Oblasti matematiky - Areas of mathematics
Matematika |
---|
|
Matematici |
|
Navigace |
Matematika zahrnuje rostoucí rozmanitost a hloubku předmětů Dějiny a porozumění vyžaduje systém, který by kategorizoval a organizoval mnoho předmětů obecněji oblasti matematiky. Vznikla řada různých klasifikačních schémat, a přestože sdílejí určité podobnosti, existují rozdíly částečně způsobené různými účely, kterým slouží. Kromě toho je matematika obtížná pro některé předměty, často nejaktivnější, které překračují hranice mezi různými oblastmi.
Tradiční rozdělení matematiky je do čistá matematika; matematika studovala pro svůj vlastní zájem a aplikovaná matematika; matematiku, kterou lze přímo aplikovat na problémy v reálném světě.[poznámka 1]Toto rozdělení není vždy jasné a mnoho předmětů bylo vyvinuto jako čistá matematika, aby se později našly neočekávané aplikace. Široké divize, jako např diskrétní matematika, výpočetní matematika a tak dále se objevily nedávno.
Ideální systém klasifikace umožňuje přidání nových oblastí do organizace předchozích znalostí a přizpůsobení překvapivých objevů a neočekávaných interakcí do osnovy. Langlandsův program našel alespoň neočekávané spojení mezi oblastmi, které byly dříve považovány za nespojené Galoisovy skupiny, Riemannovy povrchy a teorie čísel.
Klasifikační systémy
- The Klasifikace matematických předmětů (MSC) je vytvářen zaměstnanci revizních databází Matematické recenze a Zentralblatt MATH. Mnoho matematických časopisů žádá autory, aby označili své příspěvky kódem předmětu MSC. MSC rozděluje matematiku do více než 60 oblastí, s dalšími členěními v každé oblasti.
- V Library of Congress Classification, je matematice přiřazeno mnoho podtřídy QA ve třídě Q (věda). LCC definuje široké divize a jednotlivým subjektům jsou přiřazeny konkrétní číselné hodnoty.
- The Deweyova desetinná klasifikace přiřadí matematiku k divizi 510 s rozdělením na Algebra & Teorie čísel, Aritmetický, Topologie, Analýza, Geometrie, Numerická analýza, a Pravděpodobnosti & Aplikovaná matematika.
- The Kategorie v rámci matematiky seznam používá arXiv pro kategorizaci předtisky. Liší se od MSC; například obsahuje věci jako Kvantová algebra.
- The IMU používá jeho struktura programu za organizaci přednášek na čtyřech: ročně ICM. Jedna sekce nejvyšší úrovně, kterou MSC nemá, je Teorie lži.
- The ACM Computing Classification System zahrnuje pár matematických Kategorie F. Teorie výpočtu a G. Matematika výpočtu.
- MathOverflow má systém značek.
- Vydavatelé knih o matematice jako např Springer (subdisciplíny ), Cambridge (Procházejte matematiku a statistiky ) a AMS (předmětová oblast ) používají na svých webových stránkách vlastní seznamy předmětů, které zákazníkům umožňují procházet knihy nebo filtrovat vyhledávání podle subdisciplíny, včetně témat, jako je matematická biologie a matematické finance jako horní: nadpisy úrovně.
- Školy a jiné vzdělávací instituce mají osnovy.
- Výzkumné ústavy a katedry univerzitní matematiky mají často dílčí oddělení nebo studijní skupiny. např. SIAM má skupiny aktivit pro své členy.
- Wikipedia používá a Kategorie: Matematika systém ve svých článcích a také má seznam matematických seznamů.
Hlavní rozdělení matematiky
Čistá matematika
Nadace (počítaje v to teorie množin a matematická logika )
Matematici vždy pracovali s logikou a symboly, ale po staletí byly základní logické zákony považovány za samozřejmost a nikdy nebyly vyjádřeny symbolicky. Matematická logika, také známý jako symbolická logika, byl vyvinut, když si lidé konečně uvědomili, že nástroje matematiky lze použít ke studiu samotné struktury logiky. Oblasti výzkumu v této oblasti se rychle rozšířily a obvykle se dělí na několik odlišných podpolí.
- Teorie důkazů a konstruktivní matematika : Teorie důkazů vyrostla z David Hilbert ambiciózní program formalizace všech důkazů v matematice. Nejslavnější výsledek v oboru je zapouzdřen v Gödelovy věty o neúplnosti. Úzce související a nyní docela populární koncept je myšlenka Turingovy stroje. Konstruktivismus je následkem Brouwer neortodoxní pohled na podstatu samotné logiky; konstruktivně vzato, matematici nemohou tvrdit „Kruh je kulatý nebo není“, dokud kruh skutečně nevystavili a nezměřili jeho kulatost.
