Hlavní balíček - Principal bundle

v matematika, a hlavní balíček^[1]^[2]^[3]^[4] je matematický objekt, který formalizuje některé základní rysy kartézský součin $X \times G$ prostoru $X$ s skupina $G$ . Stejným způsobem jako u karteziánského součinu hlavní balíček $P$ je vybaven

An akce z $G$ na $P$ , analogicky k $(X, G) h = (X, gh)$ pro produktový prostor.
Projekce na $X$ . Pro produktový prostor je to jen projekce na první faktor, $(X, G) \mapsto X$ .

Na rozdíl od produktového prostoru chybí hlavním svazkům preferovaný výběr průřezu identity; nemají žádný preferovaný analog $(X, E)$ . Stejně tak obecně neexistuje projekce na $G$ zobecnění projekce na druhý faktor, $X \times G \to G$ který existuje pro kartézský součin. Mohou mít také komplikované topologie což jim brání v realizaci jako produktového prostoru, i když je učiněno několik libovolných možností, jak se pokusit definovat takovou strukturu tak, že ji definujeme na menších částech prostoru.

Běžným příkladem hlavního svazku je svazek rámů $F(E)$ a vektorový svazek $E$ , který se skládá ze všech objednaných základny vektorového prostoru připojeného ke každému bodu. Skupina $G$ v tomto případě je obecná lineární skupina, který jedná vpravo obvyklým způsobem: od změny základu. Protože neexistuje žádný přirozený způsob, jak zvolit uspořádaný základ vektorového prostoru, postrádá svazek rámců kanonický výběr průřezu identity.

Hlavní balíčky mají důležité aplikace v topologie a diferenciální geometrie a matematické teorie měřidel. Rovněž našli uplatnění v fyzika kde tvoří součást základního fyzického rámce měřicí teorie.

Formální definice

Ředitel $G$ -bundle, kde $G$ označuje jakékoli topologická skupina, je svazek vláken $π : P \to X$ společně s a kontinuální správná akce $P \times G \to P$ takhle $G$ zachovává vlákna $P$ (tj. pokud $y \in P X$ pak $yg \in P X$ pro všechny $G \in G$ ) a jedná volně a přechodně (tj. pravidelně) na nich tak, aby pro každého $X \inX$ a $y \inP X$ , mapa $G \to P X$ odesílání $G$ na $yg$ je homeomorfismus. Zejména každé vlákno svazku je pro skupinu homeomorfní $G$ sám. Jeden často vyžaduje základní prostor $X$ být Hausdorff a možná paracompact.

Vzhledem k tomu, že skupinová akce zachovává vlákna $π : P \to X$ a jedná tranzitivně, z toho vyplývá, že oběžné dráhy z $G$ -akce jsou právě tato vlákna a orbitální prostor $P / G$ je homeomorfní do základního prostoru $X$ . Protože akce je volná, vlákna mají strukturu G-torory. A $G$ -toror je prostor, který je homeomorfní $G$ ale postrádá skupinovou strukturu, protože neexistuje preferovaná volba souboru prvek identity.

Ekvivalentní definice jistiny $G$ -bundle je jako $G$ - svazek $π : P \to X$ s vláknem $G$ kde skupina struktury působí na vlákno levým násobením. Od správného násobení $G$ na vláknu dojíždějícím za působení skupiny struktur existuje invariantní představa o správném násobení pomocí $G$ na $P$ . Vlákna z $π$ pak se staňte správnými $G$ -torory pro tuto akci.

Výše uvedené definice platí pro libovolné topologické prostory. Lze také definovat jistinu $G$ - svazky v kategorie z hladké potrubí. Tady $π : P \to X$ musí být a hladká mapa mezi hladkými potrubími, $G$ musí být a Lež skupina a odpovídající akce na $P$ by měl být hladký.

