Systolická geometrie - Systolic geometry

A geodetické na Americký fotbal ilustrující důkaz Gromova domněnka o vyplnění oblasti v hyperelliptickém případě (viz vysvětlení níže).

v matematika, systolická geometrie je studium systolického invarianty z rozdělovače a mnohostěn, jak původně koncipoval Charles Loewner a vyvinutý společností Michail Gromov, Michael Freedman, Peter Sarnak, Michail Katz, Larry Guth a další aritmeticky, ergodický a topologické projevy. Viz také pomalejší tempo Úvod do systolické geometrie.

Pojem systoly

Nejkratší smyčka na torusu

The systola a kompaktní metrický prostor X je metrický invariant hodnoty X, definovaná jako nejmenší délka nezadržitelné smlouvy smyčka v X (tj. smyčka, kterou nelze zkrátit do bodu v okolním prostoru X). V odbornějším jazyce minimalizujeme délku volné smyčky představující netriviální třídy konjugace v základní skupina z X. Když X je graf, invariant se obvykle označuje jako obvod, od roku 1947 článek o obvodu od W. T. Tutte.^[1] Možná inspirovaný Tuttovým článkem, Loewner začal přemýšlet o systolických otázkách na povrchu koncem 40. let, což vedlo k 1950 práce jeho studentem Pao Ming Pu. Samotný termín „systola“ sám o sobě vznikl až o čtvrt století později Marcel Berger.

Tato linie výzkumu byla zjevně dána dalším podnětem poznámkou René Thom, v rozhovoru s Bergerem v knihovně Štrasburské univerzity během akademického roku 1961-62, krátce po zveřejnění příspěvků R. Accoly a C. Blattera. S odkazem na tyto systolické nerovnosti Thom údajně zvolal: Mais c'est fondamental! [Tyto výsledky mají zásadní význam!]

Následně Berger popularizoval toto téma v sérii článků a knih, naposledy v březnovém čísle Notices of the American Mathematical Society (viz odkaz níže). Bibliografie na Web pro systolickou geometrii a topologii v současné době obsahuje více než 160 článků. Systolická geometrie je rychle se rozvíjející obor, který zahrnuje řadu nedávných publikací v předních časopisech. Nedávno (viz příspěvek Katze a Rudyaka z roku 2006 níže) odkaz na Kategorie Lusternik – Schnirelmann objevil se. Existenci takového odkazu lze považovat za větu v systolická topologie.

Vlastnost centrálně symetrického mnohostěnu ve 3 prostoru

Každý konvexní centrálně symetrický mnohostěn P v R³ připouští dvojici protilehlých (antipodálních) bodů a cestu délky L spojující je a ležící na hranici ∂P z P, uspokojující

{ displaystyle L ^ {2} leq { frac { pi} {4}} mathrm {area} ( částečný P).}

Alternativní formulace je následující. Jakékoli centrálně symetrické konvexní těleso povrchu A lze protlačit smyčkou délky ${ displaystyle { sqrt { pi A}}}$ , s nejtěsnějším dosažením koule. Tato vlastnost je ekvivalentní speciálnímu případu Puovy nerovnosti (viz níže), jedné z prvních systolických nerovností.

Koncepty

Pro předběžnou představu o chuti pole lze provést následující pozorování. Zdá se, že hlavní důraz Thomovy poznámky na Bergera citovaný výše je následující. Kdykoli narazí na nerovnost související s geometrickými invarianty, je takový jev sám o sobě zajímavý; o to více, když je nerovnost ostrá (tj. optimální). Klasický izoperimetrická nerovnost je dobrým příkladem.