- Teorie modelů : Teorie modelu studuje matematické struktur v obecném rámci. Jeho hlavním nástrojem je logika prvního řádu.
- Teorie množin : A soubor lze považovat za kolekci odlišných věcí, které spojuje nějaký společný rys. Teorie množin je rozdělena do tří hlavních oblastí. Naivní teorie množin je původní teorie množin vyvinutá matematiky na konci 19. století. Axiomatická teorie množin je přísný axiomatický teorie vyvinutá v reakci na objev závažných nedostatků (jako např Russellův paradox ) v naivní teorii množin. Zachází se soubory jako s „čímkoli, co uspokojí axiomy“, a pojem sbírek věcí slouží pouze jako motivace pro axiomy. Teorie interních množin je axiomatické rozšíření teorie množin, které podporuje a logicky konzistentní identifikace neimitovaný (enormně velký) a infinitezimální (nepředstavitelně malé) prvky uvnitř reálná čísla. Viz také Seznam témat teorie množin.
Dějiny a životopis
Dějiny matematiky jsou neoddělitelně spjaty se samotným tématem. To je naprosto přirozené: matematika má vnitřní organickou strukturu, která odvozuje nové věty od těch, které přišly dříve. Jak každá nová generace matematiků staví na úspěších svých předků, předmět se sám rozšiřuje a roste v nových vrstvách, jako je cibule.
Rekreační matematika
Z magické čtverce do Mandelbrotova sada, čísla byla zdrojem zábavy a potěšení pro miliony lidí po celé věky. Mnoho důležitých oborů „seriózní“ matematiky má své kořeny v něčem, co bylo kdysi pouhou hádankou nebo hrou.
Teorie čísel
Teorie čísel je studium čísel a vlastností operací mezi nimi. Teorie čísel se tradičně zabývá vlastnostmi celá čísla, ale v poslední době se začal zabývat širšími třídami problémů, které přirozeně vznikly při studiu celých čísel.
- Aritmetický : Základní část teorie čísel, která se primárně zaměřuje na studium přirozená čísla, celá čísla, zlomky, a desetinná místa, stejně jako vlastnosti tradičních operací na nich: přidání, odčítání, násobení a divize. Až do 19. století aritmetický a teorie čísel byla synonyma, ale vývoj a růst pole vyústil v aritmetiku odkazující pouze na elementární větev teorie čísel.
- Základní teorie čísel: Studium celých čísel na vyšší úrovni než aritmetický, kde pojem „základní“ zde odkazuje na skutečnost, že nejsou použity žádné techniky z jiných matematických oborů.
- Teorie analytických čísel : Počet a komplexní analýza se používají jako nástroje ke studiu celých čísel.
- Algebraická teorie čísel : Techniky abstraktní algebra se používají ke studiu celých čísel a také algebraická čísla, kořeny polynomy s celým číslem koeficienty.
- Další podpole teorie čísel: Teorie geometrických čísel; kombinatorická teorie čísel; teorie transcendentních čísel; a výpočetní teorie čísel. Viz také seznam témat teorie čísel.
Algebra
Studium struktury začíná na čísla, nejprve známý přirozená čísla a celá čísla a jejich aritmetický operace, které jsou zaznamenány v elementární algebra. Hlubší vlastnosti těchto čísel jsou studovány v teorie čísel. Zkoumání metod řešení rovnic vede k oblasti abstraktní algebra, který mimo jiné studuje prsteny a pole, struktury, které zobecňují vlastnosti vlastněné každodenními čísly. Dlouhodobé otázky o kompas a pravítko stavby byly nakonec urovnány Galoisova teorie. Fyzicky důležitý koncept vektory, zobecněný na vektorové prostory, je studován v lineární algebra. Jsou studována témata společná všem druhům algebraických struktur univerzální algebra.
- Teorie objednávek : U jakýchkoli dvou odlišných reálných čísel musí být jedno větší než druhé. Teorie řádu rozšiřuje tuto myšlenku na množiny obecně. Zahrnuje pojmy jako mříže a objednal algebraické struktury. Viz také slovník teorie objednávek a seznam témat zakázky.
- Všeobecné algebraické systémy : Vzhledem k soubor lze definovat různé způsoby kombinování nebo spojování členů dané množiny. Pokud se budou řídit určitými pravidly, vytvoří se konkrétní algebraická struktura. Univerzální algebra je formálnější studium těchto struktur a systémů.
- Teorie pole a polynomy: Teorie pole studuje vlastnosti pole. Pole je matematická entita, pro kterou jsou sčítání, odčítání, násobení a dělení dobře definované. Polynom je výraz, ve kterém jsou konstanty a proměnné kombinovány pouze pomocí sčítání, odčítání a násobení.
