Finsler potrubí - Finsler manifold

v matematika, zejména diferenciální geometrie, a Finsler potrubí je diferencovatelné potrubí $M$ kde a (možná asymetrický ) Minkowski funkční $F (X,-)$ je k dispozici na každém tangenciálním prostoru $T X M$ , což umožňuje definovat délku libovolného hladká křivka $y : [A, b] \to M$ tak jako

{ displaystyle L ( gamma) = int _ {a} ^ {b} F ( gamma (t), { dot { gamma}} (t)) , mathrm {d} t.}

Finsler potrubí jsou obecnější než Riemannovy rozdělovače protože tečné normy nemusí být vyvolány vnitřní výrobky.

Každé potrubí Finsler se stává vnitřní kvazimetrický prostor když je vzdálenost mezi dvěma body definována jako minimální délka křivek, které je spojují.

Élie Cartan (1933 ) pojmenovaný Finsler manifolds po Paul Finsler, který tuto geometrii studoval ve své disertační práci (Finsler 1918 ).

Definice

A Finsler potrubí je diferencovatelné potrubí $M$ společně s a Finslerova metrika, což je spojitá nezáporná funkce $F : T M \to[0,+\infty)$ definované na tečný svazek takže pro každý bod $X$ z $M$ ,

$F (proti + w) \leq F (proti) + F (w)$ pro každé dva vektory $proti, w$ tečna k $M$ na $X$ (subadditivita ).
$F (λ proti) = λ F (proti)$ pro všechny $λ \geq 0$ (ale ne nutně pro $λ <0)$ (pozitivní homogenita ).
$F (proti) > 0$ ledaže $proti = 0$ (pozitivní definitivnost ).

Jinými slovy, $F (X,-)$ je asymetrická norma na každém tangenciálním prostoru $T X M$ . Finslerova metrika $F$ je také nutné být hladký, přesněji:

$F$ je hladký na doplnění nulové části $T M$ .

Subadditivní axiom může být poté nahrazen následujícím silný stav konvexnosti:

Pro každý tečný vektor $proti \neq 0$ , Hesenská matice z $F 2$ na $proti$ je pozitivní určitý.

Tady Hessian z $F 2$ na $proti$ je symetrický bilineární forma

{ displaystyle mathbf {g} _ {v} (X, Y): = { frac {1} {2}} vlevo. { frac { částečné ^ {2}} { částečné s částečné t }} left [F (v + sX + tY) ^ {2} right] right | _ {s = t = 0},}

také známý jako základní tenzor z $F$ na $proti$ . Silná konvexnost implikuje subadditivitu s přísnou nerovností, pokud $ u ⁄ F (u) \neq proti ⁄ F (proti)$ . Li $F$ je silně konvexní, pak je a Minkowského norma na každém tangenciálním prostoru.

Finslerova metrika je reverzibilní pokud navíc

$F (- proti) = F (proti)$ pro všechny tangenciální vektory proti.

Reverzibilní Finslerova metrika definuje a norma (v obvyklém smyslu) na každém tangenciálním prostoru.

Příklady

Hladké dílčí potrubí (včetně otevřených podmnožin) a normovaný vektorový prostor konečné dimenze jsou Finslerovy potrubí, pokud je norma vektorového prostoru hladká mimo počátek.
Riemannovy rozdělovače (ale ne pseudoriemanianské rozdělovače ) jsou speciální případy Finslerových potrubí.

Randersova potrubí

Nechat ${ displaystyle (M, a)}$ být Riemannovo potrubí a b A diferenciální jedna forma na M s

{ displaystyle | b | _ {a}: = { sqrt {a ^ {ij} b_ {i} b_ {j}}} <1,}

kde ${ displaystyle (a ^ {ij})}$ je inverzní matice z ${ displaystyle (a_ {ij})}$ a Einsteinova notace se používá. Pak

{ displaystyle F (x, v): = { sqrt {a_ {ij} (x) v ^ {i} v ^ {j}}} + b_ {i} (x) v ^ {i}}

definuje a Randersova metrika na M a ${ displaystyle (M, F)}$ je Randers potrubí, speciální případ nevratného Finslerova potrubí.^[1]

Hladké kvazimetrické prostory

Nechť (M,d) být a kvazimetrický aby M je také a diferencovatelné potrubí a d je kompatibilní s diferenciální struktura z M v následujícím smyslu:

V jakémkoli bodě z na M existuje plynulý graf (U, φ) z M a konstanta C ≥ 1 takový, že pro každého X,y ∈ U

{ displaystyle { frac {1} {C}} | phi (y) - phi (x) | leq d (x, y) leq C | phi (y) - phi ( x) |.}

Funkce d : M × M → [0, ∞] je hladký v nějakém propíchnutém sousedství úhlopříčky.