Torus

V systolických otázkách o povrchech hrají zvláště důležitou roli integrálně-geometrické identity. Zhruba řečeno, na jedné straně existuje integrální oblast vztahující se k identitě a na straně druhé průměr energií vhodné rodiny smyček. Podle Cauchy – Schwarzova nerovnost, energie je horní mez pro délku na druhou; proto získáme nerovnost mezi plochou a čtvercem systoly. Takový přístup funguje jak pro Nerovnost loewneru

{ displaystyle mathrm {sys} ^ {2} leq { frac {2} { sqrt {3}}} cdot mathrm {oblast}}

pro torus kde případu rovnosti dosáhne plochý torus, jehož palubní transformace tvoří mřížku Eisensteinova celá čísla,

Animace Římský povrch zastupující P²(R) v R³

a pro Nerovnost Pu pro skutečnou projektivní rovinu P²(R):

{ displaystyle mathrm {sys} ^ {2} leq { frac { pi} {2}} cdot mathrm {oblast}}

,

s rovností charakterizující metriku konstanty Gaussovo zakřivení.

Aplikace výpočetního vzorce pro rozptyl ve skutečnosti přináší následující verzi Loewnerovy nerovnosti torusů s isosystolickou vadou:

{ displaystyle mathrm {area} - { frac { sqrt {3}} {2}} mathrm {sys} ^ {2} geq mathrm {var} (f),}

kde F je konformní faktor metriky s ohledem na plošnou metriku jednotkové plochy ve své třídě konformity. Tuto nerovnost lze považovat za analogickou Bonnesenova nerovnost s izoperimetrickou vadou, posílení izoperimetrické nerovnosti.

Nedávno byla objevena řada nových nerovností tohoto typu, včetně dolních mezí univerzálního objemu. Více podrobností se objeví na systoly povrchů.

Gromovova systolická nerovnost

Nejhlubší výsledek v oboru je Gromovova nerovnost pro homotopy 1-systoly an nezbytný n- potrubí M:

{ displaystyle operatorname {sys pi} _ {1} {} ^ {n} leq C_ {n} operatorname {vol} (M),}

kde C_n je univerzální konstanta pouze v závislosti na rozměru M. Zde homotopy systoly sysπ₁ je ze své podstaty nejmenší délka nezadržitelné smyčky M. Volá se rozdělovač nezbytný pokud je to jeho základní třída [M] představuje netriviální třídu v homologie jeho základní skupina. Důkaz zahrnuje nový invariant nazvaný poloměr plnění, představený Gromovem, definován následovně.

Označit podle A kroužek koeficientu Z nebo Z₂, podle toho, zda M je orientovatelný. Pak základní třída, označeno [M], kompaktní n-rozměrné potrubí M je generátor ${ displaystyle H_ {n} (M; A) = A}$ . Vzhledem k vložení M v euklidovském prostoru E, jsme si stanovili

{ displaystyle mathrm {FillRad} (M podmnožina E) = inf left { epsilon> 0 left | ; iota _ { epsilon} ([M]) = 0 v H_ {n} (U _ { epsilon} M) doprava. Doprava },}

kde ι_ε je inkluzní homomorfismus vyvolaný zahrnutím M v jeho sousedství ε U_ε M v E.

Definovat absolutní poloměr plnění v situaci, kdy M je vybaven Riemannovou metrikou GGromov postupuje následovně. Jeden využívá propadnutí kvůli C. Kuratowskému. Jeden z nich M v Banachově prostoru L^∞(M) omezených funkcí Borel na M, vybavené normou sup ${ displaystyle | ; |}$ . Namapujeme bod X ∈ M k funkci F_X ∈ L^∞(M) definovaný vzorcem F_X(y) = d (x, y) pro všechny y ∈ M, kde d je funkce vzdálenosti definovaná metrikou. Podle trojúhelníkové nerovnosti máme ${ displaystyle d (x, y) = | f_ {x} -f_ {y} |,}$ a proto je vložení silně izometrické, v přesném smyslu, že vnitřní vzdálenost a vzdálenost okolí se shodují. Takové silně izometrické vnoření není možné, pokud je okolním prostorem Hilbertův prostor, i když M je Riemannova kružnice (vzdálenost mezi protilehlými body musí být π, ne 2!). Poté jsme nastavili E = L^∞(M) ve výše uvedeném vzorci a definujte

