Atlas (topologie) - Atlas (topology) - Wikipedia

v matematika, zejména topologie, jeden popisuje a potrubí pomocí atlas. Atlas se skládá z jednotlivce grafy které zhruba popisují jednotlivé oblasti potrubí. Pokud je potrubím povrch Země, pak má atlas běžnější význam. Obecně platí, že pojem atlas je základem formální definice a potrubí a související struktury, jako je vektorové svazky a další svazky vláken.

Grafy

Definice atlasu závisí na pojmu a schéma. A schéma pro topologický prostor M (také nazývaný a souřadnicový graf, souřadnicová oprava, souřadnicová mapanebo místní rám) je homeomorfismus ${ displaystyle varphi}$ z otevřená podmnožina U z M do otevřené podmnožiny a Euklidovský prostor. Graf se tradičně zaznamenává jako objednaný pár ${ displaystyle (U, varphi)}$.

Formální definice atlasu

An atlas pro topologický prostor ${ displaystyle M}$ je indexovaná rodina ${ displaystyle {(U _ { alpha}, varphi _ { alpha}): alpha v I }}$ grafů na ${ displaystyle M}$ který kryty ${ displaystyle M}$ (to znamená, ${ displaystyle textstyle bigcup _ { alpha v I} U _ { alpha} = M}$). Pokud codomain každého grafu je n-dimenzionální Euklidovský prostor, pak ${ displaystyle M}$ se říká, že je n-dimenzionální potrubí.

Množství atlasu je atlasy, ačkoli někteří autoři používají atlantes.^[1][2]

Atlas ${ displaystyle left (U_ {i}, varphi _ {i} right) _ {i in I}}$ na ${ displaystyle n}$-dimenzionální potrubí ${ displaystyle M}$ se nazývá adekvátní atlas pokud obraz každého grafu je buď ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$, ${ displaystyle left (U_ {i} right) _ {i in I}}$ je místně konečné otevřený kryt ${ displaystyle M}$, a ${ displaystyle M = bigcup _ {i in I} varphi _ {i} ^ {- 1} left (B_ {1} right)}$, kde ${ displaystyle B_ {1}}$ je otevřená koule o poloměru 1 se středem v počátku a ${ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ je uzavřený poloviční prostor. Každý druhý spočetný potrubí připouští adekvátní atlas.^[3] Navíc pokud ${ displaystyle { mathcal {V}} = doleva (V_ {j} doprava) _ {j v J}}$ je otevřený obal druhého spočitatelného potrubí ${ displaystyle M}$ pak existuje adekvátní atlas ${ displaystyle left (U_ {i}, varphi _ {i} right) _ {i in I}}$ na ${ displaystyle M}$ takhle ${ displaystyle left (U_ {i} right) _ {i in I}}$ je upřesnění ${ displaystyle { mathcal {V}}}$.^[3]

Přechodové mapy

${ displaystyle M}$

${ displaystyle U _ { alpha}}$

${ displaystyle U _ { beta}}$

${ displaystyle varphi _ { alpha}}$

${ displaystyle varphi _ { beta}}$

${ displaystyle tau _ { alfa, beta}}$

${ displaystyle tau _ { beta, alfa}}$

${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$

${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$

Dva grafy na potrubí a jejich příslušné přechodová mapa

Přechodová mapa poskytuje způsob porovnání dvou grafů atlasu. K provedení tohoto srovnání vezmeme v úvahu složení jednoho grafu s inverzní toho druhého. Toto složení není přesně definováno, pokud neomezíme oba grafy na průsečík Jejich domén definice. (Například pokud máme graf Evropy a Rusko, můžeme tyto dva grafy porovnat na jejich překrytí, konkrétně evropskou část Ruska.)

Přesněji řečeno, předpokládejme to ${ displaystyle (U _ { alpha}, varphi _ { alpha})}$ a ${ displaystyle (U _ { beta}, varphi _ { beta})}$ jsou dva grafy pro potrubí M takhle ${ displaystyle U _ { alpha} cap U _ { beta}}$ je neprázdný.v přechodová mapa ${ displaystyle tau _ { alpha, beta}: varphi _ { alpha} (U _ { alpha} cap U _ { beta}) na varphi _ { beta} (U _ { alpha} cap U _ { beta})}$ je mapa definovaná

${ displaystyle tau _ { alpha, beta} = varphi _ { beta} circ varphi _ { alpha} ^ {- 1}.}$

Všimněte si, že od té doby ${ displaystyle varphi _ { alpha}}$ a ${ displaystyle varphi _ { beta}}$ jsou oba homeomorfismy, mapa přechodu ${ displaystyle tau _ { alfa, beta}}$ je také homeomorfismus.

Více struktury

Jeden často touží po více strukturách na potrubí než po jednoduše topologické struktuře. Například pokud byste chtěli jednoznačnou představu o diferenciace funkcí na rozdělovači, je nutné zkonstruovat atlas, jehož přechodové funkce jsou rozlišitelný. Takové potrubí se nazývá rozlišitelný. Vzhledem k diferencovatelnému potrubí lze jednoznačně definovat pojem tečné vektory a pak směrové deriváty.

Pokud je každá přechodová funkce a hladká mapa, pak se atlas nazývá a hladký atlas a nazývá se samotné potrubí hladký. Alternativně by bylo možné požadovat, aby přechodové mapy měly pouze k spojité deriváty, v takovém případě se říká, že je to atlas ${ displaystyle C ^ {k}}$.

Obecně platí, že pokud každá přechodová funkce patří a pseudoskupina ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ homeomorfismů euklidovského prostoru, pak se atlas nazývá a ${ displaystyle { mathcal {G}}}$-atlas. Pokud mapy přechodu mezi grafy atlasu zachovají a lokální bagatelizace, pak atlas definuje strukturu svazku vláken.

Viz také

• Hladký atlas
• Hladký rám

Reference

externí odkazy

• Atlas Rowland, Todd