Pak lze definovat Finslerovu funkci F : TM → [0, ∞] podle

{ displaystyle F (x, v): = lim _ {t až 0 +} { frac {d ( gamma (0), gamma (t))} {t}},}

kde y je libovolná křivka v M s y(0) = X a γ '(0) = v. Finslerova funkce F získaný tímto způsobem omezuje na asymetrickou (obvykle ne Minkowského) normu pro každý tečný prostor M. The indukovaná vnitřní metrika d_L: M × M → [0, ∞] originálu kvazimetrický lze obnovit z

{ displaystyle d_ {L} (x, y): = inf left { left. int _ {0} ^ {1} F ( gamma (t), { dot { gamma}} (t)) , dt doprava | gamma v C ^ {1} ([0,1], M) , gamma (0) = x , gamma (1) = y že jo},}

a ve skutečnosti libovolná funkce Finsler F : TM → [0, ∞) definuje vnitřní kvazimetrický d_L na M podle tohoto vzorce.

Geodetika

Kvůli homogenitě F délka

{ displaystyle L [ gamma]: = int _ {a} ^ {b} F ( gamma (t), { dot { gamma}} (t)) , dt}

a diferencovatelná křivka y:[A,b]→M v M je invariantní při pozitivně orientované reparametrizace. Křivka konstantní rychlosti y je geodetické Finslerova potrubí, pokud má dostatečně krátké segmenty y|_[C,d] jsou minimalizující délku v M z y(C) až y(d). Ekvivalentně y je geodetická, pokud je pro energetickou funkci stacionární

{ displaystyle E [ gamma]: = { frac {1} {2}} int _ {a} ^ {b} F ^ {2} ( gamma (t), { dot { gamma}} (t)) , dt}

v tom smyslu, že jeho funkční derivace mizí mezi diferencovatelnými křivkami y:[A,b]→M s pevnými koncovými body y(A)=X a y(b)=y.

Kanonická struktura stříkání na potrubí Finsler

The Euler-Lagrangeova rovnice pro energii funkční E[y] načte v místních souřadnicích (X¹,...,Xⁿ,proti¹,...,protiⁿ) z TM tak jako

{ displaystyle g_ {ik} { Big (} gamma (t), { dot { gamma}} (t) { Big)} { ddot { gamma}} ^ {i} (t) + left ({ frac { částečné g_ {ik}} { částečné x ^ {j}}} { Big (} gamma (t), { dot { gamma}} (t) { Big) } - { frac {1} {2}} { frac { parciální g_ {ij}} { parciální x ^ {k}}} { Big (} gamma (t), { dot { gamma }} (t) { Big)} right) { dot { gamma}} ^ {i} (t) { dot { gamma}} ^ {j} (t) = 0,}

kde k=1,...,n a G_ij je souřadnicová reprezentace základního tenzoru, definovaná jako

{ displaystyle g_ {ij} (x, v): = g_ {v} vlevo ({ tfrac { částečné} { částečné x ^ {i}}} { velký |} _ {x}, { tfrac { částečné} { částečné x ^ {j}}} { velké |} _ {x} vpravo).}

Za předpokladu, že silná konvexnost z F²(x, v) s ohledem na proti∈T_XMmatice G_ij(X,proti) je invertibilní a jeho inverzní je označen G^ij(X,proti). Pak y:[A,b]→M je geodetika (M,F) právě tehdy, když je jeho tečná křivka γ ':[A,b]→TM \0 je integrální křivka z hladké vektorové pole H na TM 0 místně definováno