{ displaystyle mathrm {FillRad} (M) = mathrm {FillRad} left (M podmnožina L ^ { infty} (M) right).}

Gromov totiž prokázal ostrou nerovnost mezi systolou a poloměrem plnění,

{ displaystyle mathrm {sys pi} _ {1} leq 6 ; mathrm {FillRad} (M),}

platí pro všechny základní rozdělovače M; stejně jako nerovnost

{ displaystyle mathrm {FillRad} leq C_ {n} mathrm {vol} _ {n} {} ^ {1 / n} (M),}

platí pro všechna uzavřená potrubí M.

Shrnutí důkazu, založeného na nedávných výsledcích teorie geometrických měr S. Sengera, navazujících na dřívější práci L. Ambrosia a B. Kirchheima, se nachází v oddíle 12.2 knihy „Systolická geometrie a topologie“, na kterou se odkazuje níže. Nedávno navrhl zcela odlišný přístup k dokazování Gromovovy nerovnosti Larry Guth.^[2]

Gromovova stabilní nerovnost

Významný rozdíl mezi 1-systolickými invarianty (definovanými v délkách smyček) a vyššími, k-systémové invarianty (definované z hlediska oblastí cyklů atd.) je třeba mít na paměti. I když již byla získána řada optimálních systolických nerovností zahrnujících 1-systoly, téměř jediná optimální nerovnost zahrnující čistě vyšší k-systémy je Gromovova optimální stabilní 2-systolická nerovnost

{ displaystyle mathrm {stsys} _ {2} {} ^ {n} leq n! ; mathrm {vol} _ {2n} ( mathbb {CP} ^ {n})}

pro složitý projektivní prostor, kde je optimální hranice dosažena symetricky Fubini - metrika studia, směřující na odkaz na kvantová mechanika. Zde stabilní 2-systola riemannovského potrubí M je definován nastavením

{ displaystyle mathrm {stsys} _ {2} = lambda _ {1} left (H_ {2} (M, mathbb {Z}) _ { mathbb {R}}, | ; | že jo),}

kde ${ displaystyle | ; |}$ je stabilní normou, zatímco λ₁ je nejmenší normou nenulového prvku mřížky. Jak výjimečná je Gromovova stabilní nerovnost, se ukázalo až nedávno. Konkrétně bylo zjištěno, že na rozdíl od očekávání je symetrická metrika na kvaternionová projektivní rovina je ne jeho systolicky optimální metrika, na rozdíl od 2-systoly v komplexním případě. Zatímco kvaternionová projektivní rovina se svou symetrickou metrikou má střední dimenzionální stabilní systolický poměr 10/3, analogický poměr pro symetrickou metriku komplexního projektivního 4-prostoru dává hodnotu 6, zatímco nejlepší dostupná horní hranice pro takový poměr libovolné metriky na obou těchto prostorech je 14. Tato horní mez souvisí s vlastnostmi Lieovy algebry E7. Pokud existuje 8-potrubí s výjimečnou holonomií Spin (7) a 4. Betti číslo 1, pak je hodnota 14 ve skutečnosti optimální. Rozdělovače s holonomií Spin (7) byly intenzivně studovány uživatelem Dominic Joyce.

Dolní hranice pro 2-systoly

Podobně, téměř jediný netriviální dolní směřující k a k-systém s k = 2, výsledky nedávné práce v teorie měřidel a J-holomorfní křivky. Studium dolních mezí pro konformní 2-systolu 4-variet vedlo ke zjednodušenému důkazu hustoty obrazu dobové mapy tím, že Jake Solomon.

