Hamiltonovský systém - Hamiltonian system
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Listopadu 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
A Hamiltonovský systém je dynamický systém řízené Hamiltonovy rovnice. v fyzika, tento dynamický systém popisuje vývoj a fyzický systém jako a planetární systém nebo elektron v elektromagnetické pole. Tyto systémy lze studovat v obou Hamiltoniánská mechanika a teorie dynamických systémů.
Přehled
Hamiltonův systém je neformálně matematický formalismus vyvinutý společností Hamilton popsat evoluční rovnice fyzického systému. Výhodou tohoto popisu je, že poskytuje důležité informace o dynamice, i když problém počáteční hodnoty nelze vyřešit analyticky. Jedním příkladem je planetární pohyb tří těles: i když neexistuje jednoduché řešení obecného problému, Poincaré poprvé ukázal, že vystavuje deterministický chaos.
Formálně je Hamiltonovský systém dynamický systém zcela popsaný skalární funkcí , Hamiltonian.[1] Stav systému, , je popsán v zobecněné souřadnice 'hybnost' a 'pozice' kde oba a jsou vektory se stejnou dimenzíN. Systém je tedy zcela popsán v 2N-dimenzionální vektor
a evoluční rovnice je dáno Hamiltonovými rovnicemi:
Trajektorie je řešením problém počáteční hodnoty definované Hamiltonovými rovnicemi a počáteční podmínkou .
Časově nezávislý Hamiltonovský systém
Pokud Hamiltonián není výslovně závislý na čase, tj. Pokud , pak se Hamiltonian vůbec nemění s časem:[1]
derivace |
a tedy Hamiltonian je a konstanta pohybu, jehož konstanta se rovná celkové energii systému, . Příklady takových systémů jsou kyvadlo, harmonický oscilátor nebo dynamický kulečník.
Příklad
Jedním příkladem časově nezávislého hamiltonovského systému je harmonický oscilátor. Zvažte systém definovaný souřadnicemi a jehož Hamiltonian je dán
Hamiltonián tohoto systému nezávisí na čase, a proto je energie systému zachována.
Symplektická struktura
Jednou z důležitých vlastností hamiltonovského dynamického systému je, že má a symplektická struktura.[1] Psaní
evoluční rovnici dynamického systému lze zapsat jako
kde
a JáN the N×N matice identity.
Jedním důležitým důsledkem této vlastnosti je zachování nekonečně malého objemu fázového prostoru.[1] Důsledkem toho je Liouvilleova věta, který uvádí, že na Hamiltonovském systému je objem fázového prostoru uzavřeného povrchu zachován v průběhu času.[1]
kde třetí rovnost pochází z věta o divergenci.
Příklady
Viz také
Reference
Další čtení
- Almeida, A. M. (1992). Hamiltonovské systémy: chaos a kvantizace. Cambridge monografie o matematické fyzice. Cambridge (USA: Cambridge Univ. lis )
- Audin, M., (2008). Hamiltonovské systémy a jejich integrovatelnost. Providence, R.I: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-4413-7
- Dickey, L. A. (2003). Solitonovy rovnice a Hamiltonovské systémy. Pokročilá řada z matematické fyziky, v. 26. River Edge, NJ: World Scientific.
- Treschev, D., & Zubelevich, O. (2010). Úvod do teorie narušení hamiltonovských systémů. Heidelberg: Springer
- Zaslavsky, G. M. (2007). Fyzika chaosu v Hamiltonových systémech. Londýn: Imperial College Press.
externí odkazy
- James Meiss (ed.). "Hamiltonovské systémy". Scholarpedia.