{ displaystyle H | _ {(x, v)}: = v ^ {i} { tfrac { částečné} { částečné x ^ {i}}} { velké |} _ {(x, v)} - 2G ^ {i} (x, v) { tfrac { částečné} { částečné v ^ {i}}} { velké |} _ {(x, v)},}

kde jsou místní postřikové koeficienty Gⁱ jsou dány

{ displaystyle G ^ {i} (x, v): = { frac {g ^ {ij} (x, v)} {4}} vlevo (2 { frac { částečný g_ {jk}} { částečné x ^ { ell}}} (x, v) - { frac { částečné g_ {k ell}} { částečné x ^ {j}}} (x, v) vpravo) v ^ { k} v ^ { ell}.}

Vektorové pole H na TM/ 0 vyhovuje JH = PROTI a [PROTI,H] = H, kde J a PROTI jsou kanonický endomorfismus a kanonické vektorové pole na TM 0. Z definice tedy H je sprej naM. Sprej H definuje a nelineární spojení na svazek vláken TM \0 → M skrz vertikální projekce

{ displaystyle v: T (TM setminus 0) až T (TM setminus 0) quad; quad v: = { tfrac {1} {2}} { big (} I + { mathcal {L }} _ {H} J { big)}.}

Analogicky s Riemannian v případě, že existuje verze

{ displaystyle D _ { dot { gamma}} D _ { dot { gamma}} X (t) + R _ { dot { gamma}} ({ dot { gamma}} (t), X ( t)) = 0}

z Jacobiho rovnice pro obecnou strukturu stříkání (M,H) ve smyslu Ehresmann zakřivení anelineární kovariantní derivace.

Jedinečnost a minimalizace vlastností geodetiky

Podle Hopf – Rinowova věta vždy existují křivky minimalizující délku (alespoň v dostatečně malých čtvrtích) na (M, F). Křivky minimalizující délku lze vždy pozitivně změnit na geodetiku a jakákoli geodetika musí splňovat Euler-Lagrangeovu rovnici pro E[y]. Za předpokladu silné konvexnosti F² existuje jedinečná maximální geodetika y s y(0) = x a γ '(0) = v pro libovolné (X, proti) ∈ TM 0 jedinečností integrální křivky.

Li F² je silně konvexní, geodetické y : [0, b] → M minimalizují délku mezi blízkými křivkami až do prvního bodu y(s) sdružené na y(0) spolu y, a pro t > s vždy existují kratší křivky od y(0) až y(t) blízko y, jako v Riemannian případ.

Poznámky

^ Randers, G. (1941). „Na asymetrické metrice ve čtyřprostoru obecné relativity“. Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi:10.1103 / PhysRev.59.195. hdl:10338.dmlcz / 134230.

Reference

Antonelli, Peter L., vyd. (2003), Příručka Finslerovy geometrie. Sv. 1, 2, Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1, PAN 2067663
Bao, David; Chern, Shiing-Shen; Shen, Zhongmin (2000). Úvod do geometrie Riemann – Finsler. Postgraduální texty z matematiky. 200. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. PAN 1747675.
Cartan, Élie (1933), „Sur les espaces de Finsler“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 196: 582–586, Zbl 0006.22501
Chern, Shiing-Shen (1996), „Finslerova geometrie je jen Riemannova geometrie bez kvadratického omezení“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 43 (9): 959–63, PAN 1400859
Finsler, Paul (1918), Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen„Dizertační práce, Göttingen, JFM 46.1131.02 (Přetištěno Birkhäuserem (1951))
Rund, Hanno (1959). Diferenciální geometrie Finslerových prostorů. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101. Berlín – Göttingen – Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN 978-3-642-51612-2. PAN 0105726.
Shen, Zhongmin (2001). Přednášky o Finslerově geometrii. Singapur: World Scientific. doi:10.1142/4619. ISBN 981-02-4531-9. PAN 1845637.

externí odkazy

"Finslerův prostor, zobecněný", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
(Nový) zpravodaj společnosti Finsler

[1] Randers, G. (1941). „Na asymetrické metrice ve čtyřprostoru obecné relativity“. Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi:10.1103 / PhysRev.59.195. hdl:10338.dmlcz / 134230.

[1]