Schottkyho problém

Snad jedna z nejvýraznějších aplikací systol je v kontextu Schottkyho problém, autor: P. Buser a P. Sarnak, který rozlišoval Jacobians z Riemannovy povrchy mezi hlavně polarizovanými abelianskými odrůdami, které položily základ pro systolickou aritmetiku.

Kategorie Lusternik – Schnirelmann

Kladení systolických otázek často stimuluje otázky v souvisejících oborech. Pojem tedy systolická kategorie bylo definováno a zkoumáno potrubí, vykazující spojení s Kategorie Lusternik – Schnirelmann (Kategorie LS). Všimněte si, že systolická kategorie (stejně jako kategorie LS) je ze své podstaty celé číslo. Ukázalo se, že tyto dvě kategorie se shodují pro oba povrchy a 3 potrubí. Kromě toho je pro orientovatelné rozdělovače se 4 rozvody dolní mez pro kategorii LS. Jakmile je spojení navázáno, vliv je vzájemný: známé výsledky o kategorii LS stimulují systolické otázky a naopak.

Nový invariant představili Katz a Rudyak (viz níže). Protože se ukázalo, že invariant úzce souvisí s kategorií Lusternik-Schnirelman (kategorie LS), byl nazýván systolická kategorie.

Systolická kategorie potrubí M je definován z hlediska různých k-systémy M. Zhruba řečeno, myšlenka je následující. Vzhledem k rozmanitosti M, hledá se nejdelší produkt systol, které dávají spodní hranici "bez zakřivení" pro celkový objem M (s konstantou nezávislou na metrice). Je přirozené zahrnout systolické invarianty obálek M v definici také. Počet faktorů v takovém „nejdelším produktu“ je podle definice systolická kategorie M.

Například, Gromov ukázal, že zásadní n-manifold připouští dolní mez objemu, pokud jde o n-tou sílu homotopy 1-systoly (viz část výše). Z toho vyplývá, že systolická kategorie podstatného n- potrubí je přesně n. Ve skutečnosti pro zavřené n-manifolds, je dosaženo maximální hodnoty kategorie LS i systolické kategorie současně.

Dalším náznakem existence zajímavého vztahu mezi těmito dvěma kategoriemi je vztah k invariantu zvanému cuplength. Skutečná délka poháru se tedy ukazuje jako dolní mez pro obě kategorie.

Systolická kategorie se shoduje s kategorií LS v řadě případů, včetně případů potrubí o dimenzích 2 a 3. V dimenzi 4 se nedávno ukázalo, že systolická kategorie je dolní mezí pro kategorii LS.

Systolická hyperbolická geometrie

Studium asymptotického chování pro velký rod G systoly hyperbolických povrchů odhaluje některé zajímavé konstanty. Tím pádem, Hurwitzovy povrchy Σ_G definované věží hlavních podskupin kongruence (2,3,7) skupina hyperbolických trojúhelníků uspokojit vázané

{ displaystyle mathrm {sys} pi _ {1} ( Sigma _ {g}) geq { frac {4} {3}} log g,}

a podobné vázané platí pro obecnější aritmetiku Fuchsijské skupiny. Tento výsledek Katz, Schaps a Vishne z roku 2007 zevšeobecňuje výsledky Peter Sarnak a Peter Buser v případě definovaných aritmetických skupin Q, z jejich seminární práce z roku 1994 (viz níže).

Bibliografie pro systoly v hyperbolická geometrie v současné době čítá čtyřicet článků. Zajímavé příklady poskytuje Povrch Bolza, Kleinova kvartika, Macbeathův povrch, První Hurwitz triplet.

Vztah k mapám Abel – Jacobi

Rodina optimálních systolických nerovností je získána aplikací technik Buraga a Ivanova s využitím vhodných metod Mapy Abel – Jacobi, definováno následovně.

