto letadel nad Grassmannianem dorazí k vektorový svazek $E$ který zobecňuje tautologický svazek a projektivní prostor. Podobně $(n - r)$ -dimenzionální ortogonální komplementy těchto rovin dávají ortogonální vektorový svazek $F$ . Integrál kohomologie Grassmannianů se generuje jako prsten tím, že Třídy Chern z $E$ . Zejména je celá integrální kohomologie rovnoměrná, jako v případě projektivního prostoru.

Na tyto generátory se vztahuje sada vztahů, která definuje prsten. Definující vztahy lze snadno vyjádřit pro větší sadu generátorů, která se skládá z Chernových tříd $E$ a $F$ . Vztahy pak pouze uvádějí, že přímý součet svazků $E$ a $F$ je triviální. Funkčnost z celkových tříd Chern umožňuje jednomu napsat tento vztah jako

{ displaystyle c (E) c (F) = 1.}

The kvantová kohomologie prsten byl vypočítán Edward Witten v Verlindeova algebra a kohomologie Grassmannianů. Generátory jsou identické s generátory klasického kohomologického kruhu, ale horní vztah se změní na

{ displaystyle c_ {k} (E) c_ {n-k} (F) = (- 1) ^ {n-r}}

odráží existenci v odpovídající kvantové teorii pole instanton s $2 n$ fermionický nulové režimy který porušuje stupeň cohomologie odpovídající stavu o $2 n$ Jednotky.

Související opatření

Když $PROTI$ je $n$ -dimenzionální euklidovský prostor, lze definovat jednotnou míru na $GR (r, n)$ následujícím způsobem. Nechat $θ n$ být jednotkou Haarovo opatření na ortogonální skupina $Ó(n)$ a opravit $Ž$ v $GR (r, n)$ . Pak na sadu $A \subseteq GR (r, n)$ , definovat

{ displaystyle gamma _ {r, n} (A) = theta _ {n} {g in operatorname {O} (n): gW in A }.}

Toto opatření je neměnné v rámci akcí ze skupiny $Ó(n)$ , to znamená, $y r, n (gA) = y r, n (A)$ pro všechny $G$ v $Ó(n)$ . Od té doby $θ n (Ó(n)) = 1$ , my máme $y r, n (GR (r, n)) = 1$ . Navíc, $y r, n$ je Radonová míra s ohledem na topologii metrického prostoru a je jednotná v tom smyslu, že každá koule stejného poloměru (vzhledem k této metrice) má stejnou míru.

Orientovaný Grassmannian

Toto je potrubí skládající se ze všeho orientované $r$ -dimenzionální podprostory $R n$ . Je to dvojitý obal $GR (r, n)$ a je označen:

{ displaystyle { widetilde { mathbf {Gr}}} (r, n).}

Jako homogenní prostor jej lze vyjádřit jako:

{ displaystyle operatorname {SO} (n) / ( operatorname {SO} (r) times operatorname {SO} (n-r)).}

Aplikace

Rozdělovače Grassmann našly uplatnění v počítačové vidění úkoly rozpoznávání tváře založené na videu a rozpoznávání tvarů.^[5] Používají se také v technice vizualizace dat známé jako velká cena.

Grassmannians umožňují amplitudy rozptylu subatomárních částic, které se mají vypočítat pomocí pozitivního Grassmannova konstruktu zvaného amplituedr.^[6]

Řešení Kadomtsev – Petviashvili rovnice lze vyjádřit jako nekonečně rozměrný Grassmannův rozdělovač, kde rovnice KP je jen a Pluckerův vztah^[7] ^[8] Pozitivní rozdělovače Grassmann lze použít k dosažení podobných řešení Soliton řešení KP rovnice.^[9]^[10]

Viz také

Schubertův počet
Pro příklad použití Grassmannians v diferenciální geometrie viz Gaussova mapa a v projektivní geometrie viz Plücker koordinuje.
Vlajkové potrubí jsou zobecnění Grassmannianů a Stiefel rozdělovače jsou úzce spjaty.
Vzhledem k rozlišující třídě podprostorů lze definovat Grassmannianovy tyto podprostory, například Lagrangian Grassmannian.
Grassmannians poskytují klasifikace mezer v K-teorie, zejména klasifikační prostor pro U (n). V homotopická teorie schémat, Grassmannian hraje podobnou roli algebraická K-teorie.^[11]
Affine Grassmannian
Grassmann svazek
Grassmannův graf