Příklady

Prototypickým příkladem hladkého hlavního svazku je svazek rámů hladkého potrubí $M$ , často označován $F M$ nebo $GL (M)$ . Zde vlákno přes bod $X \in M$ je sada všech rámců (tj. uspořádaných základen) pro tečný prostor $T X M$ . The obecná lineární skupina $GL (n, ℝ)$ na tyto rámce působí svobodně a přechodně. Tato vlákna mohou být slepena dohromady přirozeným způsobem, aby se získal princip $GL (n, ℝ)$ - svazek znovu $M$ .
Varianty výše uvedeného příkladu zahrnují orthonormal frame bundle a Riemannovo potrubí. Zde musí být rámečky ortonormální s respektem k metrický. Skupina struktury je ortogonální skupina $Ó(n)$ . Příklad funguje také pro svazky jiné než tečný svazek; -li $E$ je libovolný vektorový svazek hodnosti $k$ přes $M$ , pak svazek rámců $E$ je jistina $GL (k, ℝ)$ - svazek, někdy označovaný $F(E)$ .
Normální (normální) pokrývající prostor $p : C \to X$ je hlavní svazek, kde je skupina struktur

{ displaystyle G = pi _ {1} (X) / p _ {*} ( pi _ {1} (C))}

působí na vlákna

p

přes monodromy akce. Zejména univerzální kryt z

X

je hlavní balíček

X

se strukturní skupinou

π 1 (X)

(protože univerzální kryt je jednoduše připojen a tak

π 1 (C)

je triviální).

Nechat $G$ být skupina Lie a nechat $H$ být uzavřenou podskupinou (ne nutně normální ). Pak $G$ je jistina $H$ -bundle přes (vlevo) cosetový prostor $G / H$ . Tady akce $H$ na $G$ je správné násobení. Vlákna jsou levými kosety $H$ (v tomto případě existuje rozlišující vlákno, vlákno obsahující identitu, která je přirozeně izomorfní $H$ ).
Zvažte projekci $π : S 1 \to S 1$ dána $z \mapsto z 2$ . Tento principál $ℤ 2$ -bundle je přidružený balíček z Möbiusův proužek. Kromě triviálního svazku je to jediný principál $ℤ 2$ -bundle přes $S 1$ .
Projektivní prostory poskytnout několik zajímavějších příkladů hlavních balíčků. Připomeňme, že $n$ -koule $S n$ je dvojí krycí prostor skutečný projektivní prostor $ℝℙ n$ . Přirozené působení $O (1)$ na $S n$ dává mu strukturu jistiny $O (1)$ -bundle přes $ℝℙ n$ . Rovněž, $S 2 n +1$ je jistina $U (1)$ -bundle přes složitý projektivní prostor $ℂℙ n$ a $S 4 n +3$ je jistina $Sp (1)$ -bundle přes kvaternionový projektivní prostor $ℍℙ n$ . Pak máme řadu hlavních svazků pro každé kladné $n$ :

{ displaystyle { mbox {O}} (1) to S ( mathbb {R} ^ {n + 1}) to mathbb {RP} ^ {n}}

{ displaystyle { mbox {U}} (1) to S ( mathbb {C} ^ {n + 1}) to mathbb {CP} ^ {n}}

{ displaystyle { mbox {Sp}} (1) to S ( mathbb {H} ^ {n + 1}) to mathbb {HP} ^ {n}.}

Tady

S (PROTI)

označuje jednotkovou sféru v

PROTI

(vybaven euklidovskou metrikou). U všech těchto příkladů

n = 1

případy dávají tzv Hopf svazky.

Základní vlastnosti

Trivializace a průřezy

Jednou z nejdůležitějších otázek týkajících se jakéhokoli svazku vláken je, zda je nebo není triviální, tj. je izomorfní se svazkem produktu. Pro hlavní svazky existuje pohodlná charakterizace triviality:

Tvrzení. Principální balíček je triviální právě tehdy, když připouští globální průřez.

Totéž neplatí pro ostatní svazky vláken. Například, Vektorové svazky vždy mají nulovou část, ať už jsou triviální nebo ne, a koule svazky může připustit mnoho globálních sekcí, aniž by to bylo triviální.