Nechat M být potrubí, π = π₁(M), jeho základní skupina a F: π → π^ab být jeho abelianizace mapa. Nechat tor být torzní podskupinou π^ab. Nechat G: π^ab → π^ab/tor být kvocientem zkrutem. Je zřejmé, že π^ab/tor= Z^b, kde b = b₁ (M). Nechť φ: π → Z^b být složený homomorfismus.

Definice: Obal ${ displaystyle { bar {M}}}$ potrubí M odpovídající podskupině Ker (φ) ⊂ π se nazývá univerzální (nebo maximální) volný abelianský obal.

Nyní předpokládejme M má Riemannova metrika. Nechat E být prostorem harmonických 1 forem M, s duálním E* kanonicky identifikován s H₁(M,R). Integrací integrální harmonické 1 formy podél cest ze základního bodu X₀ ∈ M, získáme mapu do kruhu R/Z = S¹.

Podobně za účelem definování mapy M → H₁(M,R)/H₁(M,Z)_R aniž bychom zvolili základ pro kohomologii, argumentujeme následovně. Nechat X být bodem v univerzální kryt ${ displaystyle { tilde {M}}}$ z M. Tím pádem X je reprezentován bodem M společně s cestou C z X₀ k tomu. Integrací podél cesty C, získáme lineární tvar, ${ displaystyle h to int _ {c} h}$ , na E. Získáváme tak mapu ${ displaystyle { tilde {M}} na E ^ {*} = H_ {1} (M, mathbf {R})}$ , který navíc sestupuje na mapu

{ displaystyle { overline {A}} _ {M}: { overline {M}} do E ^ {*}, ; ; c mapsto left (h mapsto int _ {c} h že jo),}

kde ${ displaystyle { overline {M}}}$ je univerzální bezplatný abelianský obal.

Definice: The Odrůda Jacobi (Jacobi torus) ze dne M je torus J₁(M)= H₁(M,R)/H₁(M,Z)_R

Definice: The Mapa Abel – Jacobi ${ displaystyle A_ {M}: M až J_ {1} (M),}$ se získá z výše uvedené mapy předáním do kvocientů. Mapa Abel – Jacobi je jedinečná až po překlady Jacobiho torusu.

Jako příklad lze uvést následující nerovnost způsobenou D. Buragem, S. Ivanovem a M. Gromov.

Nechat M být n-rozměrné Riemannovo potrubí s prvním číslem Betti n, takže mapa z M jeho Jacobiho torus má nenulovou hodnotu stupeň. Pak M uspokojuje optimální stabilní systolickou nerovnost

{ displaystyle mathrm {stsys} _ {1} {} ^ {n} leq gamma _ {n} mathrm {vol} _ {n} (M),}

kde ${ displaystyle gamma _ {n}}$ je klasický Hermitova konstanta.

Související pole, objemová entropie

Ukázalo se, že asymptotické jevy pro systolu povrchů velkého rodu jsou zajímavé ergodický jevy a vlastnosti kongruenčních podskupin aritmetické skupiny.

Gromovova nerovnost pro homotopickou systolu z roku 1983 implikuje zejména jednotnou dolní mez pro oblast asférického povrchu, pokud jde o jeho systolu. Taková vazba zobecňuje nerovnosti Loewnera a Pu, i když neoptimálním způsobem.

Gromovova seminární práce z roku 1983 také obsahuje asymptotické hranice týkající se systoly a oblasti, které zlepšují jednotnou vazbu (platí ve všech rozměrech).

Nedávno bylo zjištěno (viz papír Katze a Sabouraua níže), že objemová entropie h, spolu s optimální nerovností A. Katoka pro h, je „správným“ prostředníkem v transparentním důkazu asymptotické vazby M. Gromova na systolický poměr povrchů velkého rodu.

Klasický výsledek A. Katoka uvádí, že každá metrika na uzavřeném povrchu M s negativní Eulerovou charakteristikou uspokojuje optimální nerovnost vztahující se k entropii a ploše.

