Topologie časoprostoru - Spacetime topology

Část série na
Vesmírný čas
Speciální relativita Obecná relativita
Časoprostorové koncepty Časoprostorové potrubí Princip ekvivalence Lorentzovy transformace Minkowského prostor
Obecná relativita Úvod do obecné relativity Matematika obecné relativity Einsteinovy ​​rovnice pole
Klasická gravitace Úvod do gravitace Newtonův zákon univerzální gravitace
Relevantní matematika Čtyři-vektor Derivace relativity Časoprostorové diagramy Diferenciální geometrie Zakřivený časoprostor Matematika obecné relativity Topologie časoprostoru

Topologie časoprostoru je topologická struktura z vesmírný čas, téma studované primárně v obecná relativita. Tento fyzikální teorie modely gravitace jako zakřivení a čtyřrozměrný Lorentzian potrubí (časoprostor) a pojmy topologie proto se stávají důležitými při analýze místních i globálních aspektů časoprostoru. Studium časoprostorové topologie je zvláště důležité v fyzikální kosmologie.

Druhy topologie

Existují dva hlavní typy topologie pro časoprostor M.

Topologie potrubí

Stejně jako u jiných potrubí má prostoročas přirozený potrubí topologie. Tady otevřené sady jsou obrazem otevřených souborů v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$.

Topologie Cesta nebo Zeeman

Definice:^[1] Topologie ${ displaystyle rho}$ ve kterém podmnožina ${ displaystyle E podmnožina M}$ je otevřeno pokud pro každého časová křivka ${ displaystyle c}$ existuje sada ${ displaystyle O}$ v topologii potrubí taková ${ displaystyle E cap c = O cap c}$.

Jedná se o nejlepší topologii, která indukuje stejnou topologii jako ${ displaystyle M}$ dělá na časově podobných křivkách.

Vlastnosti

Přísně jemnější než topologie potrubí. Je to proto Hausdorff, oddělitelný ale ne místně kompaktní.

A základna pro topologii jsou sady formuláře ${ displaystyle Y ^ {+} (p, U) pohár Y ^ {-} (p, U) pohár p}$ na nějaký bod ${ displaystyle p v M}$ a nějaké konvexní normální okolí ${ displaystyle U podmnožina M}$.

(${ displaystyle Y ^ { pm}}$ označit chronologická minulost a budoucnost ).

Alexandrovská topologie

Alexandrovská topologie v časoprostoru je nejhrubší topologie takové, že oba ${ displaystyle Y ^ {+} (E)}$ a ${ displaystyle Y ^ {-} (E)}$ jsou otevřené pro všechny podskupiny ${ displaystyle E podmnožina M}$.

Tady základna otevřených množin pro topologii jsou sady formuláře ${ displaystyle Y ^ {+} (x) cap Y ^ {-} (y)}$ pro některé body ${ displaystyle , x, y v M}$.

Tato topologie se shoduje s topologií potrubí, pokud a pouze v případě, že je potrubí silně kauzální ale obecně je hrubší.^[2]

Všimněte si, že v matematice, an Alexandrovská topologie v částečném pořadí se obvykle považuje za nejhrubší topologii, ve které jsou nastaveny pouze horní sady ${ displaystyle Y ^ {+} (E)}$ musí být otevřené. Tato topologie sahá až k Pavel Alexandrov.

V dnešní době je správný matematický termín pro alexandrovskou topologii v časoprostoru (který sahá až k Alexandr D. Alexandrov ) by byl intervalová topologie, ale když Kronheimer a Penrose představili tento termín, tento rozdíl v nomenklatuře nebyl tak jasný^{[Citace je zapotřebí ]}, a ve fyzice termín Alexandrov topologie zůstane v použití.

Viz také

• Složitý časoprostor
• Gravitační singularita

Poznámky

Reference

• Zeeman, E. C. (1964). „Příčinná souvislost znamená skupinu Lorentz“. Journal of Mathematical Physics. 5 (4): 490–493. Bibcode:1964JMP ..... 5..490Z. doi:10.1063/1.1704140.
• Zeeman, E.C. (1967). "Topologie Minkowského prostoru". Topologie. 6 (2): 161–170. doi:10.1016 / 0040-9383 (67) 90033-X.
• Hawking, S. W .; King, A. R .; McCarthy, P. J. (1976). „Nová topologie pro zakřivený časoprostor, která zahrnuje kauzální, diferenciální a konformní struktury“ (PDF). Journal of Mathematical Physics. 17 (2): 174–181. Bibcode:1976JMP .... 17..174H. doi:10.1063/1.522874.