Totéž platí pro místní trivializace hlavních svazků. Nechat $π : P \to X$ být jistinou $G$ - svazek. An otevřená sada $U$ v $X$ připouští lokální bagatelizaci právě tehdy, pokud existuje lokální sekce na $U$ . Vzhledem k místní bagatelizaci

{ displaystyle Phi: pi ^ {- 1} (U) až U krát G}

lze definovat přidruženou místní sekci

{ displaystyle s: U až pi ^ {- 1} (U); s (x) = Phi ^ {- 1} (x, e) ,}

kde $E$ je identita v $G$ . Naopak, vzhledem k sekci $s$ jeden definuje bagatelizaci $Φ$ podle

{ displaystyle Phi ^ {- 1} (x, g) = s (x) cdot g.}

Jednoduchá tranzitivita $G$ působení na vlákna $P$ zaručuje, že tato mapa je a bijekce, je to také a homeomorfismus. Místní trivializace definované místními oddíly jsou $G$ -ekvivariant v následujícím smyslu. Pokud píšeme

{ displaystyle Phi: pi ^ {- 1} (U) až U krát G}

ve formě

{ displaystyle Phi (p) = ( pi (p), varphi (p)),}

pak mapa

{ displaystyle varphi: P až G}

splňuje

{ displaystyle varphi (p cdot g) = varphi (p) g.}

Ekvivariantní trivializace proto zachovávají $G$ -toror nebo struktura vláken. Z hlediska přidružené místní sekce $s$ mapa $φ$ darováno

{ displaystyle varphi (s (x) cdot g) = g.}

Místní verze věty o průřezu pak uvádí, že ekvivariantní místní trivializace hlavního svazku jsou v korespondenci jedna s druhou s místními oddíly.

Vzhledem k ekvivariantní místní trivializaci $({U i}, {Φ i})$ z $P$ , máme místní sekce $s i$ na každém $U i$ . Při překrývání musí být tyto spojeny působením skupiny struktur $G$ . Ve skutečnosti tento vztah poskytuje přechodové funkce

{ displaystyle t_ {ij} = U_ {i} čepice U_ {j} až G ,}

Pro všechny $X \in U i \cap U j$ my máme

{ displaystyle s_ {j} (x) = s_ {i} (x) cdot t_ {ij} (x).}

Charakterizace hladkých hlavních svazků

Li π : P → X je hladký jistina G-pak balíček G jedná svobodně a správně na P tak, aby obíhal prostor P/G je difeomorfní do základního prostoru X. Ukazuje se, že tyto vlastnosti zcela charakterizují hladké hlavní svazky. To je, pokud P je hladké potrubí, G skupina Lie a μ : P × G → P hladký, bezplatný a správný správný postup

P/G je hladké potrubí,
přirozená projekce π : P → P/G je hladký ponoření, a
P je hladký jistina G-bundle přes P/G.

Použití pojmu

Redukce skupiny struktur

Vzhledem k podskupině H z G jeden může zvážit balíček ${ displaystyle P / H}$ jejichž vlákna jsou homeomorfní vůči cosetový prostor ${ displaystyle G / H}$ . Pokud nový balíček připouští globální sekci, pak se říká, že tato sekce je a redukce skupiny struktur z G na H. Důvodem pro toto jméno je, že (vláknový) inverzní obraz hodnot v této části tvoří podskupinu P to je jistina H- svazek. Li H je identita, pak část P samo o sobě je redukcí skupiny struktur na identitu. Redukce skupiny struktur obecně neexistují.

Mnoho topologických otázek o struktuře potrubí nebo struktuře svazků nad ním, které jsou spojeny s jistinou G-bundle lze přeformulovat jako otázky týkající se přípustnosti redukce skupiny struktur (od G na H). Například:

A 2n-rozměrné skutečné potrubí připouští téměř složitá struktura pokud svazek rámů na potrubí, jehož vlákna jsou ${ displaystyle GL (2n, mathbb {R})}$ , lze zredukovat na skupinu ${ displaystyle mathrm {GL} (n, mathbb {C}) subseteq mathrm {GL} (2n, mathbb {R})}$ .
An n-rozměrné skutečné potrubí připouští a k-rovinné pole, pokud lze svazek rámů zredukovat na skupinu struktur ${ displaystyle mathrm {GL} (k, mathbb {R}) subseteq mathrm {GL} (n, mathbb {R})}$ .
Rozdělovač je orientovatelný právě tehdy, pokud lze jeho svazek rámců zmenšit na speciální ortogonální skupina, ${ displaystyle mathrm {SO} (n) subseteq mathrm {GL} (n, mathbb {R})}$ .
Rozdělovač má spinová struktura právě když lze jeho svazek rámců dále zmenšit z ${ displaystyle mathrm {SO} (n)}$ na ${ displaystyle mathrm {točit} (n)}$ the Spin skupina, která mapuje do ${ displaystyle mathrm {SO} (n)}$ jako dvojitý kryt.

Poznámka: an n-rozměrné potrubí připouští n vektorová pole, která jsou lineárně nezávislá v každém bodě právě tehdy, pokud jsou svazek rámů připouští globální sekci. V tomto případě se nazývá potrubí paralelizovatelný.

Přidružené vektorové svazky a rámečky

Li P je jistina G- svazek a PROTI je lineární reprezentace z G, pak lze sestrojit vektorový svazek ${ displaystyle E = P krát _ {G} V}$ s vláknem PROTI, jako podíl produktu P×PROTI úhlopříčným působením G. Toto je zvláštní případ přidružený balíček konstrukce a E se nazývá přidružený vektorový svazek na P. Pokud je zastoupení G na PROTI je věřící, aby G je podskupina obecné lineární skupiny GL (PROTI), pak E je G- svazek a P poskytuje redukci skupiny struktur svazku rámců E od GL (PROTI) až G. To je smysl, ve kterém hlavní svazky poskytují abstraktní formulaci teorie rámcových svazků.

Klasifikace hlavních svazků

Libovolná topologická skupina $G$ připouští a třídicí prostor $BG$ : kvocient podle akce $G$ některých slabě smluvní prostor $NAPŘ$ , tj. topologický prostor s mizejícím homotopické skupiny. Klasifikační prostor má vlastnost jakoukoli $G$ hlavní balíček nad a paracompact potrubí B je izomorfní s a zarazit hlavního svazku $NAPŘ \to BG$ .^[5] Ve skutečnosti platí více, protože množina tříd izomorfismu jistiny $G$ svazky přes základnu $B$ identifikuje se sadou tříd homotopy map $B \to BG$ .

Viz také

Reference

^ Steenrod, Norman (1951). Topologie svazků vláken. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6. strana 35
^ Husemoller, Dale (1994). Svazky vláken (Třetí vydání.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8. strana 42
^ Sharpe, R. W. (1997). Diferenciální geometrie: Cartanovo zobecnění Kleinova programu Erlangen. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9. strana 37
^ Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometrie točení. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. strana 370
^ Stasheff, James D. (1971), "H-prostory a klasifikace prostorů: základy a poslední vývoj ", Algebraická topologie (Proc. Sympos. Pure Math., Sv. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970)„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 247–272Věta 2

Zdroje

Bleecker, David (1981). Teorie měřidla a variační principy. Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-486-44546-1.
Jost, Jürgen (2005). Riemannova geometrie a geometrická analýza ((4. vyd.) Vyd.). New York: Springer. ISBN 3-540-25907-4.
Husemoller, Dale (1994). Svazky vláken (Třetí vydání.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
Sharpe, R. W. (1997). Diferenciální geometrie: Cartanovo zobecnění Kleinova programu Erlangen. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
Steenrod, Norman (1951). Topologie svazků vláken. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.

[1] Steenrod, Norman (1951). Topologie svazků vláken. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6. strana 35

[2] Husemoller, Dale (1994). Svazky vláken (Třetí vydání.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8. strana 42

[3] Sharpe, R. W. (1997). Diferenciální geometrie: Cartanovo zobecnění Kleinova programu Erlangen. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9. strana 37

[4] Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometrie točení. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. strana 370

[5] Stasheff, James D. (1971), "H-prostory a klasifikace prostorů: základy a poslední vývoj ", Algebraická topologie (Proc. Sympos. Pure Math., Sv. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970)„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 247–272Věta 2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]