Ukazuje se, že minimální entropie uzavřeného povrchu může souviset s jeho optimálním systolickým poměrem. Jmenovitě existuje horní mez pro entropii systolicky extremálního povrchu, pokud jde o jeho systolu. Kombinací této horní meze s Katokovou optimální dolní mezí z hlediska objemu se získá jednodušší alternativní důkaz Gromovova asymptotického odhadu pro optimální systolický poměr povrchů velkého rodu. Kromě toho takový přístup přináší vylepšenou multiplikativní konstantu v Gromovově větě.

Jako aplikace tato metoda naznačuje, že každá metrika na povrchu rodu alespoň 20 splňuje Loewnerovu nerovnost torusu. To zlepšuje nejlepší dřívější odhad 50, který vyplynul z odhadu Gromovových.

Domněnka o vyplnění oblasti

Gromov domněnka o vyplnění oblasti bylo prokázáno v hyperelliptickém prostředí (viz odkaz Bangert et al. níže).

The domněnka o vyplnění oblasti tvrdí, že ze všech možných výplní Riemannovy kružnice délky 2π povrchem se silně izometrickou vlastností má kulatá polokoule nejmenší plochu. Zde Riemannova kružnice odkazuje na jedinečný uzavřený 1-rozměrný Riemannovo potrubí o celkovém 1-objemu 2π a Riemannově průměru π.

Abychom vysvětlili domněnku, začneme pozorováním, že rovníková kružnice jednotky 2-koule, S² ⊂ R³, je Riemannov kruh S¹ o délce 2π a průměru π.

Přesněji řečeno, Riemannova vzdálenost funkce S¹ je omezení okolní Riemannovy vzdálenosti na kouli. Tato vlastnost je ne uspokojeno standardním vložením jednotkové kružnice do euklidovské roviny, kde dvojice protilehlých bodů je ve vzdálenosti 2, ne π.

Zvažujeme všechny výplně S¹ povrchem, takže omezená metrika definovaná zahrnutím kružnice jako hranice plochy je Riemannova metrika kružnice o délce 2π. Zahrnutí kruhu jako hranice se pak nazývá silně izometrické vložení kruhu.

V roce 1983 se Gromov domníval, že kulatá polokoule poskytuje „nejlepší“ způsob vyplnění kruhu mezi všemi výplňovými povrchy.

Případ jednoduše spojených výplní je ekvivalentní Pu je nerovnost. Nedávno případ rod Potvrzeny byly také -1 výplně (viz odkaz Bangert et al. Níže). Jmenovitě se ukazuje, že z integrální geometrie lze využít půlstoletý vzorec J. Hersche. Zvažte rodinu smyček s číslem 8 na fotbalovém míčku s průsečíkem na rovníku (viz obrázek na začátku článku). Herschův vzorec vyjadřuje oblast metriky v konformní třídě fotbalu jako průměr energií smyček čísla 8 z rodiny. Aplikace Herschova vzorce na hyperelliptický kvocient Riemannova povrchu v tomto případě dokazuje domněnku vyplňující oblasti.

Další systolické důsledky hyperellipticity byly identifikovány v rodu 2.

Průzkumy

Průzkumy v terénu zahrnují průzkum M. Bergera (1993), Gromovův průzkum (1996), Gromovovu knihu (1999), Bergerovu panoramatickou knihu (2003) a také Katzovu knihu (2007). Tyto reference mohou začátečníkovi pomoci vstoupit do pole. Obsahují také otevřené problémy, na kterých je třeba pracovat.

Viz také

Poznámky

^ Tutte, William T. (1947). "Rodina kubických grafů". Proc. Cambridge Philos. Soc. 43 (4): 459–474. Bibcode:1947PCPS ... 43..459T. doi:10.1017 / S0305004100023720. PAN 0021678.
^ Guth, Larry (2011). "Objemy koulí ve velkých Riemannovských varietách". Annals of Mathematics. 173 (1): 51–76. arXiv:matematika / 0610212. doi:10.4007 / annals.2011.173.1.2. PAN 2753599.