- Komutativní prsteny a algebry : V teorie prstenů, větev abstraktní algebry, komutativní kruh je kruh, ve kterém se operace násobení řídí komutativní právo. To znamená, že pokud A a b jsou tedy jakékoli prvky prstenu A×b = b×A. Komutativní algebra je studijní obor komutativních kruhů a jejich ideály, moduly a algebry. Je to základní jak pro algebraická geometrie a pro algebraickou teorii čísel. Nejvýznamnější příklady komutativních prstenů jsou kroužky polynomů.
Kombinatorika
Combinatorics je studium konečných nebo diskrétních sbírek objektů, které splňují zadaná kritéria. Zejména jde o „počítání“ objektů v těchto sbírkách (enumerativní kombinatorika ) as rozhodnutím, zda existují určité „optimální“ objekty (extrémní kombinatorika ). To zahrnuje teorie grafů, který se používá k popisu propojených objektů (graf v tomto smyslu je síť nebo soubor propojených bodů). Viz také seznam témat kombinatoriky, seznam témat teorie grafů a glosář teorie grafů. A kombinatorická příchuť je přítomen v mnoha částech řešení problému.
Geometrie
Geometrie se zabývá prostorovými vztahy, využívá základní kvality nebo axiomy. Takové axiomy lze použít ve spojení s matematickými definicemi pro bodů, rovné čáry, křivky, povrchy a pevné látky k logickým závěrům. Viz také Seznam témat geometrie.
- Konvexní geometrie: Zahrnuje studium předmětů, jako jsou polytopes a mnohostěn. Viz také Seznam témat konvexity.
- Diskrétní geometrie a kombinatorická geometrie: Studium geometrických objektů a vlastností, které jsou oddělený nebo kombinační, buď svou povahou, nebo svým zastoupením. Zahrnuje studium tvarů, jako je Platonické pevné látky a pojem mozaikování.
- Diferenciální geometrie: Studium geometrie pomocí počtu. Velmi úzce souvisí s diferenciální topologie. Zahrnuje oblasti jako Riemannova geometrie, zakřivení a diferenciální geometrie křivek. Viz také glosář diferenciální geometrie a topologie.
- Algebraická geometrie: Vzhledem k polynomiální dvou skutečných proměnné body v rovině, kde je tato funkce nulová, vytvoří křivku. An algebraická křivka rozšiřuje tento pojem na polynomy nad a pole v daném počtu proměnných. Algebraickou geometrii lze považovat za studium těchto křivek. Viz také seznam témat algebraické geometrie a seznam algebraických povrchů.
- Skutečná algebraická geometrie: Studium semialgebraické množiny Skutečné: řešení čísel do algebraiky nerovnosti se skutečnými: číselnými koeficienty a mapováním mezi nimi.
- Aritmetická geometrie: Studium schémata konečného typu přes spektrum z kruh celých čísel. Alternativně je definována jako aplikace technik algebraické geometrie na problémy v teorie čísel.
- Diophantine geometrie: Studie bodů algebraické odrůdy se souřadnicemi v pole to nejsou algebraicky uzavřeno a vyskytují se v algebraická teorie čísel, například pole racionální čísla, počet polí, konečná pole, funkční pole, a str: adická pole, ale nezahrnuje reálná čísla.
Topologie
Zabývá se vlastnostmi figury, které se nemění, když je figura kontinuálně deformována. Hlavními oblastmi jsou topologie množiny bodů (nebo obecná topologie ), algebraická topologie a topologie rozdělovače, definované níže.
- Obecná topologie: Také zvaný topologie množiny bodů. Vlastnosti topologické prostory. Zahrnuje takové pojmy jako otevřeno a Zavřeno sady, kompaktní prostory, spojité funkce, konvergence, separační axiomy, metrické prostory, teorie dimenzí. Viz také glosář obecné topologie a seznam obecných témat topologie.
- Algebraická topologie: Vlastnosti algebraických objektů asociovaných s topologickým prostorem a způsob, jakým tyto algebraické objekty zachycují vlastnosti těchto prostorů. (Některé z těchto algebraických objektů jsou příklady funktory.) Obsahuje oblasti jako teorie homologie, teorie cohomologie, teorie homotopy, a homologická algebra. Homotopy se zabývá homotopické skupiny (včetně základní skupina ) stejně jako zjednodušené komplexy a CW komplexy (také zvaný buněčné komplexy). Viz také seznam témat algebraické topologie.
