Integrovaná geometrie - Integral geometry

v matematika, integrální geometrie je teorie opatření na geometrickém prostoru neměnném pod skupina symetrie toho prostoru. V novější době byl význam rozšířen o pohled na invariant (nebo ekvivariant ) transformace z prostoru funkcí v jednom geometrickém prostoru do prostoru funkcí v jiném geometrickém prostoru. Takové transformace mají často podobu integrální transformace tak jako Radonová transformace a jeho zobecnění.

Klasický kontext

Integrovaná geometrie jako taková se poprvé objevila jako pokus o upřesnění určitých tvrzení teorie geometrické pravděpodobnosti. Počáteční dílo Luis Santaló[1] a Wilhelm Blaschke[2] byl v této souvislosti. Vyplývá to z klasická Croftonova věta vyjadřující délka letadla křivka jako očekávání počtu křižovatek s a náhodný čára. Zde je třeba slovo „náhodný“ interpretovat tak, že podléhá správným úvahám o symetrii.

Existuje ukázkový prostor řádků, z nichž jeden je afinní skupina letadla působí. A míra pravděpodobnosti je hledán v tomto prostoru, neměnný pod skupinou symetrie. Pokud, jako v tomto případě, můžeme najít jedinečnou takovou invariantní míru, pak to vyřeší problém přesné formulace toho, co znamená „náhodná čára“, a očekávání se stanou integrály s ohledem na tuto míru. (Všimněte si například, že frázi „náhodný akord kruhu“ lze použít ke konstrukci některých paradoxy -například Bertrandův paradox.)

Můžeme tedy říci, že integrální geometrie v tomto smyslu je aplikace teorie pravděpodobnosti (jak axiomatizováno Kolmogorov ) v kontextu Program Erlangen z Klein. Obsahem teorie je fakticky invariantní (plynulé) míry na (nejlépe kompaktní ) homogenní prostory z Lež skupiny; a hodnocení integrálů diferenciální formy.[3]

Velmi oslavovaným případem je problém Buffonova jehla: položte jehlu na podlahu z prken a spočítejte pravděpodobnost, že jehla leží přes trhlinu. Obecně je tato teorie aplikována na různé stochastické procesy zabývající se geometrickými a incidenčními otázkami. Vidět stochastická geometrie.

Jednou z nejzajímavějších vět v této formě integrální geometrie je Hadwigerova věta v euklidovském prostředí. Následně byly věty typu Hadwiger založeny v různých prostředích, zejména v hermitovské geometrii, pomocí pokročilých nástrojů od teorie ocenění.

Novější význam integrální geometrie je to z Sigurdur Helgason[4][5] a Izrael Gelfand.[6] Zabývá se konkrétněji integrálními transformacemi podle vzoru Radonová transformace. Zde je vztah geometrického dopadu (body ležící na řádcích, v případě Croftona) viděn ve volnějším světle, protože místo pro integrální transformaci složené jako odvolání do grafu dopadu a pak tlačit kupředu.

Poznámky

  1. ^ Luis Santaló (1953) Úvod do integrální geometrie, Hermann (Paříž)
  2. ^ Wilhelm Blaschke (1955) Vorlesungen über Integralgeometrie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
  3. ^ Luis Santaló (1976) Integrovaná geometrie a geometrická pravděpodobnost, Addison Wesley ISBN  0201135000
  4. ^ Sigurdur Helgason (2000) Skupiny a geometrická analýza: integrální geometrie, invariantní diferenciální operátory a sférické funkce, Americká matematická společnost ISBN  0821826735
  5. ^ Sigurdur Helgason (2011) Integrovaná geometrie a radonové transformaceSpringer, ISBN  9781441960542
  6. ^ I.M.Gel'fand (2003) Vybraná témata v integrální geometrii, Americká matematická společnost ISBN  0821829327

Reference