Reference

Bangert, V.; Croke, C .; Ivanov, S .; Katz, M .: Vyplnění dohadů o ploše a bezvaječné skutečné hyperelliptické povrchy. Geometrická a funkční analýza (GAFA) 15 (2005), č. 3, 577–597.
Berger, M .: Systoles et applications selon Gromov. (Francouzsky. Francouzské shrnutí) [Systoly a jejich aplikace podle Gromova] Séminaire Bourbaki, sv. 1992/93. Astérisque č. 216 (1993), Exp. Č. 771, 5, 279—310.
Berger, M .: Panoramatický pohled na Riemannovu geometrii. Springer-Verlag, Berlín, 2003.
Berger, M .: Co je to ... systola? Oznámení AMS 55 (2008), č. 3, 374–376.
Buser, P .; Sarnak, P.: Na dobové matici Riemannova povrchu velkého rodu. S dodatkem J. H. Conwaye a N. J. A. Sloana. Vymyslet. Matematika. 117 (1994), č. 1. 1, 27—56.
Gromov, M .: Plnění Riemannovských potrubí, J. Diff. Geom. 18 (1983), 1-147.
Gromov, M. Systoly a intersystémové nerovnosti. (Anglicky, francouzsky) Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), 291—362, Sémin. Congr., 1, Soc. Matematika. Francie, Paříž, 1996.
Gromov, M. Metrické struktury pro Riemannovy a neriemannovské prostory. Na základě francouzského originálu z roku 1981. S dodatky od Michail Katz, Pierre Pansu, a Stephen Semmes. Z francouzštiny přeložil Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, Massachusetts, 1999.
Katz, M .: Poloměr plnění dvoubodových homogenních prostorů. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505-511.
Katz, M. Systolická geometrie a topologie. S dodatkem J. Solomona. Mathematical Surveys and Monographs, svazek 137. Americká matematická společnost, 2007.
Katz, M .; Rudyak, Y .: Systolická kategorie a Lusternik – Schnirelmanova kategorie nízkodimenzionálních potrubí. Sdělení o čisté a aplikované matematice 59 ('06), 1433–1456.
Katz, M .; Sabourau, S .: Entropie systolicky extrémních povrchů a asymptotické hranice. Ergo. Čt. Dynam. Sys. 25 (2005), 1209–1220.
Katz, M .; Schaps, M .; Vishne, U .: Logaritmický růst systoly aritmetických Riemannův povrchů v kongruenčních podskupinách. J. Diferenciální Geom. 76 (2007), č. 3, 399–422. Dostupné v arXiv:matematika / 0505007
Pu, P. M .: Některé nerovnosti v určitých neorientovatelných Riemannovských varietách. Pacific J. Math. 2 (1952), 55—71.

externí odkazy

[1] Tutte, William T. (1947). "Rodina kubických grafů". Proc. Cambridge Philos. Soc. 43 (4): 459–474. Bibcode:1947PCPS ... 43..459T. doi:10.1017 / S0305004100023720. PAN 0021678.

[2] Guth, Larry (2011). "Objemy koulí ve velkých Riemannovských varietách". Annals of Mathematics. 173 (1): 51–76. arXiv:matematika / 0610212. doi:10.4007 / annals.2011.173.1.2. PAN 2753599.

[1]

[2]

Systolická geometrie
1-systoly povrchů	Nerovnost torusu Loewnera Pu je nerovnost Domněnka o vyplnění oblasti Povrch Bolza Systoly povrchů Eisensteinova celá čísla
1-systoly potrubí	Gromovova systolická nerovnost pro základní potrubí Základní potrubí Poloměr plnění Hermitova konstanta
Vyšší systoly	Gromovova nerovnost pro složitý projektivní prostor Systolická svoboda Systolická kategorie