Poznámky

^ Milnor a Stasheff (1974), str. 57–59.
^ Grothendieck, Alexander (1971). Éléments de géométrie algébrique. 1 (2. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-05113-8., Kapitola I.9
^ EGA, II.3.6.3.
^ Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principy algebraické geometrie, Wiley Classics Library (2. vydání), New York: John Wiley & Sons, str. 211, ISBN 0-471-05059-8, PAN 1288523, Zbl 0836.14001
^ Pavan Turaga, Ashok Veeraraghavan, Rama Chellappa: Statistická analýza na rozdělovačích potrubích Stiefel a Grassmann s aplikacemi v počítačovém vidění, CVPR 23. – 28. Června 2008, IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, 2008, ISBN 978-1-4244-2242-5, s. 1–8 (abstraktní, celý text )
^ Arkani-Hamed, Nima; Trnka, Jaroslav (2013). „Amplituhedron“. Journal of High Energy Physics. 2014 (10). arXiv:1312.2007. Bibcode:2014JHEP ... 10..030A. doi:10.1007 / JHEP10 (2014) 030. S2CID 7717260.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
^ Chakravarty, S .; Kodama, Y. (červenec 2009). [doi.org/10.1111/j.1467-9590.2009.00448.x "Solitonová řešení rovnice KP a aplikace na mělké vodní vlny"] Šek | url = hodnota (Pomoc). Studium aplikované matematiky. 83–151. doi:10.1111 / j.1467-9590.2009.00448.x. Citováno 17. prosince 2020.
^ Sato, Mikio (říjen 1981). "Solitonové rovnice jako dynamické systémy na nekonečných dimenzionálních Grassmannovských rozdělovačích (náhodné systémy a dynamické systémy)". 数理解析研究所講究録. 30–46.
^ Kodama, Yuji; Williams, Lauren (prosinec 2014). [DOI 10.1007 / s00222-014-0506-3 „KP soliton a celková pozitivita pro Grassmannian“] Šek | url = hodnota (Pomoc). Inventiones mathematicae. 637–699. doi:10.1007 / s00222-014-0506-3. Citováno 17. prosince 2020.
^ Hartnett, Kevin. „Neočekávaná cesta matematika fyzickým světem“. Časopis Quanta. Citováno 17. prosince 2020.
^ Morel, Fabien; Voevodsky, Vladimir (1999). "A¹-homotopy teorie schémat " (PDF). Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 90 (90): 45–143. doi:10.1007 / BF02698831. ISSN 1618-1913. PAN 1813224. S2CID 14420180. Citováno 2008-09-05., viz část 4.3., s. 137–140

Reference

Hatcher, Allen (2003). „Vector Bundles & K-Theory“ (2.0 ed.). Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc) oddíl 1.2
Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). Charakteristické třídy. Annals of Mathematics Studies. 76. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0. viz kapitoly 5–7
Harris, Joe (1992). Algebraická geometrie: první kurz. New York: Springer. ISBN 0-387-97716-3.
Mattila, Pertti (1995). Geometrie množin a měr v euklidovských prostorech. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.

[1] Milnor a Stasheff (1974), str. 57–59.

[2] Grothendieck, Alexander (1971). Éléments de géométrie algébrique. 1 (2. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-05113-8., Kapitola I.9

[3] EGA, II.3.6.3.

[4] Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principy algebraické geometrie, Wiley Classics Library (2. vydání), New York: John Wiley & Sons, str. 211, ISBN 0-471-05059-8, PAN 1288523, Zbl 0836.14001

[5] Pavan Turaga, Ashok Veeraraghavan, Rama Chellappa: Statistická analýza na rozdělovačích potrubích Stiefel a Grassmann s aplikacemi v počítačovém vidění, CVPR 23. – 28. Června 2008, IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, 2008, ISBN 978-1-4244-2242-5, s. 1–8 (abstraktní, celý text )

[6] Arkani-Hamed, Nima; Trnka, Jaroslav (2013). „Amplituhedron“. Journal of High Energy Physics. 2014 (10). arXiv:1312.2007. Bibcode:2014JHEP ... 10..030A. doi:10.1007 / JHEP10 (2014) 030. S2CID 7717260.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[7] Chakravarty, S .; Kodama, Y. (červenec 2009). [doi.org/10.1111/j.1467-9590.2009.00448.x "Solitonová řešení rovnice KP a aplikace na mělké vodní vlny"] Šek | url = hodnota (Pomoc). Studium aplikované matematiky. 83–151. doi:10.1111 / j.1467-9590.2009.00448.x. Citováno 17. prosince 2020.

[8] Sato, Mikio (říjen 1981). "Solitonové rovnice jako dynamické systémy na nekonečných dimenzionálních Grassmannovských rozdělovačích (náhodné systémy a dynamické systémy)". 数理解析研究所講究録. 30–46.

[9] Kodama, Yuji; Williams, Lauren (prosinec 2014). [DOI 10.1007 / s00222-014-0506-3 „KP soliton a celková pozitivita pro Grassmannian“] Šek | url = hodnota (Pomoc). Inventiones mathematicae. 637–699. doi:10.1007 / s00222-014-0506-3. Citováno 17. prosince 2020.

[10] Hartnett, Kevin. „Neočekávaná cesta matematika fyzickým světem“. Časopis Quanta. Citováno 17. prosince 2020.

[11] Morel, Fabien; Voevodsky, Vladimir (1999). "A¹-homotopy teorie schémat " (PDF). Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 90 (90): 45–143. doi:10.1007 / BF02698831. ISSN 1618-1913. PAN 1813224. S2CID 14420180. Citováno 2008-09-05., viz část 4.3., s. 137–140

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]