- Diferenciální topologie: Pole zabývající se diferencovatelné funkce na diferencovatelné potrubí, které lze považovat za n:dimenzionální zobecnění a povrch v obvyklém 3: dimenzionálním Euklidovský prostor.
Matematická analýza
Ve světě matematiky analýza je obor, který se zaměřuje na změnu: rychlosti změn, nahromaděné změny a více věcí, které se navzájem mění (nebo nezávisle na sobě).
Moderní analýza je rozsáhlé a rychle se rozvíjející odvětví matematiky, které se dotýká téměř každého dalšího členění oboru a nachází přímé i nepřímé aplikace v tak rozmanitých tématech teorie čísel, kryptografie, a abstraktní algebra. Je to také jazyk samotné vědy a je používán napříč chemie, biologie, a fyzika, z astrofyzika na X: rentgenová krystalografie.
Aplikovaná matematika
Pravděpodobnost a statistika
- Teorie pravděpodobnosti: Matematická teorie náhodný jevy. Studie teorie pravděpodobnosti náhodné proměnné a Události, což jsou matematické abstrakce non: deterministický události nebo měřené veličiny. Viz také Kategorie: teorie pravděpodobnostia seznam témat pravděpodobnosti.
- Stochastické procesy: Rozšíření teorie pravděpodobnosti, která studuje sbírky náhodných proměnných, jako např časové řady nebo prostorové procesy. Viz také Seznam témat stochastických procesů, a Kategorie: Stochastické procesy.
- Statistika: Věda o efektivním využívání numerických data z experimentů nebo z populací jednotlivců. Statistika zahrnuje nejen sběr, analýzu a interpretaci těchto údajů, ale také plánování shromažďování údajů, pokud jde o návrh průzkumy a experimenty. Viz také seznam statistických témat.
Výpočetní vědy
- Numerická analýza: Mnoho problémů z matematiky nelze obecně přesně vyřešit. Numerická analýza je studium iterační metody a algoritmy pro přibližné řešení problémů se zadanou chybou. Zahrnuje numerická diferenciace, numerická integrace a numerické metody; srov. vědecké výpočty. Viz také Seznam témat numerické analýzy.
- Počítačová algebra: Tato oblast se také nazývá symbolický výpočet nebo algebraický výpočet. Zabývá se přesným výpočtem, například s celými čísly libovolné velikosti, polynomy nebo prvky konečných polí. Zahrnuje také výpočet s nečíselnými matematickými objekty, jako je polynom ideály nebo série.
Matematická fyzika
- Klasická mechanika: Řeší a popisuje pohyb makroskopických objektů, od projektilů po části strojů a astronomických objektů, jako jsou kosmické lodě, planety, hvězdy a galaxie.
- Mechanika konstrukcí: Mechanika konstrukcí je studijní obor v rámci aplikovaná mechanika která zkoumá chování konstrukcí při mechanickém zatížení, jako je ohyb nosníku, vzpěr sloupu, kroucení hřídele, průhyb tenkého pláště a vibrace mostu.
- Mechanika deformovatelných pevných látek: Nejreálnější: objekty světa nejsou bodové: jako ani dokonale tuhé. Ještě důležitější je, že objekty při působení sil mění tvar. Toto téma se velmi silně překrývá s mechanika kontinua, která se zabývá spojitou hmotou. Zabývá se takovými pojmy jako stres, kmen a pružnost.
- Mechanika tekutin: Kapaliny v tomto smyslu zahrnuje nejen kapaliny, ale plynulý plyny, a dokonce pevné látky za určitých situací. (Například suché písek se může chovat jako tekutina). Zahrnuje takové pojmy jako viskozita, turbulentní proudění a laminární proudění (jeho opak).
- Mechanika částic: V matematice, a částice je bod: jako, dokonale tuhý, pevný předmět. Mechanika částic se zabývá výsledky vystavení částic silám. To zahrnuje nebeská mechanika —Studium pohybu nebeských objektů.
Další aplikovaná matematika
- Operační výzkum (OR): OR, známý také jako operační výzkum, poskytuje optimální nebo téměř optimální řešení složitých problémů. NEBO použití matematické modelování, Statistická analýza, a matematická optimalizace.
- Matematické programování: Matematické programování (nebo matematická optimalizace) minimalizuje (nebo maximalizuje) skutečnou hodnotu v doméně, která je často specifikována omezeními proměnných. Matematické programování tyto problémy studuje a rozvíjí se iterační metody a algoritmy za jejich řešení.
Viz také
Poznámky
- ^ Například Encyklopedie Britannica Jedenácté vydání seskupuje své články z matematiky jako Čisté, aplikované a biografie.
externí odkazy
- Divize matematiky [z webového archivu; Poslední úprava 25. 1. 2006]